Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

140 задач
КомбінаторикаОстача від ділення
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-24-25-052

Обміни чорних і білих куль та задані набори

У Петрика є 77 чорних та 77 білих куль. Він може робити такі дві дії: або поміняти свої 33 чорні кулі (якщо вони в нього є в наявності) на 22 білі кулі, або обміняти свої 44 білі кулі (якщо вони в нього є на цей момент) на 99 чорних куль. Чи зможе Петрик за скінченну кількість дій отримати набір, що складається з: аа) 1010 чорних та 1010 білих куль; бб) 1313 чорних та 77 білих куль?
8 класОстача від ділення
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-24-25-085

Чи нульові числа-модулі різниць сусідів по колу

По колу стоять nn чисел, кожне число дорівнює модулю різниці двох своїх сусідів. Чи обов'язково всі числа дорівнюють нулю, якщо: а) n=2025n = 2025; б) n=2024n = 2024?
8 класКонструкція через періодичність
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-24-25-087

Чотирнадцять нулів та одиниць до зрівняння

На початку на дошці записано 14 чисел — нулі та одиниці. Кожної хвилини Антон обирає половину чисел на дошці та додає до них 11, а Михайло множить усі інші числа на 88. У якийсь момент, можливо, у початковий, усі числа на дошці стали рівними. Скільки одиниць могло бути на дошці на початку?
8 класОстача від ділення
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-24-25-089

Сітка з семи шестикутників та обнулення чисел

В Олексія є така сітка із 77 шестикутних комірок (рис. 4.1). Спочатку в центральній комірці записано число 11, в інших — число 00. За одну операцію Олексій може вибрати довільну комірку й або додати 11 до всіх чисел у сусідніх по стороні комірках, або відняти 11 від усіх таких чисел (при цьому число в самій комірці не змінюється). Чи зможе Олексій зробити числа в усіх комірках рівними 00?
8 класОстача від ділення
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-23-24-037

Розрізання кола з одиницями і двійками на рівні суми

По колу в деякому порядку стоять 20242024 одиниці і 20242024 двійки. Чи обов'язково можна розрізати коло: а) на дві частини з рівними сумами чисел, які стоять на цих дугах; б) на три частини з рівними сумами чисел, які стоять на цих дугах?
7 класОстача від ділення
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-21-22-052

Мільйон купюр 3, 25, 80 за 2024 послідовні платежі

У деякій чарівній країні використовують лише купюри номіналом 33, 2525 і 8080 грн. Бізнесмен Віктор 20242024 дні поспіль харчувався в ресторані цієї країни, причому кожного наступного дня він платив (без решти) на 11 грн більше, ніж попереднього. Чи міг він сплатити за харчування сумарно рівно мільйон купюр?
7 класАрифметика остач (базові властиво…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-20-21-026

Дії з трійками чисел і майже рівні числа

Рома написав на дошці 100100 разів кожне із чисел 20182018, 20192019, 20202020. Позначимо через S(n)S(n) суму цифр натурального числа nn. За одну дію Рома може вибрати довільне натуральне число kk і замість будь-яких трьох чисел aa, bb, cc, що написані на дошці, написати числа 2S(a+b)+k2S(a+b)+k, 2S(b+c)+k2S(b+c)+k і 2S(c+a)+k2S(c+a)+k. Чи може Рома за кілька таких дій досягти того, щоб 299299 чисел на дошці були рівними, а останнє відрізнялося від них на 11?
9 класОстача від ділення
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-18-19-037

Гра з викреслюванням чисел до числа k

На числовому промені зліва направо написано в указаному порядку всі натуральні числа: 1,2,3,…1, 2, 3, \ldots. Гравці Андрій та Олеся по черзі (першою робить хід Олеся) послідовно, починаючи з 11, викреслюють написані числа за такими правилами: якщо попереднім ходом один із них викреслив nn послідовних чисел, то другий наступним ходом може викреслити натуральне число n+1n + 1 або n−1n - 1 (якщо число n−1n - 1 натуральне), починаючи з першого невикресленого. Перед початком гри Андрій визначає число k⩾2019k \geqslant 2019. Перемагає в грі той із гравців, хто своїм ходом викреслить число kk. Хто переможе за правильної гри обох гравців, якщо Олеся першим ходом може викреслити від 11 до 1010 перших чисел?
7 класКласичні ігри
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-17-18-009

