Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

100 задач
ГеометріяПоворотна гомотетія
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-24-25-111

Бісектриси BK і BL та пряма OD

Задано трикутник ABCABC, на стороні ACAC якого вибрали довільну точку DD. У трикутниках ABDABD та CBDCBD провели бісектриси BKBK та BLBL відповідно. Точка OO — центр описаного кола трикутника KBLKBL. Доведіть, що друга точка перетину описаних кіл трикутників ABLABL та CBKCBK лежить на прямій ODOD.
11 класКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-23-24-110

Точка з рівними кутами в чотирикутнику і перпендикуляр

Усередині опуклого чотирикутника ABCDABCD вибрали точку XX так, що ∠XBC=∠XAD\angle XBC = \angle XAD і ∠XCB=∠XDA\angle XCB = \angle XDA. Промені ABAB і DCDC перетинаються в точці OO, описані кола трикутників BCOBCO й ADOADO перетинаються вдруге в точці TT. Доведіть, що пряма TXTX та перпендикуляр, опущений з точки OO на пряму BCBC, перетинаються на описаному колі трикутника AODAOD.
11 класКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-20-21-048

Центри кіл OAD, OBC і середини AB, CD

Усередині чотирикутника ABCDABCD позначили точку OO таку, що ∠OAD+∠OBC=∠ODA+∠OCB=90∘\angle OAD + \angle OBC = \angle ODA + \angle OCB = 90^\circ. Доведіть, що центри описаних навколо трикутників OADOAD і OBCOBC кіл, а також середини сторін ABAB і CDCD лежать на одному колі.
10 класПоворотна гомотетія
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-18-19-007

Вписаний чотирикутник, середина PQ і перпендикулярність

Нехай ABCDABCD — вписаний чотирикутник, продовжимо сторони DADA та DCDC до точок PP та QQ відповідно таким чином, щоб AP=BCAP = BC та AB=CQAB = CQ. Нехай точка MM — середина відрізка PQPQ. Доведіть, що MA⊥MCMA \perp MC.
8 класЛанцюжок подібних трикутників
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-18-19-018

Рівність кутів у трикутнику з паралельним відрізком

На сторонах ABAB та ACAC трикутника ABCABC вибрано точки DD та EE відповідно таким чином, що DE∥BCDE \parallel BC. Точка MM — середина сторони BCBC. Точка PP така, що DB=DPDB = DP, EC=EPEC = EP, відрізки APAP і BCBC перетинаються у внутрішній точці, тобто в точці, що відмінна від кінців відрізків. Доведіть, що ∠CPE=∠BMD\angle CPE = \angle BMD, якщо ∠BPD=∠CME\angle BPD = \angle CME.
9 класТочка перетину серединних перпенд…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-11-12-118

Паралельні діаметри двох кіл і пряма XY

Кола ω1\omega_1 та ω2\omega_2 перетинаються в точках PP та QQ. Нехай ABAB і CDCD — паралельні діаметри кіл ω1\omega_1 та ω2\omega_2 відповідно. При цьому жодна з точок AA, BB, CC, DD не збігається ні з PP, ні з QQ, і точки лежать на колах у такому порядку: AA, BB, PP, QQ на колі ω1\omega_1 та CC, DD, PP, QQ на колі ω2\omega_2. Прямі APAP та BQBQ перетинаються в точці XX, а прямі CPCP та DQDQ — у точці YY, X≠YX \neq Y. Доведіть, що всі прямі XYXY для різних варіантів вибору діаметрів ABAB та CDCD проходять через одну й ту саму точку або всі є паралельними.
11 класПоворотна гомотетія
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-11-12-084

