Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

201 задача
КомбінаторикаНапівінваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-24-25-034

Найбільша кількість сусідніх обмінів чисел від 1 до 10

Петрик записав у рядок у деякому порядку числа 1,2,…,101, 2, \ldots, 10. Василь має право поміняти місцями пару сусідніх чисел, якщо ліве число в цій парі більше за праве. Яку найбільшу кількість таких змін у парах може зробити Василь?
7 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-23-24-072

Стіс зошитів і повернення на k-те місце

Дано n⩾1n \geqslant 1 зошитів, пронумерованих числами від 11 до nn. Їх склали у стіс. Після цього Захар навмання вибирає зошит, номер kk якого не відповідає номеру його місця розташування в цьому стосі, якщо рахувати зверху донизу, і повертає його на kk-ту позицію, рахуючи зверху та не міняючи місця розташування інших зошитів. Чи обов’язково Захар розставить усі зошити в порядку зростання номерів, якщо рахувати зверху донизу?
10 класНапівінваріанти
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-22-23-042

Поява четвірки у послідовності з цілими частинами

Послідовність натуральних чисел (an)(a_n) задовольняє умову an+2=[2an+1an]+[2anan+1].a_{n+2} = \left[\frac{2a_{n+1}}{a_n}\right] + \left[\frac{2a_n}{a_{n+1}}\right]. Доведіть, що існує такий індекс mm, для якого am=4a_m = 4 та am+1∈{3,4}a_{m+1} \in \{3, 4\}. Примітка. Для дійсного числа aa через [a][a] позначено цілу частину числа aa, тобто найбільше ціле число, що не перевищує aa.
11 класПослідовності (інші властивості)
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-22-23-041

Діти по колу зі зміною табличок

По колу стоять n⩾3n \geqslant 3 дітей, кожна дитина тримає дві таблички: одну із цифрою 00, другу — із цифрою 11. У певний момент кожна дитина піднімає на свій розсуд одну з табличок. Далі щохвилини кожна дитина, у якої число на табличці відрізняється від чисел на табличках обох її сусідів (ліворуч та праворуч), міняє свою табличку. Чи може тривати нескінченно довго ситуація, коли принаймні одна дитина міняє табличку?
8 класНапівінваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-20-21-060

Перетворення відсортованого масиву з відніманням індексів

Дано натуральне число NN і відсортований масив цілих чисел A0=[a1,a2,…,aN]A^0=[a_1, a_2, \ldots, a_N], для яких виконується умова 0=a1⩽a2⩽…⩽aN⩽N0=a_1 \leqslant a_2 \leqslant \ldots \leqslant a_N \leqslant N. Масив Ai+1A^{i+1} отримують з масиву AiA^i так: для кожного jj від 11 до NN від jj-го елемента AiA^i віднімають jj, отриманий масив сортують знову в порядку неспадання, після чого до всіх чисел додають деяку константу так, щоб мінімальне число в масиві стало рівним 00 — отриманий масив є масивом Ai+1A^{i+1}. Наприклад: A0=[0,0,1,2]→[−1,−2,−2,−2]→[−2,−2,−2,−1]→A1=[0,0,0,1]→[−1,−2,−3,−3]→[−3,−3,−2,−1]→A2=[0,0,1,2].A^0=[0, 0, 1, 2] \to [-1, -2, -2, -2] \to [-2, -2, -2, -1] \to A^1=[0, 0, 0, 1] \to [-1, -2, -3, -3] \to [-3, -3, -2, -1] \to A^2=[0, 0, 1, 2]. Доведіть, що для i⩾N−1i \geqslant N-1 справджується умова Ai=Ai+2A^i=A^{i+2}.
11 класНапівінваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-19-20-072

Математики на відрізку та рукостискання з менеджерами

Менеджери двох компаній перебувають у двох точках на відстані 10001000 м. На відрізку, що їх сполучає, розташовані nn точок, у кожній з яких стоїть математик. Щосекунди кожен з математиків рухається до точки, що є серединою відрізка, який сполучає точку його перебування з найближчою точкою перебування іншого математика або менеджера. Якщо таких точок не одна, то він рухається до однієї з них. Якщо два математики прибувають у спільну точку за описаним алгоритмом, то молодший із двох покидає гру. Доведіть, що за скінченну кількість секунд кожен з математиків, що лишився, може потиснути руку одному з менеджерів. Математик може потиснути руку, якщо перебуватиме на відстані, не більшій ніж 11 м від менеджера.
10 класНапівінваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-19-20-112

Поділ учнів на дві групи з обмеженням на друзів

У школі кожен учень дружить не більше ніж з nn учнями цієї школи. Натуральні числа aa та bb такі, що a+b=n−1a + b = n - 1. Доведіть, що учнів можна розділити на дві групи AA та BB таким чином, що кожен учень із групи AA має не більше ніж aa друзів серед учнів групи AA, а кожен учень із групи BB має не більше ніж bb друзів серед учнів групи BB.
11 класНапівінваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-18-19-074

