Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

158 задач
АлгебраПослідовності (інші властивості)
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-24-25-024

Послідовність цілих чисел, задана рекурентно

Послідовність цілих чисел g(n)g(n), n=0,1,2,…n = 0, 1, 2, \ldots задається такими умовами: g(0)=0,g(n)=n−g(g(n−1)),n=1,2,…g(0) = 0, \quad g(n) = n - g(g(n-1)), \quad n = 1, 2, \ldots Доведіть, що: а) для кожного натурального kk справджується нерівність g(k)⩾g(k−1)g(k) \geqslant g(k-1); б) не існує такого натурального kk, для якого g(k+1)=g(k)=g(k−1)g(k+1) = g(k) = g(k-1).
10 класМетод математичної індукції
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-24-25-072

Послідовність із сумами членів та рівними дробовими частинами

Послідовність a1,a2,…a_1, a_2, \ldots дійсних чисел задовольняє таку умову: для кожного натурального числа k⩾2k \geqslant 2 існує таке натуральне число i<ki<k, що ai+ak=ka_i+a_k=k. Відомо, що для деякого jj дробові частини чисел aja_j та aj+1a_{j+1} рівні. Доведіть, що для деяких натуральних чисел x≠yx \neq y справджується рівність ax−ay=x−ya_x-a_y=x-y. Примітка. Дробовою частиною дійсного числа aa називається число {a}∈[0,1)\{a\} \in [0,1), що задовольняє умову a=n+{a}a=n+\{a\}, де nn — деяке ціле число. Наприклад, {−3}=0\{-3\}=0, {3,14}=0,14\{3{,}14\}=0{,}14, {−3,14}=0,86\{-3{,}14\}=0{,}86.
10 класЦіла та дробова частини числа
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-23-24-027

Послідовність з логарифмом і раціональні члени

Нехай a⩾1a \geqslant 1 — дійсне число. Послідовність додатних чисел (xn)(x_n) задано такими умовами: x1=ax_1 = a; xn+1=1+log⁡2xnx_{n+1} = 1 + \log_2 x_n, n∈Nn \in \mathbb{N}. При яких aa послідовність (xn)(x_n) складатиметься тільки з раціональних чисел?
11 класРаціональні та ірраціональні числа
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-23-24-024

Подання x²-ax+1 часткою многочленів з невід’ємними коефіцієнтами

Знайдіть усі дійсні значення aa, для яких многочлен x2−ax+1x^2 - ax + 1 можна записати у вигляді частки двох многочленів з невід’ємними коефіцієнтами.
10 класВластивості коефіцієнтів многочле…
Відбір команди Закарпатської області до Всеукраїнської олімпіадиZSEL-23-24-008

Послідовність задана сумою відношень квадратів і член a2026

Послідовність (an)(a_n) задано умовами a1=a2=1a_1 = a_2 = 1 і при n>1n > 1 справджується рівність an+1=a22a1+a32a2+…+an2an−1.a_{n+1} = \frac{a_2^2}{a_1} + \frac{a_3^2}{a_2} + \ldots + \frac{a_n^2}{a_{n-1}}. Чому дорівнює член послідовності a2026a_{2026}?
10 класПослідовності (інші властивості)
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-22-23-039

Різниці членів послідовності з квадратними сумами сусідів

Нехай для цілого числа n⩾0n \geqslant 0 послідовність цілих чисел a0,a1,a2,…a_0, a_1, a_2, \ldots визначається таким чином: a0=na_0 = n та ∀k∈N\forall k \in \mathbb{N} aka_k — це найменше ціле число, яке більше за число ak−1a_{k-1} та для якого сума ak+ak−1a_k + a_{k-1} є квадратом цілого числа. Доведіть, що існує рівно [2n]\left[\sqrt{2n}\right] натуральних чисел, які не можна записати у вигляді різниці ak−ala_k - a_l, де k>l⩾0k > l \geqslant 0. Примітка. Тут через [a][a] позначено цілу частину дійсного числа aa, тобто найбільше ціле число, що не перевищує числа aa.
11 класПослідовності (інші властивості)
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-22-23-042

Поява четвірки у послідовності з цілими частинами

Послідовність натуральних чисел (an)(a_n) задовольняє умову an+2=[2an+1an]+[2anan+1].a_{n+2} = \left[\frac{2a_{n+1}}{a_n}\right] + \left[\frac{2a_n}{a_{n+1}}\right]. Доведіть, що існує такий індекс mm, для якого am=4a_m = 4 та am+1∈{3,4}a_{m+1} \in \{3, 4\}. Примітка. Для дійсного числа aa через [a][a] позначено цілу частину числа aa, тобто найбільше ціле число, що не перевищує aa.
11 класПослідовності (інші властивості)
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-22-23-045

