Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

30 задач
АлгебраМногочлени багатьох змінних
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-24-25-105

Вираз з P(x) і множником xy-x-y

Доведіть, що існує рівно один многочлен P(x)P(x), для якого вираз (x+y)1000−P(x)−P(y)(x+y)^{1000}-P(x)-P(y) розкладається на множники, один із яких є (xy−x−y)(xy-x-y).
9 класМногочлени багатьох змінних
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-24-25-147

Многочлени з рівністю P(x+y, x-y) = 2P(x,y)

Знайдіть усі многочлени P(x,y)P(x,y) із дійсними коефіцієнтами, які для довільних x,yx, y задовольняють рівність: P(x+y,x−y)=2P(x,y).P(x+y, x-y) = 2P(x,y).
10–11 класиМногочлени багатьох змінних
Київський турнір математичних боївKMB-20-21-066

Многочлен від семи змінних як сума семи квадратів

Подайте многочлен від семи змінних Q(x1,x2,…,x7)=(x1+x2+…+x7)2+2(x12+x22+…+x72)Q(x_1, x_2, \ldots, x_7) = (x_1 + x_2 + \ldots + x_7)^2 + 2\left(x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_7^2\right) у вигляді суми квадратів семи многочленів із цілими невід'ємними коефіцієнтами: Q(x1,x2,…,x7)=P12(x1,x2,…,x7)+P22(x1,x2,…,x7)+…+P72(x1,x2,…,x7).Q(x_1, x_2, \ldots, x_7) = P_1^2(x_1, x_2, \ldots, x_7) + P_2^2(x_1, x_2, \ldots, x_7) + \ldots + P_7^2(x_1, x_2, \ldots, x_7).
9 класМногочлени багатьох змінних
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-17-18-167

Чи ко-алгебраїчні послідовності 2ⁿ і 3ⁿ

Назвемо дві послідовності натуральних чисел (an)(a_n) і (bn)(b_n) ко-алгебраїчними, якщо існує многочлен P(x,y)P(x, y) від двох змінних, відмінний від тотожньо нульового, який задовольняє умову ∀n∈N P(an,bn)=0\forall n \in \mathbb{N}\ P(a_n, b_n) = 0. Чи є послідовності an=2na_n = 2^n і bn=3nb_n = 3^n ко-алгебраїчними?
10–11 класиРаціональні та ірраціональні числа
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-17-18-168

Ко-алгебраїчність послідовностей n та 2ⁿ

Назвемо дві послідовності натуральних чисел (an)(a_n) і (bn)(b_n) ко-алгебраїчними, якщо існує многочлен P(x,y)P(x, y) від двох змінних, відмінний від тотожньо нульового, який задовольняє умову ∀n∈N P(an,bn)=0\forall n \in \mathbb{N}\ P(a_n, b_n) = 0. Доведіть, що послідовності an=na_n = n та bn=2nb_n = 2^n не є ко-алгебраїчними.
10–11 класиМногочлени багатьох змінних
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2025-003

Найменший степінь многочлена для дерева і чисел

Зафіксуємо ціле число n⩾3n \geqslant 3. Знайдіть найменше додатне ціле число kk, яке задовольняє таку умову: для будь-якого дерева TT із вершинами v1,v2,…,vnv_1, v_2, \ldots, v_n і будь-яких попарно різних комплексних чисел a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n, існує многочлен P(X,Y)P(X, Y) з комплексними коефіцієнтами степеня, не більшими за kk, такий, що для всіх i≠ji \neq j, які задовольняють 1⩽i,j⩽n1 \leqslant i, j \leqslant n, виконується: P(zi,zj)=0P(z_i, z_j) = 0, тоді й тільки тоді, коли в TT є ребро, що з'єднує viv_i з vjv_j. Примітка. Наприклад, степінь многочлена 9X3Y4+XY5+X6−29X^3Y^4+XY^5+X^6-2 дорівнює 77, оскільки 7=3+47=3+4.
10–11 класиМногочлени багатьох змінних
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2023-003

