Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

255 задач
КомбінаторикаРекурентний підрахунок
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-24-25-064

Кількість розташувань карток 1–10 з умовою на сусіда справа

Петрик має 1010 карток, пронумерованих числами 1,2,…,101, 2, \ldots, 10. Він хоче скласти їх у рядок зліва направо, дотримуючись таких умов: якщо картка з номером kk лежить на певній позиції, то праворуч від неї може бути розташована картка з номером, більшим за kk, або картка з номером k−1k-1. Скільки таких різних розташувань карток існує?
9 класМетод математичної індукції
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-23-24-023

Кількість листочків на дереві після 10-го дня

Дерево щодня приростає гілками та листочками в такий спосіб. Першого дня виростає нова гілка. Другого дня на кінці цієї гілки виростає 22 нові гілки, а на самій гілці — один листочок. Кожного наступного дня на кінці кожної гілки, що з’явилася напередодні, виростають по 22 нові гілки, а також по одному додатковому листочку на кожній гілці, що існувала до цього дня (рис. 1.4). Скільки листочків буде на дереві по завершенні 1010-го дня?
10 класРекурентний підрахунок
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-23-24-074

Розклади занять трьома видами спорту на 7 днів

Петрик займався спортом рівно 77 днів, кожного дня він вибирав заняття одним із трьох видів спорту — футболом, хокеєм чи баскетболом. Відомо, що протягом кожних 44 послідовних днів він точно вибирав для занять кожен із трьох видів спорту. Скільки існує розкладів занять, що задовольняють такі умови?
10 класРекурентний підрахунок
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-22-23-032

Підпослідовності нуль-одиничних послідовностей довжини n + 3

Нехай nn — натуральне число, XX — послідовність довжини nn, що складається з нулів та одиниць, тобто послідовність має nn членів, кожний з яких дорівнює 00 або 11. Послідовність XX є підпослідовністю послідовності YY, якщо з послідовності YY можна, викресливши декілька елементів, отримати послідовність XX. а) Доведіть, що кількість послідовностей YY довжини n+3n + 3, що містять послідовність XX як підпослідовність, не залежить від того, якою із самого початку було вибрано послідовність XX. б) Для якого найменшого nn кількість таких послідовностей YY більша за 20182018?
10 класРекурентний підрахунок
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-22-23-046

Нерівність для кількості двійкових послідовностей без серії одиниць

Позначимо через S(n,m)S(n, m) кількість різних послідовностей, що мають nn членів, кожен з яких дорівнює 00 або 11, та які не містять mm одиниць, що йдуть поспіль. Доведіть, що для будь-яких натуральних nn, mm справджується нерівність S(2015n,n)⋅S(2015m,m)⩾S(2015m,n)⋅S(2015n,m).S(2015n, n) \cdot S(2015m, m) \geqslant S(2015m, n) \cdot S(2015n, m).
11 класРекурентний підрахунок
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-20-21-049

Розфарбування дошки 2021 × 2021 з різними рядками і стовпцями

Скількома способами можна розфарбувати клітинки дошки розміром 2021×20212021 \times 2021 у жовтий і синій кольори так, щоб справджувалася умова: кожні два рядки мають різну кількість синіх клітинок, а кожні два стовпці — різну кількість жовтих клітинок?
10 класРекурентний підрахунок
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-19-20-016

Розфарбування коробок у три кольори з однаковими сусідами

Для n⩾2n \geqslant 2 розглянемо nn коробок, що розташовані в лінію зліва направо. У кожну коробку поклали м’яч одного з трьох кольорів — червоного, синього або чорного, так що виконується умова: кожна коробка серед сусідніх має принаймні одну коробку з м’ячем однакового кольору в ній. Позначимо через InI_n — кількість таких розташувань м’ячів по коробках. а) Знайдіть значення I11I_{11}. б) Знайдіть загальну формулу для InI_n.
9 класРекурентний підрахунок
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-17-18-030

Кількість розбиттів дошки 4 × 4n на тетраміно

Дано натуральне число nn. Скількома способами можна розбити дошку 4×4n4 \times 4n на фігурки тетраміно, що утворюються відрізанням від прямокутника 2×32 \times 3 двох кутових квадратиків з однієї сторони? Примітка. Фігурки можна повертати й перевертати.
11 класРекурентний підрахунок
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-15-16-010

Мураха на кубі і різниця кількості маршрутів

Мураха стартує з вершини AA куба ABCDA1B1C1D1ABCDA_1B_1C_1D_1. Вона блукає протягом 2015 хвилин, при цьому за кожну хвилину переходить уздовж одного ребра в сусідню вершину. Позначимо через mm кількість таких мандрівок, що закінчуються у вершині BB, а через nn — таких, що закінчуються у вершині C1C_1. Знайдіть величину m−nm - n.
8 класШляхи на графах
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-13-14-020

