Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

387 задач
АлгебраСуми послідовностей
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-24-25-066

Одинадцять чисел та нове середнє арифметичне

Задані 1111 чисел, середнє арифметичне яких дорівнює 1010. До кожного з перших чотирьох чисел додали 2020, а від кожного із семи останніх відняли 2424. Чому дорівнює середнє арифметичне нових 1111 чисел?
10 класСуми послідовностей
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-24-25-102

Послідовність із квадратними коренями і нерівність для суми

Відомо, що послідовність додатних дійсних чисел (xn)(x_n) задовольняє співвідношення: xn+1=xn+xn+14+xn+1+14,n⩾1.x_{n+1} = x_n + \sqrt{x_n + \frac{1}{4}} + \sqrt{x_{n+1} + \frac{1}{4}}, \quad n \geqslant 1. Доведіть, що справджується така нерівність: 1x2+1x3+…+1x2025<1x1.\frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} + \ldots + \frac{1}{x_{2025}} < \frac{1}{\sqrt{x_1}}.
10 класЗаміни в виразах з радікалами
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-24-25-104

Рядок із чисел 2 і -1 з нульовими сумами

У рядок у деякому порядку виписані 10001000 чисел 22 та 20002000 чисел −1-1. Михайло порахував кількість груп сусідніх чисел, що складаються не менше ніж із двох чисел, сума чисел у яких дорівнює 00. а) Знайдіть найменше можливе значення цієї кількості. б) Знайдіть найбільше можливе значення цієї кількості.
10 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-23-24-014

Різниця сум найбільших і найменших добутків четвірок

Для всіх четвірок натуральних чисел 1⩽x,y,z,w⩽1001 \leqslant x, y, z, w \leqslant 100 знайдемо найбільше з трьох чисел xy+zwxy + zw, xz+ywxz + yw та xw+yzxw + yz. Далі знайдемо суму всіх таких найбільших чисел по всіх четвірках, яку позначимо MM. Аналогічно для таких саме четвірок виберемо найменше з трьох чисел xy+zwxy + zw, xz+ywxz + yw та xw+yzxw + yz. Суму всіх таких найменших чисел позначимо mm. Знайдіть число M−mM - m.
9 класСуми послідовностей
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-23-24-005

Нерівність для суми з числами Фібоначчі

Нехай (Fn)(F_n) — послідовність чисел Фібоначчі, тобто F0=F1=1F_0 = F_1 = 1, Fn+2=Fn+1+FnF_{n+2} = F_{n+1} + F_n, n⩾0n \geqslant 0. Послідовність (an)(a_n) визначимо таким чином: an=1FnFn+2a_n = \dfrac{1}{F_nF_{n+2}}, n⩾0n \geqslant 0. Доведіть, що для всіх n⩾0n \geqslant 0 справджується нерівність a0+a1+…+an<1a_0 + a_1 + \ldots + a_n < 1.
8 класСуми послідовностей
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-23-24-012

Сума обернених добутків з коренями до 2020

Для натурального числа kk визначимо такі значення: f(k)=2k+k−1+k+1;g(k)=2k+k−1−k+1;f(k) = 2\sqrt{k} + \sqrt{k-1} + \sqrt{k+1}; \quad g(k) = 2\sqrt{k} + \sqrt{k-1} - \sqrt{k+1}; h(k)=2k−k−1+k+1.h(k) = 2\sqrt{k} - \sqrt{k-1} + \sqrt{k+1}. Обчисліть з точністю до сотих значення виразу: ∑k=120201f(k)⋅g(k)⋅h(k).\sum_{k=1}^{2020} \frac{1}{f(k) \cdot g(k) \cdot h(k)}.
8 класСуми послідовностей
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-23-24-011

Число в лівому стовпці нескінченної таблиці

Усі комірки нескінченної таблиці занумеровано натуральними числами 1,2,3,…1, 2, 3, \ldots так, як це показано на рис. 1.2. Яке число записано в лівому стовпці таблиці 101101-м, рахуючи віднизу? | | | | | | | | |---|---|---|---|---|---|---| | | | | | | | | | 11 | | | | | | | | 10 | 12 | … | | | | | | 4 | 9 | 13 | 18 | | | | | 3 | 5 | 8 | 14 | 17 | | | | 1 | 2 | 6 | 7 | 15 | 16 | | Рис. 1.2
7 класСуми послідовностей
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-23-24-109

Майже середні арифметичні послідовних чисел на дошці

Визначимо майже середнє арифметичне набору чисел a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n як дріб a1+a2+…+ann+1\dfrac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n+1}. Існує набір b1,b2,…,b2023b_1, b_2, \ldots, b_{2023} додатних, не обов'язково різних чисел. Для кожної пари індексів (i, j)(i,\ j), де 1⩽i⩽j⩽20231 \leqslant i \leqslant j \leqslant 2023, Олексій виписав на дошці майже середнє арифметичне чисел bi,bi+1,…,bjb_i, b_{i+1}, \ldots, b_j. Покажіть, що серед чисел, написаних на дошці, є принаймні 4545 попарно різних чисел.
11 класПринцип Діріхле (скінченні множин…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-22-23-008