Найменша кількість стрибків на 2 чи 3 по колу

На колі рівномірно розташовано 20162016 точок, які занумеровані числами 1,2,…,20161, 2, \ldots, 2016 за рухом годинникової стрілки. Коник може стрибати з точки, де перебуває на даний момент (наприклад, вона має номер nn), за рухом годинникової стрілки в точку, що має номер n+2n + 2 чи n+3n + 3 (2017∼1,2018∼2,2019∼32017 \sim 1, 2018 \sim 2, 2019 \sim 3). За яку найменшу кількість стрибків коник зможе, починаючи з точки 11, побувати в усіх інших точках та повернутися в початкову точку?
8 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-15-16-051

Сума в стовпчику таблиці з різними рядками

У кожну комірку таблиці 6×76 \times 7 (66 рядків та 77 стовпчиків) записано 00 або 11 таким чином, що суми чисел у кожному рядку різні, а суми чисел у кожному стовпчику однакові. Чому може дорівнювати сума чисел у першому стовпчику?
8 класПідрахунок двома способами
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-13-14-006

Таблиця 5 × 5 з однаковими числами

Числа від 11 до 2525 записано в комірках таблиці 5×55 \times 5, як це показано на рис. 3.1. За один хід дозволяється: - вибрати довільні дві комірки зі спільною стороною та збільшити (зменшити) число в одній із цих комірок на 22 й водночас із цим в іншій комірці записане число зменшити (збільшити відповідно) на 11; - вибрати довільні дві комірки зі спільною вершиною (але не стороною) та збільшити число в одній із цих комірок на 11 і водночас із цим в іншій комірці записане число зменшити на 11. | | | | | | |---|---|---|---|---| | 11 | 22 | 33 | 44 | 55 | | 66 | 77 | 88 | 99 | 1010 | | 1111 | 1212 | 1313 | 1414 | 1515 | | 1616 | 1717 | 1818 | 1919 | 2020 | | 2121 | 2222 | 2323 | 2424 | 2525 | Рис. 3.1 а) Чи можна після скінченної кількості ходів одержати таблицю з однаковими числами в усіх комірках? б) Чи можна після скінченної кількості ходів одержати таблицю із записаним числом 22 в кожній комірці?
8 класКольорові інваріанти (розфарбуван…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-13-14-023

Таблиця 7×7 з числами 1–49 і однакові числа

Числа від 11 до 4949 по одному записано в комірках таблиці 7×77 \times 7, як це показано на рис. 3.2. За один хід дозволяється вибрати довільну комірку та збільшити (зменшити) число в цій комірці на 11 і водночас із цим у деяких двох комірках, сусідніх по стороні з вибраною, зменшити (збільшити) на 11 числа в цих комірках. а) Чи можна після скінченної кількості ходів одержати таблицю, у всіх комірках якої записано однакові числа? б) Чи можна після скінченної кількості ходів одержати таблицю, у всіх комірках якої записано число 20132013? | | | | | | | | |---|---|---|---|---|---|---| | 11 | 22 | 33 | 44 | 55 | 66 | 77 | | 88 | 99 | 1010 | 1111 | 1212 | 1313 | 1414 | | 1515 | 1616 | 1717 | 1818 | 1919 | 2020 | 2121 | | 2222 | 2323 | 2424 | 2525 | 2626 | 2727 | 2828 | | 2929 | 3030 | 3131 | 3232 | 3333 | 3434 | 3535 | | 3636 | 3737 | 3838 | 3939 | 4040 | 4141 | 4242 | | 4343 | 4444 | 4545 | 4646 | 4747 | 4848 | 4949 | Рис. 3.2
10 класКольорові інваріанти (розфарбуван…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-12-13-004