Нерівність для кількості перестановок з обмеженням

Нехай sns_n позначає кількість перестановок (a1,a2,…,an)(a_1, a_2, \ldots, a_n) чисел 1, 2, …, n1,\ 2,\ \ldots,\ n таких, що 1⩽∣ai−i∣⩽21 \leqslant |a_i - i| \leqslant 2 для всіх ii: 1⩽i⩽n1 \leqslant i \leqslant n. Доведіть, що для всіх n>6n > 6 виконується нерівність 7sn−14<sn<2sn−1\dfrac{7s_{n-1}}{4} < s_n < 2s_{n-1}.
10 класРекурентний підрахунок
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-12-13-029

Прості слова довжини n над чотирма літерами

Уважаємо, що абетка певної мови складається з чотирьох літер {a, b, c, d}\{a,\ b,\ c,\ d\}, тобто всі слова лексики цієї мови утворюються з цих букв. Назвемо слово складним тоді і тільки тоді, коли в ньому є дві послідовні однакові групи літер, всі інші слова називатимемо простими. Наприклад, слова caa‾dc\underline{\boldsymbol{aa}}d та cabab‾dcc\underline{\boldsymbol{abab}}dc є складними, а слово abcababcab — простим. Доведіть, що кількість простих слів лексики, що містять nn букв, більша, ніж 2n2^n.
11 класРекурентний підрахунок
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-10-11-033

Найменша кількість натискань для вимкнення 2011 ламп

Є ряд ламп, що пронумеровані числами 1,2,…,20111, 2, \ldots, 2011. Кожна лампа має свій окремий перемикач, який після натискання переводить відповідну лампу зі стану ВКЛ у стан ВИКЛ та навпаки. Перемикачі можна натискати лише в такий спосіб: 1. Перемикач № 11 можна натискати будь-коли. 2. Перемикач з номером k∈{2,3,…,2011}k \in \{2, 3, \ldots, 2011\} можна натискати тільки за умови, що лампа з номером k−1k - 1 перебуває в стані ВКЛ, а лампи з номерами 1,2,…,k−21, 2, \ldots, k - 2 (якщо такі існують) — у стані ВИКЛ. Спершу всі лампи перебувають у стані ВКЛ. Доведіть, що найменша кількість натискань на перемикачі, які потрібно зробити, щоб перевести всі лампи у стан ВИКЛ, дорівнює 22012−13\dfrac{2^{2012} - 1}{3}.
11 класЛінійні рекурентні послідовності
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-10-11-028

Рівність кількості танцювальних пар у двох містах

Нехай nn — натуральне число. У місті XX живуть nn дівчат і nn хлопців, та кожна дівчина знає кожного з хлопців. У місті YY живуть nn дівчат g1,g2,…,gng_1, g_2, \ldots, g_n та 2n−12n - 1 хлопців b1,b2,…,b2n−1b_1, b_2, \ldots, b_{2n - 1}. Для кожного i=1,n‾i = \overline{1, n} дівчина gig_i знає тільки хлопців b1,b2,…,b2i−1b_1, b_2, \ldots, b_{2i - 1} (з іншими не знайома). Нехай існує деяке натуральне rr таке, що 1⩽r⩽n1 \leqslant r \leqslant n. У кожному місті rr дівчат та rr хлопців утворили на вечірці пари для танців, причому кожна дівчина танцює зі знайомим хлопцем. Позначимо через X(r)X(r) кількість варіантів, якими ми можемо утворити rr пар, що танцюють у місті XX, а через Y(r)Y(r) — аналогічну величину в місті YY. Доведіть, що для кожного r=1,n‾r = \overline{1, n} справджується рівність X(r)=Y(r)X(r) = Y(r).
10 класРекурентний підрахунок
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-07-08-009

Таблиці два на 2008 з попарно різними другими рядками

Маємо таблиці, які складаються із двох рядків та 20082008 стовпчиків і будуються за таким правилом – у кожній таблиці в першому рядку записані довільні цілі числа (у кожній комірці таблиці рівно одне число) у неспадному порядку. Числа других рядків одержуються таким чином – під кожним числом А з першого рядка записується число В, що дорівнює кількості чисел першого рядка, менших від А та розташованих лівіше від А. Відомо, що усі таблиці мають попарно різні другі рядки. Знайдіть найбільшу можливу кількість таблиць.
8 класПравила суму та добутку
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-07-08-016

Викреслювання чисел по колу і останнє число 63

По колу виписані послідовно в порядку зростання за рухом годинникової стрілки усі натуральні числа від 11 до 20082008. Вибирається деяке записане число AA. Ми його викреслюємо, а далі послідовно за рухом годинникової стрілки пропускаємо одне невикреслене число і викреслюємо наступне ще невикреслене. Так робимо до тих пір, поки не залишиться останнє число. З якого числа AA треба почати, щоб залишилось невикресленим число 6363.
10 класМетод математичної індукції
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-07-08-043

Неспадні послідовності цілих невідʼємних чисел з обмеженням

Розглянемо усі можливі послідовності a1a_1, a2a_2,..., a2008a_{2008} цілих невід'ємних чисел, такі, що a1≤a2≤...≤a2008a_1 \le a_2 \le ... \le a_{2008}, ak≤(k−1)a_k \le (k-1) та для усіх kk від 11 до 20082008. Доведіть, що таких послідовностей: а) більше, ніж 220072^{2007}; б) більше, ніж 220082^{2008}.
10 класРекурентний підрахунок
Київська районна математична олімпіадаKDMO-06-07-074