Заміни abb на baa і aabb на bbaa

Дано нескінченну послідовність, що складається з букв aa та bb. У цій послідовності можна зробити таку заміну літер: abb→baaabb \to baa. Відомо, що в якому б порядку не робити такі заміни, їх удасться здійснити лише скінченну кількість разів. Доведіть, що тоді в даній послідовності заміни aabb→bbaaaabb \to bbaa так само можна буде зробити лише скінченну кількість разів.
10 класНапівінваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-18-19-117

Розбиття 2n людей з k знайомими на дві підгрупи

У групі з 2n2n людей є пари знайомих. Відомо, що кожна людина серед цієї групи має рівно k⩾1k \geqslant 1 знайомих (якщо А знайомий з Б, то й, навпаки, Б знайомий з А). Для яких значень kk цю групу завжди можна розбити на дві підгрупи по nn людей таким чином, щоб в обох підгрупах кожна людина мала принаймні одного знайомого?
11 класСтепені вершин
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-15-16-087

Зміна рядків за кількістю однакових чисел

Задано смугу 1×n1 \times n, n⩾4n \geqslant 4, у кожну комірку якої записано натуральне число (не обов’язково всі числа різні). Після цього під кожним числом записують натуральне число, яке дорівнює кількості таких чисел у попередньому рядку (наприклад, якщо у верхньому рядку тричі траплялося число 1010, то під кожним числом 1010 в наступному рядку буде написано число 33). Після цього з новим рядком проводять аналогічну процедуру. а) Доведіть, що після скінченної кількості кроків рядки не будуть змінюватися. б) Яку найбільшу кількість разів можна провести таку процедуру, щоб наступний рядок відрізнявся від попереднього при n=2016n = 2016 та при довільному nn?
11 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-15-16-057

Числа на дошці із заміною пари сумою і добутком

На дошці написано числа 11, 33, 66 та 1010. На кожному кроці можна витерти будь-які два з написаних чисел aa, bb та записати замість них числа a+ba + b, abab. Чи можна одержати через кілька кроків на дошці такі числа: а) 20152015, 20162016, 20172017, 20182018; б) 20162016, 20172017, 20192019, 20222022?
8 класНапівінваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-15-16-099

Симетричне розсування фішок по клітинках квадрата

У деякій клітинці квадрата n×nn \times n, розбитого на n2n^2 клітинок, лежить n2n^2 фішок. За один крок дозволено з клітинки, у якій розташовано не менше двох фішок, пересунути по одній фішці у дві клітинки, що симетричні відносно даної та мають з нею принаймні одну спільну точку. Чи можливо, щоб через декілька кроків у кожній клітинці квадрата знаходилося рівно по одній фішці, якщо: а) n=2016n = 2016; б) n=2017n = 2017?
8 класІнші інваріанти
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-14-15-002

Гра з фішками і перпендикулярними відрізками до центра

На полі розміром 100×100100 \times 100 двоє гравців по черзі пересувають кожен свою фішку на сусідню по стороні клітинку дошки. Перший виграє, якщо після його ходу відрізок, що сполучає центр клітинки його фішки із центром дошки, стане перпендикулярним до відрізка, що сполучає центр клітинки фішки супротивника також із центром дошки. Доведіть, що перший гравець завжди може виграти, якщо на початку гри їхні фішки стоятимуть у протилежних кутах дошки.
8 класНапівінваріанти
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-14-15-009

Найменше число після заміни числа сумою множників

На дошці записано натуральне число nn. На кожному кроці можна замість цього числа записати суму двох чисел, добуток яких дорівнює записаному на дошці числу. Визначте найменше число, яке може з’явитися після скінченної кількості кроків.
8 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-14-15-100

Найменше кінцеве число після вилучення менших з пар

Задано скінченний набір натуральних чисел a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n. За один хід дозволено вибрати довільну пару чисел з тих, що залишилися, менше з двох вилучити, а більше — збільшити на 11. Яке найменше число можна одержати в кінці?
10 класНапівінваріанти
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-13-14-014

Можливість зараження всього квадрата 10 × 10

У квадраті 10×1010 \times 10 деякі комірки заражені інфекцією. Далі кожної секунди всі комірки, у яких 22 чи більше сусідніх по стороні клітин заражені, також стають зараженими. Чи можуть через деякий час виявитися зараженими всі комірки квадрата, якщо із самого початку були заражені рівно: а) 99 комірок; б) 1010 комірок?
9 класНапівінваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-13-14-097

Найбільша можлива сума відстаней між вершинами графа

Нехай є зв'язний граф з вершинами A1,A2,…,AnA_1, A_2, \ldots, A_n. Позначимо через di,jd_{i,j} найменшу кількість ребер, які необхідно пройти, щоб дістатися з вершини AiA_i у вершину AjA_j. Знайдіть найбільше можливе значення суми D=∑1⩽i<j⩽ndi,jD = \sum\limits_{1 \leqslant i < j \leqslant n} d_{i,j}.
10 класДерева
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-11-12-017