Послідовність з умовою на суми та її 2015-й член

Нехай послідовність натуральних чисел (an)(a_n) задано таким чином: a1=1a_1 = 1; для всіх n⩾1n \geqslant 1 an+1a_{n+1} — найменше натуральне число, більше за число ana_n і таке, що для довільних значень індексів ii, jj, kk від 11 до n+1n + 1 сума ai+aj≠3aka_i + a_j \ne 3a_k. Знайдіть член послідовності a2015a_{2015}.
11 класМетод математичної індукції
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-22-23-070

Сума 2n - 1 і ціле середнє послідовних членів

Знайдіть усі натуральні числа n⩾2n \geqslant 2, для яких справджується таке твердження: якщо сума чисел у послідовності натуральних чисел (a1,a2,…,an)(a_1, a_2, \ldots, a_n) дорівнює 2n−12n - 1, то в ній існує блок послідовних членів, який містить щонайменше два члени та числа якого мають середнє арифметичне, що є цілим числом.
11 класПослідовності (інші властивості)
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-22-23-093

Нерівність для послідовності, визначеної частковими сумами

Нехай (xn)(x_n) — послідовність дійсних чисел із проміжку (0;1)(0; 1). Послідовність натуральних чисел (an)(a_n) визначається таким чином: a1=1a_1 = 1, ai+1=ma_{i+1} = m, де mm — найменше натуральне число, для якого [x1+x2+…+xm]=ai[x_1 + x_2 + \ldots + x_m] = a_i. Доведіть, що для будь-яких індексів ii, jj справджується нерівність ai+j⩾ai+aja_{i+j} \geqslant a_i + a_j.
10 класПослідовності (інші властивості)
Київська міська олімпіада юних математиківKCMO-20-21-030

Послідовність з рівністю для сусідніх членів і значення a1000

Послідовність чисел a1,a2,…,a2021a_1, a_2, \ldots, a_{2021} задовольняє умову a1=a2021a_1 = a_{2021}, і для n=1,2020‾n = \overline{1,2020} справджується рівність an+3an+1=an+12+4a_n + 3a_{n+1} = a_{n+1}^2 + 4. Яких можливих значень може набувати число a1000a_{1000}?
11 класПослідовності (інші властивості)
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-19-20-037

Прості дільники членів послідовності з рекурентним співвідношенням

Послідовність (an)(a_n) натуральних чисел задано умовами a1=1,a2=2a_1 = 1, a_2 = 2 та an+2=an+12+(n+2)an+1−an2−nan,n∈Na_{n+2} = a_{n+1}^2 + (n+2)a_{n+1} - a_n^2 - na_n, n \in \mathbb{N}. Доведіть, що існує нескінченна кількість простих чисел, які ділять хоча б один із членів цієї послідовності.
11 класТеорема Евкліда про нескінченніст…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-18-19-099

Вільний член многочлена після щоденних замін

На дошці записано многочлен x2+1x^2+1. Щодня Катря стирає записаний на дошці многочлен F(x)F(x) та записує замість нього один із двох многочленів — F2(x)+1F^2(x)+1 або F(x2+1)F(x^2+1). Доведіть, що через рік вільний член многочлена, записаного на дошці, буде більше ніж 222222^{2^{222}}.
9 класМетод математичної індукції
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-14-15-018

Рекурентна послідовність з цілочисельними членами

Послідовність (an)(a_n) задається умовами: a0=a1=a2=a3=1,anan−4=an−1an−3+an−22,n⩾4.a_0 = a_1 = a_2 = a_3 = 1, \quad a_n a_{n-4} = a_{n-1} a_{n-3} + a_{n-2}^2, \quad n \geqslant 4. Доведіть, що всі члени послідовності — цілі числа.
9 класМетод математичної індукції
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-14-15-012

Рівність з добутком членів рекурентної послідовності

Послідовність (xn)(x_n) задано умовами: x1=2014x_1 = 2014, x2=2015x_2 = 2015, xn+1=xn(xn−1)+2x_{n+1} = x_n (x_n - 1) + 2 при n⩾2n \geqslant 2. Доведіть, що справджується рівність (x12+1)(x22+1)…(x20142+1)−1=(x2015−1)2.\left(x_1^2+1\right)\left(x_2^2+1\right)\ldots\left(x_{2014}^2+1\right)-1=(x_{2015}-1)^2.
8 класПослідовності (інші властивості)
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-14-15-109

Послідовність з кількістю попередників та неспадна сума

Послідовність натуральних чисел (an)(a_n) задано правилом: a1=aa_1 = a, a2=ba_2 = b, де aa та bb — натуральні, а для всіх n⩾2n \geqslant 2 an+1a_{n+1} дорівнює кількості індексів ii, 1⩽i⩽n1 \leqslant i \leqslant n, таких, що ai=ana_i = a_n. Наприклад, для a=2a = 2, b=1b = 1 початок послідовності виглядатиме так: (2;1;1;2;2;3…)(2; 1; 1; 2; 2; 3\ldots). Знайдіть усі пари натуральних чисел (a,b)(a, b), для яких, починаючи з деякого місця, послідовність (an+an+1)(a_n + a_{n+1}) буде неспадною.
11 класПринцип Діріхле (скінченні множин…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-13-14-059