Кількість частин площини від n прямих

В площині проведено nn прямих, жодні дві з яких не паралельні і жодні три не проходять через одну точку. На скільки частин розбивають площину ці прямі?
10 класМетод математичної індукції
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-06-07-025

Подільність на 3 перестановок з кроком не більше 2

Нехай a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n – деяка перестановка чисел 1,2,…n1, 2, \ldots n. Позначимо через f(n)f(n) кількість таких перестановок, які задовольняють умові: а) a1=1a_1 = 1, б) ∣ai+1−ai∣≤2|a_{i+1} - a_i| \le 2 для усіх ii від 11 до (n−1)(n-1). З'ясувати, чи ділиться на 33 число f(2007)f(2007)?
9 класРекурентний підрахунок
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-06-07-048

Кількість перестановок з кроком ≤2 і ділення на 3

Нехай a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n – деяка перестановка чисел 1,2,…n1, 2, \ldots n. Позначимо через f(n)f(n) кількість таких перестановок, які задовольняють умові: а) a1=1a_1 = 1, б) ∣ai+1−ai∣≤2|a_{i+1} - a_i| \le 2 для усіх ii від 11 до (n−1)(n-1). З'ясувати, чи ділиться на 33 число f(2007)f(2007)?
10 класРекурентний підрахунок
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-06-07-065

Перестановки з різницею до 2 і подільність на 3

Нехай a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n – деяка перестановка чисел 1,2,…n1, 2, \ldots n. Позначимо через f(n)f(n) кількість таких перестановок, які задовольняють умові: а) a1=1a_1 = 1, б) ∣ai+1−ai∣≤2|a_{i+1} - a_i| \le 2 для усіх ii від 11 до (n−1)(n-1). З'ясувати, чи ділиться на 33 число f(2007)f(2007)?
11 класРекурентний підрахунок
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-06-07-068

Кубічні перестановки та подільність їх кількості

Назвемо перестановку τ\tau набору чисел (1,2,…,n)(1, 2, \ldots, n) «кубічною», якщо τ(τ(τ(x)))=x\tau(\tau(\tau(x))) = x. Позначимо кількість «кубічних» перестановок ana_n. Довести, що a2007a_{2007} ділиться на 33353^{335}.
11 класРекурентний підрахунок
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-01-02-080

Фарбування сторін правильного p-кутника в k кольорів

Нехай p>2p > 2 — просте число, k>1k > 1 — кількість фарб, причому числа k−1k - 1 та pp взаємно прості. Доведіть, що кількість способів фарбування сторін правильного pp-кутника так, щоб сусідні сторони були пофарбовані в різні кольори (многокутник повертати не можна), ділиться без остачі на (k−1)p(k - 1)p.
11 класРекурентний підрахунок
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-24-25-095

Гарні послідовності довжини n та їх кількість

Задано натуральне число nn. Послідовність чисел (x1,x2,…,xn)(x_1, x_2, \ldots, x_n) називається гарною, якщо для кожного i=1,n‾i = \overline{1, n} справджується рівність: x13+x23+…+xi3=(x1+x2+…+xi)2x_1^3 + x_2^3 + \ldots + x_i^3 = (x_1 + x_2 + \ldots + x_i)^2. Дві послідовності чисел (x1,x2,…,xn)(x_1, x_2, \ldots, x_n) та (x1,x2,…,xn)(x_1, x_2, \ldots, x_n) називаються різними, якщо принаймні для одного i=1,n‾i = \overline{1, n} xi≠yix_i \neq y_i. Доведіть, що гарних послідовностей існує не більше ніж 3n−1+2n−13^{n-1} + 2^{n-1}.
9 класРекурентний підрахунок
Київський турнір математичних боївKMB-23-24-008

Кількість заповнень прямокутника 3 на 2024

Клітчастий прямокутник 3×20243 \times 2024 (33 рядки та 20242024 стовпці) заповнено числами 1,2,…,60721, 2, \ldots, 6072 таким чином, що послідовні числа розташовані в сусідніх по стороні клітинках, число 11 розташоване в найлівішому стовпці, а число 3n3n — у найправішому. Скільки існує варіантів такого заповнення?
8 класПравила суму та добутку
Київський турнір математичних боївKMB-23-24-130

Кожен третій пиріжок по колу і сім обходів

На круглому столі розкладено пиріжки, занумеровані числами від 11 до nn. Петрик стоїть біля пиріжка за номером 11, потім іде навколо стола в напрямку зростання номерів пиріжків та з'їдає кожний третій пиріжок, тобто першим він з'їв пиріжок за номером 33. Останнім з'їв пиріжок за номером 11, при цьому зробив повних обходів стола 77 разів. Яких значень може набувати число nn?
10–11 класиРекурентний підрахунок

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.