Таблиця 3×3, обміни сусідніх чисел і кратність сум

У кожній комірці таблиці 3×33 \times 3 записане число, як показано на рисунку 1.2. За один хід можна поміняти місцями числа у будь-яких двох комірках, що мають суміжну сторону. | | | | |---|---|---| | 77 | 22 | 44 | | 55 | 77 | 77 | | 44 | 11 | 88 | Рис. 1.2 а) За яку найменшу кількість ходів можна одержати квадрат, у якому сума чисел, що записані у трьох комірках кожного стовпчика, кратна 33? б) Чи можна, діючи за описаними правилами, одержати квадрат, у якому сума чисел, що записані у трьох комірках кожного стовпчика та кожного рядка, буде кратною 33?
6 класОстача від ділення
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-12-13-074

Заповнення таблиці 30×30 без остачі 1 мод 3

Керівник математичного гуртка намалював на дошці таблицю розміром 30×3030 \times 30 і запропонував учням заповнити її числами 11, 22, …\ldots, 900900, записуючи щосекунди в якусь порожню клітинку, на свій розсуд, одне з таких чисел, що не використовувалися раніше. Чи зможуть учні виконати завдання так, щоб у будь-який момент ані в жодному рядку, ані в жодному стовпці сума всіх записаних чисел не давала остачу 11 від ділення на 33?
9 класОстача від ділення
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-11-12-047

Складені числа і кратність п'яти при додаванні хвилин

На дошці написано натуральне число. Кожної хвилини Андрійко дивиться на годинник і додає до написаного числа число хвилин на годиннику (ціле число від 00 до 5959 включно). а) Доведіть, що колись на дошці буде написане складене число. б) Чи обов'язково на дошці з'явиться число, кратне 55?
7 класПарність і непарність
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-10-11-035

Десять купок камінців та по 2011 у кожній

Існує 1010 куп камінців, у яких міститься відповідно 3,4,5,…,123, 4, 5, \ldots, 12 камінців. За один хід дозволяється вибрати довільні три купки камінців та додати в першу 11 камінець, у другу — 22, у третю — 33 камінці або вибрати довільні три купки камінців та забрати з першої купки 11 камінець, з другої — 22, а з третьої — 33 камінці, але за умови, що у вибраних купках є достатня кількість камінців. Чи можна за скінченну кількість ходів прийти до ситуації, коли в кожній купці міститиметься рівно по 20112011 камінців?
7 класОстача від ділення
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-10-11-080

Купи камінців і зрівняння кількостей ходами 2, 3, 4

Є 20122012 куп камінців. Перша з них містить 202^0 камінців, друга — 212^1 камінців, третя — 222^2 камінців і т. д. 20122012-та купка містить 220112^{2011} камінців. За один хід дозволяється вибрати довільні три купки камінців та додати в першу 22 камінці, у другу — 33, у третю — 44 камінці або вибрати довільні три купки камінців та забрати з першої купки 22 камінці, з другої — 33 камінці, з третьої — 44 камінці, але за умови, що у вибраних купках є достатня кількість камінців. Чи можна за скінченну кількість ходів прийти до ситуації, коли в кожній купці міститиметься рівно по 310053^{1005} камінців?
11 класОстача від ділення
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-09-10-036

Десять гаманців з монетами і перекладання дев’яти монет

Маємо 1010 гаманців з монетами. За один хід дозволяється взяти 99 монет з 99 гаманців (по одній з кожного, за умови, що в кожному з них є принаймні одна монета) та перекласти їх у десятий гаманець. Або навпаки, узяти 99 монет з одного з гаманців (при умові, що в ньому є принаймні 99 монет) та перекласти їх по одній в інші 99 гаманців. Спочатку в гаманцях було відповідно 1,2,3,4,4,5,5,11,121, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 11, 12 та 1313 монет.
11 класОстача від ділення
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-09-10-060