Найменше m за сумою нескоротних дробів між p, q

Нехай задано натуральні числа p<qp < q. Розглянемо всі натуральні числа m>1m > 1 з такою властивістю: сума всіх нескоротних дробів зі знаменником mm, величини яких лежать у межах від pp до qq не включно, більша або дорівнює 56(q2−p2)56(q^2 - p^2). Знайдіть найменше можливе значення mm.
8 класСуми послідовностей
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-22-23-023

Сотий член послідовності з арифметичною прогресією різниць

Послідовність чисел 3,7,14,24…3, 7, 14, 24 \ldots така, що різниці сусідніх членів утворюють арифметичну прогресію. Знайдіть сотий член даної послідовності.
11 класАрифметична прогресія
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-21-22-045

Відношення 2S до T для двох сум дробів

Знайдіть відношення 2S:T2S : T, де S=11⋅2+13⋅4+…+199⋅100,S = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \ldots + \frac{1}{99 \cdot 100}, T=151⋅100+152⋅99+153⋅98+…+1100⋅51.T = \frac{1}{51 \cdot 100} + \frac{1}{52 \cdot 99} + \frac{1}{53 \cdot 98} + \ldots + \frac{1}{100 \cdot 51}.
11 класСуми послідовностей
Київська міська олімпіада юних математиківKCMO-20-21-027

Найменше значення модуля суми при n = 2021

Послідовність (xn)(x_n) така, що x0=0x_0 = 0 та ∣xn+1∣=∣xn+1∣|x_{n+1}| = |x_n + 1| ∀k∈N\forall k \in \mathbb{N}. Якого найменшого можливого значення може набувати вираз ∣x1+x2+…+xn∣|x_1 + x_2 + \ldots + x_n|, якщо n=2021n = 2021?
10 класСуми послідовностей
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-20-21-013

Рекурентна послідовність із заданою умовою та сума членів

Відомо, що для кожного натурального nn справджується умова an+1=n+1nan+1a_{n+1} = \frac{n+1}{n}a_n + 1, при цьому a2020=2020a_{2020} = 2020. Чому може дорівнювати сума a1+a2+…+a2020a_1 + a_2 + \ldots + a_{2020}?
8 класСуми послідовностей
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-20-21-017

Подільність чисельника суми дробів на p

Для простого числа p>3p > 3 визначимо нескоротний дріб mn\frac{m}{n} так: mn=p−12+p−23+…+2p−1−1.\frac{m}{n}=\frac{p-1}{2}+\frac{p-2}{3}+\ldots+\frac{2}{p-1}-1. Доведіть, що число mm ділиться націло на число pp.
8 класСуми послідовностей
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-20-21-027

Добуток a₂…aₙ більший за 100

Нехай an=1+2n−2n3−1n4a_n = 1+\frac{2}{n}-\frac{2}{n^3}-\frac{1}{n^4}. Для якого найменшого натурального значення nn добуток Pn=a2a3a4…anP_n = a_2a_3a_4\ldots a_n більший за 100100?
9 класРозкладання на множники і розкрит…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-20-21-038

Нерівність із сумою синусів непарних чисел

Доведіть, що справджується нерівність sin⁡1+sin⁡3+sin⁡5+…+sin⁡2021>2sin⁡210113.\sin 1+\sin 3+\sin 5+\ldots+\sin 2021>\frac{2\sin^2 1011}{\sqrt{3}}. Примітка. Усі кути наведено в радіанах.
10 класПеретворення тригонометричних вир…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-20-21-054

Проста сума двох сум парних степенів

Визначте для натуральних чисел mm, nn вираз fn(m)=12n+22n+32n+…+m2nf_n(m)=1^{2n}+2^{2n}+3^{2n}+\ldots+m^{2n}. Доведіть, що існує лише скінченна кількість пар натуральних чисел (a, b)(a,\ b), для яких число fn(a)+fn(b)f_n(a)+f_n(b) — просте.
11 класСуми послідовностей
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-20-21-075

Число n⁴ - k⁴ як сума різних елементів множини M

Позначимо через MM множину, що складається з натуральних чисел, які можна подати у вигляді виразу (a+b)(a2+b2)(a+b)(a^2+b^2), де aa, bb — деякі різні натуральні числа. Доведіть, що для довільних натуральних чисел n>kn > k число n4−k4n^4-k^4 є сумою деяких n−kn-k попарно різних елементів множини MM.
9 класСуми послідовностей
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-19-20-049