Точки з трикутників на сторонах на одній прямій

На сторонах ABAB і ACAC гострокутного трикутника ABCABC зовні його побудовано трикутники ABC1ABC_1 і AB1CAB_1C так, що ∠BAC1=∠B1AC=30∘\angle BAC_1 = \angle B_1AC = 30^\circ і ∠AC1B=∠AB1C=60∘\angle AC_1B = \angle AB_1C = 60^\circ, а всередині трикутника ABCABC відмітили точку A1A_1 так, що ∠CBA1=∠BCA1=30∘\angle CBA_1 = \angle BCA_1 = 30^\circ. Доведіть, що точки A1A_1, B1B_1 та C1C_1 лежать на одній прямій.
9 класПоворотна гомотетія
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-07-08-034

Рівнобедрений трикутник, внутрішня точка і сума кутів

Дано рівнобедрений трикутник ABCABC (AC=BCAC = BC). Нехай PP – точка всередині трикутника, така, що ∠PAB=∠PBC\angle PAB = \angle PBC. Точка MM – середина сторони ABAB. Доведіть, що ∠APM+∠BPC=180∘\angle APM + \angle BPC = 180^\circ.
10 класПоворотна гомотетія
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-19-20-116

Рівні відрізки через ортоцентр і перетин з описаним колом

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з ортоцентром у точці HH. Пряма, що проходить через точку HH, перетинає сторони ABAB та ACAC у точках DD та EE відповідно таким чином, що AD=AEAD = AE. Точка KK — точка перетину описаного кола трикутника ABCABC та прямої MHMH, де точка MM — середина сторони BCBC. Доведіть, що точки AA, DD, EE та KK — циклічні.
9 класЛанцюжок подібних трикутників
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-18-19-174

Вписаний чотирикутник і прямі AB, CD та XY

Опуклий чотирикутник ABCDABCD вписано в коло. Прямі ADAD та BCBC перетинаються в точці EE. Точки MM, NN вибрано на сторонах ADAD, BCBC відповідно таким чином, що AM:MD=BN:NCAM : MD = BN : NC. Описані кола трикутника EMNEMN та чотирикутника ABCDABCD перетинаються в точках XX, YY. Доведіть, що прямі ABAB, CDCD та XYXY перетинаються в одній точці або паралельні.
10–11 класиРадикальна вісь
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-18-19-175

Бісектриса кута між діагоналями вписаного чотирикутника

Діагоналі вписаного чотирикутника ABCDABCD перетинаються в точці OO. Пряма ll ділить кут AOBAOB навпіл. Через (a,b,c)(a, b, c) позначимо невироджений трикутник, утворений цими трьома прямими. Доведіть, що описані кола трикутників Δ1=(l,AB,CD)\Delta_1 = (l, AB, CD) та Δ2=(l,AD,BC)\Delta_2 = (l, AD, BC) дотикаються.
10–11 класиКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-15-16-225

Перетин кіл через середини сторін чотирикутника

У чотирикутнику ABCDABCD сторони ABAB і CDCD не паралельні. Середини сторін ADAD і BCBC позначимо літерами MM і NN. Пряма MNMN перетинає діагоналі ACAC і BDBD у точках KK і LL. Доведіть, що описані кола трикутників AKMAKM і BNLBNL перетинаються на прямій ABAB.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-14-15-099

Чотирикутник ABCD із сумою кутів і рівністю добутків

Дано чотирикутник ABCDABCD, у якому ∠A+∠C=60∘\angle A + \angle C = 60^\circ і AB⋅CD=BC⋅ADAB \cdot CD = BC \cdot AD. Доведіть, що AB⋅CD=AC⋅BDAB \cdot CD = AC \cdot BD.
9 класЛанцюжок подібних трикутників
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-13-14-201

Функція з нульовою сумою на подібних n-кутниках

На площині задано nn-кутник A1A2…AnA_1A_2\ldots A_n. Про функцію ff, яка кожній точці площини ставить у відповідність деяке дійсне число, відомо, що для довільного nn-кутника B1B2…BnB_1B_2\ldots B_n цієї площини, який подібний до A1A2…AnA_1A_2\ldots A_n, виконується рівність ∑i=1nf(Bi)=0\sum\limits_{i=1}^{n} f(B_i)=0. Знайдіть усі можливі функції ff.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-136