Протилежний порядок букв на дошці m × n

У кожній клітині дошки розміром m×nm \times n, де m,n∈Nm, n \in \mathbb{N}, у шаховому порядку розставлені букви А та Б. Можна послідовно міняти букви в клітинах за такими правилами: обирають дві клітини, які мають спільну сторону, і якщо в клітині записана буква А, то замість неї записують букву Б, якщо в клітині записана буква Б, то букву В, і, нарешті, якщо в клітині записана буква В, то букву А. При яких mm і nn можна за скінченну кількість кроків одержати дошку, заповнену буквами в протилежному до початкового порядку (тобто у клітинах, де була записана А, буде записано Б, і навпаки).
10 класОстача від ділення
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-09-10-045

Перетворення чисел 256 і 55 за двома правилами

Олеся може писати на дошці натуральні числа за двома правилами. Для кожного натурального nn, яке вже написане на дошці, вона може написати число 3n+133n+13. Якщо ж записане число є повним квадратом, то вона може написати також корінь із цього числа. Використовуючи ці два правила, чи зможе Олеся одержати: а) число 5555, якщо вона починала з числа 256256; б) число 256256, якщо вона починала з числа 5555?
8 класОстача від ділення
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-08-09-047

N комірок таблиці n×n з різними остачами

Табличка n×nn \times n заповнена таким чином: у першому рядку записані зліва направо числа 1,2,...,n1, 2, ..., n, у другому рядку зліва направо записані числа 2,3,...,(n+1)2, 3, ..., (n + 1), у третьому 3,4,...,(n+2)3, 4, ..., (n + 2), і т.д., у останньому рядку записані зліва направо числа n,n+1,...,2n−1n, n + 1, ..., 2n - 1. Знайти усі такі nn, для яких існують nn комірок у таблиці, жодні дві з яких не містяться у спільному стовпчику чи рядку, та таких, що серед чисел, які записані в цих обраних комірках, немає двох таких, які мають однакову остачу при діленні на nn.
8 класОстача від ділення
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-07-08-039

Таблиця непарних чисел і добутки сум рядків і стовпців

У нас є таблиця 2007×20072007 \times 2007. Непарні цілі числа записуються у кожну комірку цієї таблиці. Позначимо через ZiZ_i суму чисел в ii-му рядку, SjS_j – сума чисел в jj-й колонці, i,j=1,2007‾i, j = \overline{1, 2007}. Позначимо A=Z1Z2...Z2007A = Z_1 Z_2 ... Z_{2007}, B=S1S2...S2007B = S_1 S_2 ... S_{2007}. Довести, що A+B≠0A + B \ne 0.
10 класІнші інваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-07-08-030

П'ять купок камінців та однакові купки

Є п'ять купок, в яких лежить 4242, 7070, 105105, 462462 та 20092009 камінців. Дозволяється проводити такі операції: замість двох купок, в яких було aa і bb, камінців утворити 1) дві купки, які містять aa і (a+b)(a+b) камінців; 2) дві купки, які містять aa і ∣a−b∣|a-b| камінців. Також можна вибрати kk різних купок, загальна кількість камінців в яких дорівнює nknk, де nn – деяке натуральне число, та замість них утворити 3) kk купок по nn камінців в кожній. Чи можна за скінченну кількість кроків одержати 55 купок, в кожній з яких буде по: а) 20082008 камінців; б) 20092009 камінців?
8 класОстача від ділення
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-06-07-051

Точки на колі та отримання двох синіх точок

На колі є червоні та сині точки. Дозволено додавати червону точку та змінювати колір її сусідів або забирати червону точку й змінювати колір минулих сусідів. Нехай спочатку було дві червоні точки (менше двох точок залишати не дозволено). Чи можна отримати дозволеними операціями дві сині точки?
10 класІнші інваріанти
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-06-07-067

Дві червоні точки на колі і дві сині точки

На колі є червоні та сині точки. Дозволено додавати червону точку та змінювати колір її сусідів або забирати червону точку й змінювати колір минулих сусідів. Нехай спочатку було дві червоні точки (менше двох точок залишати не дозволено). Чи можна отримати дозволеними операціями дві сині точки?
11 класІнші інваріанти

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.