Числа від 1 до 101 і операція модуля різниці

На дошці записано числа 1,2,3,…,1011, 2, 3, \ldots, 101. Андрійко може вибрати серед записаних чисел довільні два aa, bb та записати замість них число ∣a−b∣|a - b|. Після 100100-ї такої операції на дошці залишиться єдине число. Яке найбільше значення воно може мати?
9 класНапівінваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-11-12-055

Трійки чисел на дошці і можливість переходу

На дошці записано три числа aa, bb, cc. За один хід ми витираємо всі три числа і замість них записуємо числа aa, a(b+c−4)a(b+c-4) та a(b−2)(c−2)a(b-2)(c-2). Порядок чисел aa, bb, cc ролі не відіграє, тобто можна записати трійку чисел bb, b(c+a−4)b(c+a-4), b(c−2)(a−2)b(c-2)(a-2) або cc, c(a+b−4)c(a+b-4), c(a−2)(b−2)c(a-2)(b-2). Чи можна за декілька подібних ходів із трійки чисел 33, 44, 55 одержати трійку чисел 20122012, 90099009, 11 10011\,100, записаних у довільному порядку?
8 класІнші інваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-11-12-115

Підвищення зарплат на 1, 2, …, n до рівності

На фірмі працюють nn співробітників; ii-й працівник має зарплатню ai∈Na_i\in\mathbb{N}, 1⩽i⩽n1\leqslant i\leqslant n. Керівник вирішив кожного місяця підвищувати працівникам зарплатню таким чином: одному на 11, другому на 22, …\ldots, останньому на nn. При цьому порядок, у якому працівники отримують підвищення, може бути різним. За яких умов на числа aia_i, 1⩽i⩽n1\leqslant i\leqslant n, керівник зможе за скінченну кількість часу зробити зарплатню всіх працівників однаковою?
11 класІнші інваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-11-12-141

Четвірки міст і закриття авіаліній

У країні Олімпії є 20122012 міст, деякі з котрих сполучаються між собою прямими авіалініями (кожною авіалінією сполучаються між собою тільки два міста, причому будь-які два міста сполучені не більше ніж однією авіалінією). Відомо, що кожне місто сполучено прямими авіалініями щонайбільше з 88 іншими містами. Доведіть, що в країні можна закрити не більше за 20122012 авіаліній, таких що серед будь-яких чотирьох міст хоча б два не сполучатимуться між собою прямою авіалінією.
9 класНапівінваріанти
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-07-08-030

Почергове вилучення номерів і максимальний виграш

Була запропонована гра: задана множина номерів {0,1,2,...,1024}\{0, 1, 2, ..., 1024\}. Варвара вилучає з цієї множини 292^9 номерів. Олексій після цього вилучає 282^8 номерів з тих, що залишились. Далі знову Варвара вилучає 272^7 номерів з тих, що залишились, далі знову Олексій і т.д., поки не залишиться лише 2 номери a,ba, b. Тоді Олексій повинен дарувати Варварі ∣a−b∣|a - b| гривень. Яку максимальну кількість гривень може виграти Варвара при будь-якій грі Олексія?
10 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Київська районна математична олімпіадаKDMO-06-07-018

Мандрівник і повернення в рідне місто A

У деякій країні відстань між будь-якими двома містами різна. Мандрівник відправився з рідного міста AA у місто BB – найвіддаленіше від нього місто країни, потім з BB – у найвіддаленіше від нього місто CC і т.д. Довести, що якщо місто CC не збігається з містом AA, то мандрівник ніколи не повернеться додому.
7 класНапівінваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-05-06-068

Упорядкування рядків і стовпчиків таблиці за зростанням

Таблицю розміром 2006×20062006\times 2006 довільно заповнено натуральними числами від 11 до 200622006^2: у кожній клітинці записується одне число, і при цьому будь-яке з натуральних чисел від 11 до 200622006^2 використовується рівно один раз. За один крок дозволяється або обрати один рядок і впорядкувати його за зростанням зліва направо (якщо він не є впорядкованим), або — обрати один стовпчик і впорядкувати його за зростанням зверху вниз (якщо він не є впорядкованим). Таблицю називатимемо впорядкованою, якщо всі її рядки впорядковані за зростанням зліва направо й усі її стовпчики впорядковані за зростанням зверху вниз (якщо таблиця стає впорядкованою, то процес припиняється). а) Чи може статися так, що після виконання декількох таких кроків ми знов отримаємо вихідну таблицю? б) Доведіть, що для перетворення будь-якої таблиці, що задовольняє умову задачі, на впорядковану завжди вистачить 40124012 кроків.
9 класНапівінваріанти
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-24-25-090

Кількість сміливих дітей серед 22 дітей на рельсах

На рельсах сиділи хлопчик і дівчинка. До них по черзі підходили інші діти і сідали поміж тих, хто вже сиділи. Якщо підходив хлопчик і сідав між двома дівчатами, то його називали сміливим. Так само й дівчинку, яка сідала між двома хлопцями, називали сміливою. Наприкінці на рельсах сиділи 22 дитини, причому послідовно чергувалися хлопчики та дівчатка. Скільки серед них могло бути сміливих? Укажіть усі можливі відповіді.
9 класНапівінваріанти

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.