Найменший степінь многочлена для вершин правильного 2n-кутника

Нехай n⩾2n \geqslant 2 — натуральне число, а ff — многочлен з дійсними коефіцієнтами від 4n4n змінних. Припустимо, що для будь-яких 2n2n точок (x1,y1),…,(x2n,y2n)(x_1, y_1), \ldots, (x_{2n}, y_{2n}) на декартовій площині значення многочлена f(x1,y1,…,x2n,y2n)=0f(x_1, y_1, \ldots, x_{2n}, y_{2n}) = 0 тоді й тільки тоді, коли ці точки утворюють у деякому порядку вершини правильного 2n2n-кутника або всі збігаються. Знайдіть найменший можливий степінь многочлена ff. Примітка. Нагадаємо, що степінь многочлена дорівнює найбільшому зі степенів одночленів у його складі, тобто сумі показників степенів усіх змінних цього одночлена. Наприклад, степінь многочлена g(x,y)=4x3y4+yx+x−2g(x, y) = 4x^3y^4 + yx + x - 2 дорівнює 77, оскільки 7=3+47 = 3 + 4.
10–11 класиМногочлени багатьох змінних
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2021-003

Призначення бригадирів для бригад із 17 робітників

Група із 1717 робітників вишикувалася в шеренгу. Будь-яку групу із хоча б двох робітників, що стоять підряд, назвемо бригадою. Керівник хоче призначити бригадира для кожної бригади (він має бути членом цієї бригади), щоб для кожного робітника кількість бригад, бригадиром якої він є, ділилася на 44. Доведіть, що кількість способів призначити бригадирів таким чином ділиться на 1717.
10–11 класиМногочлени багатьох змінних
Шорт-лист IMOIMOSL-2019-002

Сума добутків дробів для n різних дійсних чисел

Нехай x1,x2,…,xnx_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} — різні дійсні числа. Доведіть, що ∑1⩽i⩽n∏j≠i1−xixjxi−xj={0, якщо n парне 1, якщо n непарне \sum_{1 \leqslant i \leqslant n} \prod_{j \neq i} \frac{1-x_{i} x_{j}}{x_{i}-x_{j}}= \begin{cases}0, & \text{ якщо } n \text{ парне } \\ 1, & \text{ якщо } n \text{ непарне }\end{cases}
10–11 класиІнтерполяційні многочлени
Шорт-лист IMOIMOSL-2019-003

Симетричний многочлен з кубічною інваріантністю

Многочлен P(x,y,z)P(x, y, z) від трьох змінних з дійсними коефіцієнтами задовольняє тотожності P(x,y,z)=P(x,y,xy−z)=P(x,zx−y,z)=P(yz−x,y,z)P(x, y, z) = P(x, y, x y - z) = P(x, z x - y, z) = P(y z - x, y, z) Доведіть, що існує многочлен F(t)F(t) від однієї змінної такий, що P(x,y,z)=F(x2+y2+z2−xyz)P(x, y, z) = F\left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y z\right)
10–11 класиМногочлени багатьох змінних
Шорт-лист IMOIMOSL-2018-002

Многочлен, що збігається з цілою частиною суми

Нехай m,n⩾2m, n \geqslant 2 — цілі числа. Нехай f(x1,…,xn)f\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) — многочлен з дійсними коефіцієнтами такий, що f(x1,…,xn)=⌊x1+…+xnm⌋ для всіх x1,…,xn∈{0,1,…,m−1}.f\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=\left\lfloor\frac{x_{1}+\ldots+x_{n}}{m}\right\rfloor \text{ для всіх } x_{1}, \ldots, x_{n} \in\{0,1, \ldots, m-1\} . Доведіть, що повний степінь многочлена ff не менший за nn.
10–11 класиМногочлени багатьох змінних
Шорт-лист IMOIMOSL-2017-001

Значення параметра для виразів із різницями й сумами

Нехай qq — дійсне число. У Гугу є серветка з десятьма різними дійсними числами, і він записує на дошці такі три рядки дійсних чисел: - У першому рядку Гугу записує кожне число виду a−ba-b, де aa та bb — два (не обов'язково різні) числа з його серветки. - У другому рядку Гугу записує кожне число виду qabq a b, де aa та bb — два (не обов'язково різні) числа з першого рядка. - У третьому рядку Гугу записує кожне число виду a2+b2−c2−d2a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}, де a,b,c,da, b, c, d — чотири (не обов'язково різні) числа з першого рядка. Визначте всі значення qq такі, що, незалежно від чисел на серветці Гугу, кожне число з другого рядка також є числом у третьому рядку.
10–11 класиМіркування за модулем2 розв’язки
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2015-003

Числа k+1, …, k+n та отримання числа n!