Зламаний калькулятор і число після 2014 натискань

На зламаному суперкалькуляторі працює лише одна кнопка, яка в результаті натискання на неї перетворює число xx у число x(2+x)x(2+x). Спочатку на калькуляторі було число 11. Яке число буде на ньому після 20142014 натискань тієї працюючої кнопки?
9 класПослідовності (інші властивості)
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-09-10-082

Тисячне і двотисячне місця знакозмінних сум

Числа a1=1a_1=1, a2=1−12a_2=1-\frac{1}{2}, a3=1−12+13a_3=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3},..., a2009=1−12+13−14+…+12009a_{2009}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{2009}, a2010=1−12+13−14+…+12009−12010a_{2010}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{2009}-\frac{1}{2010} записали в порядку зростання. З'ясуйте, яке число в цій розстановці записане: а) на 1000-му місці; б) на 2000-му місці?
9 класЧислові нерівності
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-03-04-020

Ряд чисел з різними сумами і менше від сусідів

У ряд виписали 4040 попарно різних додатних чисел, кожне з яких менше від 11. Сума чисел, що стоять на місцях з парними номерами, на 11 більша від суми чисел, що стоять на місцях з непарними номерами. Доведіть, що серед записаних чисел знайдеться таке, яке менше від обох своїх сусідів.
9 класПослідовності (інші властивості)
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-00-01-051

Натуральність членів послідовності та подільність a2001

Числова послідовність a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \ldots, у якій a1=2a_1 = 2, a2=500a_2 = 500 та a3=2000a_3 = 2000, для всіх натуральних n≥2n \ge 2 задовольняє умову an+2+an+1an+1+an−1=an+1an−1\frac{a_{n+2} + a_{n+1}}{a_{n+1} + a_{n-1}} = \frac{a_{n+1}}{a_{n-1}}. Доведіть, що всі члени цієї послідовності є натуральними числами, причому a2001a_{2001} ділиться без остачі на 220012^{2001}.
11 класПослідовності (інші властивості)
Київський турнір математичних боївKMB-24-25-011

Різниці сусідніх чисел послідовності добутків

Для заданого цілого числа aa будується послідовність цілих чисел a1=aa_1 = a, a2=1+a1a_2 = 1 + a_1, a3=1+a1a2a_3 = 1 + a_1 a_2, …\ldots, an+1=1+a1a2…ana_{n+1} = 1 + a_1 a_2 \ldots a_n, …\ldots. Доведіть, що різниці сусідніх чисел цієї послідовності an+1−ana_{n+1} - a_n, n⩾1n \geqslant 1 є квадратами цілих чисел.
8 класПослідовності (інші властивості)
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-23-24-029

Десять стрільців з результатами як середнє попередніх

У змаганні зі стрільби брали участь 1010 спортсменів. Перший вибив 6464 очки, другий — 3232 очки, кожний наступний вибивав кількість очок, що дорівнює середньому арифметичному результатів усіх попередніх спортсменів. Який результат показав 1010-й стрілець?
5 класІнші інваріанти
Київський турнір математичних боївKMB-23-24-138

Зростаюча послідовність натуральних чисел з подільністю

Нескінченна зростаюча послідовність натуральних чисел (an)(a_n) задовольняє умову an<n+2020a_n < n + 2020 та число n3an−1n^3 a_n - 1 ділиться націло на число an+1a_{n+1} для довільних натуральних nn. Доведіть, що an=na_n = n, n∈Nn \in \mathbb{N}.
10–11 класиНСД та НСК
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-23-24-089

Послідовність з нульовою сумою і максимуми модулів

Нехай a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n — послідовність дійсних чисел з нульовою сумою. Визначимо послідовність bi=a1+a2+…+aib_i = a_1 + a_2 + \ldots + a_i, i=1,n‾i = \overline{1, n}. Доведіть, що коли bi(aj+1−ai+1)⩾0b_i (a_{j+1} - a_{i+1}) \geqslant 0, 1⩽i⩽j⩽n−11 \leqslant i \leqslant j \leqslant n - 1, то справджується нерівність max⁡1⩽l⩽n∣al∣⩾max⁡1⩽m⩽n∣bm∣.\max_{1 \leqslant l \leqslant n} |a_l| \geqslant \max_{1 \leqslant m \leqslant n} |b_m|.
9 класПослідовності (інші властивості)
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-22-23-050

Ряд із 2023 чисел та можливе місце числа -1

На дошці в один ряд написано 20232023 цілих ненульових числа, що задовольняють такі умови: - серед кожних двох сусідніх чисел принаймні одне — додатне; - сума довільних трьох сусідніх чисел — від’ємна; - добуток довільних чотирьох сусідніх чисел — додатний. Відомо, що серед цих чисел є від’ємне число −1-1. Якщо написані числа пронумерувати зліва направо, то на позиції з яким номером може розташовуватися число −1-1? Укажіть усі можливі відповіді.
6 класКонструкція через періодичність

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.