Подільність різниці сум значень квадратного тричлена на 2020

Для довільних цілих чисел aa, bb, cc визначимо функцію f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c. Доведіть, що вираз f(2020)+f(2019)+…+f(1011)−f(1010)−f(1009)−…−f(1)f(2020) + f(2019) + \ldots + f(1011) - f(1010) - f(1009) - \ldots - f(1) ділиться націло на 20202020.
8 класРозкладання на множники і розкрит…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-18-19-092

Рівність сум дробів для зростаючих цілих чисел

Для довільного натурального n⩾3n \geqslant 3 знайдіть такі цілі числа a1<a2<…<ana_1 < a_2 < \ldots < a_n, для яких справджується рівність a1a1+a1a2+a1a3+…+a1an=a2a1+a2a2+a2a3+…+a2an.\frac{a_1}{a_1} + \frac{a_1}{a_2} + \frac{a_1}{a_3} + \ldots + \frac{a_1}{a_n} = \frac{a_2}{a_1} + \frac{a_2}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \ldots + \frac{a_2}{a_n}.
8 класСуми послідовностей
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-15-16-029

Сума значень ста тричленів у вибраних коренях

На дошці записано 100100 квадратних тричленів f1(x)=ax2+bx+c1,f2(x)=ax2+bx+c2,…,f100(x)=ax2+bx+c100.f_1(x)=ax^2+bx+c_1,\qquad f_2(x)=ax^2+bx+c_2,\qquad \ldots,\qquad f_{100}(x)=ax^2+bx+c_{100}. Софійка з’ясувала, що кожен із них має по два дійсних корені. Вона вибрала в кожного тричлена fi(x)f_i(x) один із коренів та позначила його xix_i (1⩽i⩽100)(1\leqslant i\leqslant 100). Далі Софійка підрахувала суму f2(x1)+f3(x2)+…+f100(x99)+f1(x100)f_2(x_1)+f_3(x_2)+\ldots+f_{100}(x_{99})+f_1(x_{100}). Яке число вона могла отримати?
11 класСуми послідовностей
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-15-16-098

Натуральні n з натуральною сумою з коренями

При яких натуральних nn число NN також є натуральним, де N=2⋅112+1+4+12−1+4+2⋅222+2+4+22−2+4+…+2nn2+n+4+n2−n+4 ?N=\frac{2\cdot 1}{\sqrt{1^2+1+4}+\sqrt{1^2-1+4}}+\frac{2\cdot 2}{\sqrt{2^2+2+4}+\sqrt{2^2-2+4}}+\ldots+\frac{2n}{\sqrt{n^2+n+4}+\sqrt{n^2-n+4}}\,?
8 класСуми послідовностей
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-14-15-004

Сума відношень факторіалів і рівність

Доведіть рівність (n+0)!0!+(n+1)!1!+…+(n+n)!n!=(2n+1)!(n+1)!\dfrac{(n+0)!}{0!}+\dfrac{(n+1)!}{1!}+\ldots+\dfrac{(n+n)!}{n!}=\dfrac{(2n+1)!}{(n+1)!}. Примітка. Нагадаємо, що за означенням n!=1⋅2⋅3⋅…⋅nn!=1\cdot 2\cdot 3\cdot\ldots\cdot n та 0!=10!=1.
8 класВластивості біноміальних коефіціє…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-14-15-030

Порівняння з нулем двох знакочергових сум

Порівняйте з нулем число AA, де: а) A=1−2−3+4+5−6−7+8+9−10−11+…+2012+2013−2014−2015+2016A = 1 - 2 - 3 + 4 + 5 - 6 - 7 + 8 + 9 - 10 - 11 + \ldots + 2012 + 2013 - 2014 - 2015 + 2016; б) A=11−12−13+14+15−16−17+18+19−110−111+…+12012+12013−12014−12015+12016.A = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} - \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} - \frac{1}{10} - \frac{1}{11} + \ldots + \frac{1}{2012} + \frac{1}{2013} - \frac{1}{2014} - \frac{1}{2015} + \frac{1}{2016}. Примітка. Тут у кожному з пунктів знаки перед послідовними числами йдуть таким чином: спочатку один знак «++», а далі по черзі по два знаки «−-» та по два знаки «++» і перед останнім числом знак «++».
7 класСуми послідовностей
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-13-14-002

Часткові суми набору чисел та відношення членів

Для набору чисел a1, a2, …, aNa_1,\ a_2,\ \ldots,\ a_N позначимо через Sn=a1+a2+…+anS_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n для всіх n=1,N‾n = \overline{1, N}. Відомо, що для будь-яких k, m∈Nk,\ m \in \mathbb{N} виконується рівність SmSk=m2k2\dfrac{S_m}{S_k} = \dfrac{m^2}{k^2}. Доведіть, що для будь-яких k, m∈Nk,\ m \in \mathbb{N} справджується також відношення amak=2m−12k−1\dfrac{a_m}{a_k} = \dfrac{2m - 1}{2k - 1}.
8 класСуми послідовностей

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.