На дошці написано кілька раціональних чисел. За одну операцію дозволено вибрати два числа aa, bb, стерти їх і замість них написати одне із чисел: a+b, a−b, b−a, a×b, a/b (якщо b≠0), b/a (якщо a≠0).a+b,\ a-b,\ b-a,\ a \times b,\ a/b\ (\text{якщо } b \neq 0),\ b/a\ (\text{якщо } a \neq 0). Доведіть, що для кожного n>100n > 100 існує тільки скінченна множина k⩾0k \geqslant 0, для яких, якщо виконати n−1n-1 операцію починаючи із чисел k+1, k+2, …, k+n,k+1,\ k+2,\ \ldots,\ k+n, можна отримати число n!n!.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Шорт-лист IMOIMOSL-2012-001

Замкненість метаполіномів відносно множення

Функцію f:Rk→Rf: \mathbb{R}^k \rightarrow \mathbb{R} називаємо метаполіномом, якщо для деяких натуральних чисел mm і nn вона подається у вигляді f(x1,…,xk)=max⁡i=1,…,mmin⁡j=1,…,nPi,j(x1,…,xk)f\left(x_1, \ldots, x_k\right)=\max_{i=1, \ldots, m} \min_{j=1, \ldots, n} P_{i, j}\left(x_1, \ldots, x_k\right) де Pi,jP_{i, j} — многочлени від кількох змінних. Доведіть, що добуток двох метаполіномів також є метаполіномом.
10–11 класиМногочлени багатьох змінних
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2007-006

Найменша кількість площин, що покривають точки множини S

Нехай nn – натуральне число. Розглянемо множину: S={(x,y,z)∣x,y,z∈{0,1,…,n}, x+y+z>0},S = \left\{(x, y, z) \mid x, y, z \in \{0, 1, \ldots, n\},\ x + y + z > 0\right\}, яка складається з ((n+1)3−1)\left((n+1)^3 - 1\right) точок тривимірного простору. Знайдіть найменшу можливу кількість площин, об'єднання яких містить усі точки з SS, проте не містить точку (0,0,0)(0,0,0).
10–11 класиМногочлени багатьох змінних
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-030

Многочлен двох змінних із подвійної суми

Можна показати, що існує єдиний многочлен PP від двох змінних такий, що для всіх натуральних чисел mm і nn, P(m,n)=∑i=1m∑j=1n(i+j)7.P(m, n)=\sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n}(i+j)^{7} . Обчисліть P(3,−3)P(3,-3).
10–11 класиМногочлени багатьох змінних
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-004

Квазірозфарбування графів з обмеженням на степені

Назвемо простий граф GG квазі-розфарбовуваним, якщо кожне його ребро можна пофарбувати в синій, червоний, зелений або білий колір так, щоб - для кожної вершини vv степеня 33 у GG три ребра, що містять vv як кінцеву вершину, були пофарбовані або в синій, червоний і зелений кольори, або всі три ребра були білими, - не всі ребра були білими. Зв'язний граф GG має aa вершин степеня 44, bb вершин степеня 33 і не має інших вершин, де aa і bb — натуральні числа. Знайдіть найменше дійсне число cc, для якого таке твердження є істинним: «Якщо a/b>ca / b > c, то GG є квазі-розфарбовуваним».
10–11 класиДерева2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-005

Суми квазіперіодичних функцій

Нехай pp — просте число, а Fp\mathbb{F}_p — множина цілих чисел за модулем pp. Назвемо функцію f:Fp2→Fpf: \mathbb{F}_p^2 \rightarrow \mathbb{F}_p квазіперіодичною, якщо існують a,b∈Fpa, b \in \mathbb{F}_p, не обидва нульові, такі, що f(x+a,y+b)=f(x,y)f(x+a, y+b)=f(x, y) для всіх x,y∈Fpx, y \in \mathbb{F}_p. Знайдіть з доведенням кількість функцій Fp2→Fp\mathbb{F}_p^2 \rightarrow \mathbb{F}_p, які можна подати у вигляді суми деякої кількості квазіперіодичних функцій.
10–11 класиМногочлени багатьох змінних2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-132