Відношення відрізків KL і MN у гострому куті

Дано гострий кут з вершиною OO. На одній стороні обрано довільні точки A,DA, D, на іншій – B,CB, C. Нехай M,NM, N – середини відрізків ABAB і CDCD відповідно. KK – точка перетину дотичних до описаного кола трикутника OABOAB в точках AA і BB; LL – точка перетину дотичних до описаного кола трикутника OCDOCD в точках CC і DD. Довести, що відношення KLMN\frac{KL}{MN} не залежить від вибору точок A,B,C,DA, B, C, D.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-159

Коло через A і H з дотиком до BC

В гострокутному трикутнику ABCABC провели висоти ADAD, BEBE і CFCF та відмітили ортоцентр HH. Коло ww з центром в точці OO, проходить через точки AA і HH та перетинає сторони ABAB і ACAC другий раз в точках PP і QQ (відмінних від AA) відповідно. Коло, описане навколо трикутника OPQOPQ дотикається до відрізка BCBC в точці RR. Довести, що CRBR=EDFD\dfrac{CR}{BR} = \dfrac{ED}{FD}.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Київський турнір математичних боївKMB-07-08-060

Трикутники з поділом сторін 2 - √3 на подібність

На сторонах BCBC, CACA, ABAB трикутника ABCABC вибрано точки A1A_1, B1B_1, C1C_1 відповідно так, що AC1C1B=BA1A1C=CB1B1A=2−3\frac{AC_1}{C_1B} = \frac{BA_1}{A_1C} = \frac{CB_1}{B_1A} = 2 - \sqrt{3}. На сторонах ΔA1B1C1\Delta A_1B_1C_1 вибираються точки A2A_2, B2B_2, C2C_2, які ділять сторони B1C1B_1C_1, C1A1C_1A_1, A1B1A_1B_1 відповідно в такому самому відношенні. З ΔA2B2C2\Delta A_2B_2C_2 виконують ту ж саму дію, і т.д. Чи обов'язково серед трикутників AiBiCiA_iB_iC_i, i∈Ni \in \mathbb{N} зустрінеться трикутник, подібний до ΔABC\Delta ABC.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-07-08-113

Кут 60° в трикутнику і паралельність QE та BC

Дано трикутник ABCABC з кутом ∠ACB=60∘\angle ACB = 60^\circ. Нехай точку EE обрано на стороні ACAC таким чином, що CE<BCCE < BC. Точка DD належить відрізку BCBC таким чином, що AEBD=BCCE−1\dfrac{AE}{BD} = \dfrac{BC}{CE} - 1. Позначимо через PP точку перетину прямих ADAD і BEBE. Нехай кола, що описані навколо трикутників AEPAEP і BDPBDP перетинаються в точках PP і QQ. Довести, що прямі QEQE і BCBC паралельні.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Київський турнір математичних боївKMB-06-07-090

Рівності добутків сторін для точки всередині чотирикутника

Точка MM всередині опуклого чотирикутника ABCDABCD обрана таким чином, що MA=ACMA = AC, ∠AMB=∠MAD+∠MCD\angle AMB = \angle MAD + \angle MCD, ∠CMD=∠MCB+∠MAB\angle CMD = \angle MCB + \angle MAB. Доведіть, що AB⋅CM=BC⋅MDAB\cdot CM = BC\cdot MD і BM⋅AD=MA⋅CDBM\cdot AD = MA\cdot CD.
8–9 класиПоворотна гомотетіябез розв’язку
Київський турнір математичних боївKMB-06-07-096

Точка в опуклому чотирикутнику та рівності добутків

Точка MM всередині опуклого чотирикутника ABCDABCD обрана таким чином, що MA=ACMA = AC, ∠AMB=∠MAD+∠MCD\angle AMB = \angle MAD + \angle MCD, ∠CMD=∠MCB+∠MAB\angle CMD = \angle MCB + \angle MAB. Доведіть, що AB⋅CM=BC⋅MDAB\cdot CM = BC\cdot MD і BM⋅AD=MA⋅CDBM\cdot AD = MA\cdot CD.
8–9 класиПоворотна гомотетіябез розв’язку
Олімпіада SET University з математикиSETMO-21-22-047

Пряма H1H2 і точки перетину описаних кіл

Нехай трикутник APDAPD — гострокутний, на сторонах APAP та PDPD якого вибрано точки BB і CC відповідно. Діагоналі чотирикутника ABCDABCD перетинаються в точці QQ. Позначимо через H1H_1 та H2H_2 ортоцентри трикутників APDAPD і BPCBPC відповідно. Описані кола трикутників ABQABQ і CDQCDQ перетинаються вдруге в точці X≠QX \neq Q, а описані кола трикутників ADQADQ і BCQBCQ перетинаються вдруге в точці YY. Доведіть, що коли пряма H1H2H_1H_2 проходить через точку XX, то вона проходить і через точку YY.
11 класРадикальна вісь
Тематичні олімпіади з математикиTMO-17-18-023

Прямокутний трикутник і дотична до описаного кола

На гіпотенузі ABAB прямокутного трикутника ABCABC позначили точку KK так, що BK=BCBK = BC. Точка PP на перпендикулярі, проведеному з точки KK до прямої CKCK, рівновіддалена від точок KK і BB, точка LL — середина відрізка CKCK. Доведіть, що пряма APAP дотикається до описаного кола трикутника BLPBLP.
10 класПоворотна гомотетія
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-23-24-009

Трикутник з симетричних вершин і пряма через його центри

Нехай ABCABC — гострокутний різносторонній трикутник з ортоцентром у точці HH. Нехай lal_a — пряма, що проходить через точку BcB_c, яка симетрична точці BB відносно прямої CHCH, та через точку CbC_b, яка симетрична точці CC відносно прямої BHBH. Лінії lbl_b і lcl_c визначаємо аналогічним чином. Прямі lal_a, lbl_b і lcl_c визначають трикутник TT. Доведіть, що ортоцентр трикутника TT, центр описаного кола трикутника TT і точка HH лежать на одній прямій.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-19-20-011

Перетин прямих A1A2 і B1B2 на висоті трикутника

У нерівнобедреному трикутнику ABCABC із центром описаного кола в точці OO проведено висоти AHaAH_a, BHbBH_b та CHcCH_c. Описане коло трикутника AOHaAOH_a перетинає вдруге описане коло трикутника ABCABC та пряму ABAB у точках B1B_1 та B2B_2 відповідно. Описане коло трикутника BOHbBOH_b перетинає вдруге описане коло трикутника ABCABC та пряму ABAB у точках A1A_1 та A2A_2 відповідно. Доведіть, що точка перетину прямих A1A2A_1A_2 та B1B2B_1B_2 лежить на прямій CHcCH_c.
10–11 класиРадикальна вісь
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-18-19-003

Симетрії внутрішньої точки трикутника відносно сторін

Усередині трикутника ABCABC вибрано точку TT. Нехай через A1,B1,C1A_1, B_1, C_1 позначено точки, симетричні точці TT відносно прямих BCBC, ACAC і ABAB відповідно. Позначимо через Ω\Omega описане коло трикутника A1B1C1A_1B_1C_1. Прямі A1T,B1T,C1TA_1T, B_1T, C_1T удруге перетинають коло Ω\Omega у точках A2,B2,C2A_2, B_2, C_2 відповідно. Доведіть, що прямі AA2,BB2,CC2AA_2, BB_2, CC_2 перетинаються на колі Ω\Omega.
10–11 класиПоворотна гомотетія

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.