Площа трикутника з центроїдів за площами з середин

Нехай A1B1C1A_{1} B_{1} C_{1}, A2B2C2A_{2} B_{2} C_{2} і A3B3C3A_{3} B_{3} C_{3} — три трикутники на площині. Для 1≤i≤31 \leq i \leq 3 нехай DiD_{i}, EiE_{i} і FiF_{i} — середини сторін BiCiB_{i} C_{i}, AiCiA_{i} C_{i} і AiBiA_{i} B_{i} відповідно. Крім того, для 1≤i≤31 \leq i \leq 3 нехай GiG_{i} — центроїд трикутника AiBiCiA_{i} B_{i} C_{i}. Припустимо, що площі трикутників A1A2A3A_{1} A_{2} A_{3}, B1B2B3B_{1} B_{2} B_{3}, C1C2C3C_{1} C_{2} C_{3}, D1D2D3D_{1} D_{2} D_{3}, E1E2E3E_{1} E_{2} E_{3} і F1F2F3F_{1} F_{2} F_{3} дорівнюють 2,3,4,20,212, 3, 4, 20, 21 і 20202020 відповідно. Обчисліть найбільшу можливу площу трикутника G1G2G3G_{1} G_{2} G_{3}.
10–11 класиМногочлени багатьох змінних
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-111

Циклічний однорідний многочлен четвертого степеня і значення

Нехай P(x,y,z)P(x, y, z) — однорідний многочлен степеня 4 від трьох змінних такий, що P(a,b,c)=P(b,c,a)P(a, b, c) = P(b, c, a) і P(a,a,b)=0P(a, a, b) = 0 для всіх дійсних a,ba, b і cc. Якщо P(1,2,3)=1P(1,2,3) = 1, обчисліть P(2,4,8)P(2,4,8). Зауваження: P(x,y,z)P(x, y, z) — однорідний многочлен степеня 4, якщо P(ka,kb,kc)=k4P(a,b,c)P(k a, k b, k c) = k^{4} P(a, b, c) виконується для всіх дійсних k,a,b,ck, a, b, c.
10–11 класиМногочлени багатьох змінних
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-033

Многочлен, додатний у першій чверті

Чи існує многочлен від двох змінних P(x,y)P(x, y) з дійсними коефіцієнтами такий, що P(x,y)P(x, y) додатний рівно тоді, коли xx і yy обидва додатні?
10–11 класиМногочлени багатьох змінних
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-067

Випадковий граф зі степенями, кратними 4

Кельвін та ще 15 жаб зібралися на зборах, разом 16 жаб. Під час зборів кожна пара різних жаб стає друзями з ймовірністю 12\frac{1}{2}. Кельвін вважає ситуацію після зборів крутою, якщо для кожної з 16 жаб кількість друзів, яких вона знайшла за час зборів, кратна 4. Нехай ймовірність того, що ситуація буде крутою, можна подати у вигляді ab\frac{a}{b}, де aa і bb — взаємно прості. Знайдіть aa.
10–11 класиМногочлени багатьох змінних
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2014-002

Колінеарні точки з умовою на суму індексів

Доведіть, що існує нескінченна множина точок …,P−3,P−2,P−1,P0,P1,P2,P3,…\dots, P_{-3}, P_{-2}, P_{-1}, P_0, P_1, P_2, P_3, \dots на площині з такою властивістю: для будь-яких трьох різних цілих чисел a,ba, b і cc точки Pa,PbP_a, P_b і PcP_c лежать на одній прямій тоді і лише тоді, коли a+b+c=2014a + b + c = 2014.
10–11 класиМетод координат2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2010-113

Лінійна функція, що збігається з оберненими значеннями

Функція f(x,y,z)f(x, y, z), лінійна за xx, yy і zz, така, що f(x,y,z)=1xyzf(x, y, z) = \frac{1}{x y z} для x,y,z∈{3,4}x, y, z \in \{3,4\}. Знайдіть f(5,5,5)f(5,5,5).
10–11 класиІнтерполяційні многочлени
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2007-003

Кубічний многочлен із симетричною подільністю

Знайдіть один із многочленів f(x,y,z)f(x, y, z) степеня 33 з дійсними коефіцієнтами, який задовольняє такі умови. • f(x,y,z)+xf(x, y, z) + x ділиться на y+zy + z • f(x,y,z)+yf(x, y, z) + y ділиться на z+xz + x • f(x,y,z)+zf(x, y, z) + z ділиться на x+yx + y Те, що многочлен P(x,y,z)P(x, y, z) ділиться на многочлен Q(x,y,z)Q(x, y, z), означає, що існує такий многочлен R(x,y,z)R(x, y, z), що виконується P(x,y,z)=Q(x,y,z)R(x,y,z)P(x, y, z) = Q(x, y, z)R(x, y, z).
10–11 класиМногочлени багатьох змінних

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.