Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

78 задач
АлгебраЦиклічні підстановки (метод орбіт)
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-22-23-024

Функціональне рівняння та значення f(5) · f²(10)

Нехай функція f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R} для всіх дійсних xx задовольняє рівність f(x2+x+3)+2f(x2−3x+5)=6x2−10x+17.f(x^2 + x + 3) + 2f(x^2 - 3x + 5) = 6x^2 - 10x + 17. Знайдіть значення виразу f(5)⋅f2(10)f(5) \cdot f^2(10).
11 класЦиклічні підстановки (метод орбіт)
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-20-21-058

Рівняння з ітерованою функцією та цілими частинами

Знайдіть усі такі функції f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, що для довільних дійсних xx, yy справджується рівність f([x]2+[y]2+1)(x)+f([x]2+[y]2+1)(y)=x+y.f^{\left([x]^2+[y]^2+1\right)}(x)+f^{\left([x]^2+[y]^2+1\right)}(y)=x+y. Примітка. Тут через f(k)(x)f^{(k)}(x) позначено кількість композицій функції ff, тобто це f(f(…f⏟k(x)…))\underbrace{f(f(\ldots f}_{k}(x)\ldots)).
11 класБазові підстановки (однакові аргу…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-18-19-026

Дійсні многочлени з умовою на P(2017) і P(x²+1)

Знайдіть усі многочлени P(x)P(x) з дійсними коефіцієнтами, що задовольняють такі дві умови: - P(2017)=2016P(2017) = 2016; - ∀x(P(x)+1)2=P(x2+1)\forall x \quad (P(x)+1)^2 = P(x^2+1).
11 класЦиклічні підстановки (метод орбіт)
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-10-11-082

Ітерації цілочисельного многочлена, що повертають точку

Нехай P(x)P(x) — многочлен з цілими коефіцієнтами. Відомо, що для деякого цілого aa існує натуральне число nn таке, що P(P(…P(a)…))⏟n=a\underbrace{P(P(\ldots P(a)\ldots))}_{n} = a. Доведіть, що для цього aa виконується також умова P(P(a))=aP(P(a)) = a.
11 класЦиклічні підстановки (метод орбіт)
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-07-08-047

Функція з рівністю f(f(n)) = 2008n²⁰⁰⁷

Побудуйте функцію f:N→Nf : \mathbb{N} \to \mathbb{N} таку, що f(f(n))=2008n2007f\left(f\left(n\right)\right) = 2008n^{2007} для всіх натуральних nn.
11 класКонструктивна побудова функції
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-02-03-055

Рівність многочленів на тричленах і значення Q(2003)

Нехай P(x)P(x) і Q(x)Q(x) — такі многочлени з дійсними коефіцієнтами, що P(x2−x+1)=Q(x2+x+1)P\left(x^2 - x + 1\right) = Q\left(x^2 + x + 1\right) для всіх x∈Rx \in \mathbb{R} і P(2002)=2003P(2002) = 2003. Знайдіть Q(2003)Q(2003).
11 класЦиклічні підстановки (метод орбіт)
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-00-01-065

Існування функції двох змінних з коефіцієнтом 2001

Чи існує функція ff, що визначена на множині всіх пар дійсних чисел і задовольняє умови: 1) ff набуває всіх дійсних значень; 2) для будь-яких дійсних xx та yy f(x,y)=−f(y,x)f(x, y) = -f(y, x); 3) для будь-яких дійсних xx, yy, zz f(x,f(y,z))=2001f(f(x,y),z)f(x, f(y, z)) = 2001 f(f(x, y), z)?
9 класЦиклічні підстановки (метод орбіт)
Київський турнір математичних боївKMB-24-25-119

Усі функції з рівняннями для xy та x/y

Знайдіть усі функції f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, які для довільних xx та y≠0y \neq 0 задовольняють умови: f(3x3)=3f(x)−23x3,f(x)f(y)=f(xy)+f(xy).f\left(\frac{\sqrt{3}x}{3}\right) = \sqrt{3} f(x) - \frac{2\sqrt{3}x}{3}, \quad f(x)f(y) = f(xy) + f\left(\frac{x}{y}\right).
10–11 класиЦиклічні підстановки (метод орбіт)
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-24-25-022

Значення f(2020) для функції з умовами

Відомо, що існує функція f:N→Nf: \mathbb{N} \to \mathbb{N}, що для кожного натурального nn задовольняє такі умови: f(1)=1f(1)=1, f(f(n))=nf(f(n))=n, f(2n)=2f(n)+1f(2n)=2f(n)+1. Знайдіть усі можливі значення f(2020)f(2020).
7–8 класиЦиклічні підстановки (метод орбіт)
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-19-20-148

Функціональне рівняння з виразом 1/(1-x)

Знайдіть усі такі функції f:R∖{0;1}→Rf:\mathbb{R}\setminus\{0;1\}\to\mathbb{R}, що для довільного x∈R∖{0;1}x\in\mathbb{R}\setminus\{0;1\} справджується рівність f(11−x)=1+xf(x).f\left(\dfrac{1}{1-x}\right)=1+xf(x).
10–11 класиЦиклічні підстановки (метод орбіт)
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-19-20-171

Відображення множини 1…999 і нерухома точка

Дано множину S={1,2,…,999}S = \{1, 2, \ldots, 999\}, відображення якої f ⁣:S→Sf\colon S \to S задовольняє такі умови: fn+f(n)+1(n)=fnf(n)(n)=n∀n∈Sf^{n+f(n)+1}(n) = f^{nf(n)}(n) = n \quad \forall n \in S. Доведіть, що існує елемент a∈Sa \in S, для якого справджується рівність f(a)=af(a) = a. Тут f2(n)=f(f(n))f^{2}(n) = f(f(n)), f3(n)=f(f(f(n)))f^{3}(n) = f(f(f(n))) і так далі.
10–11 класиЦиклічні підстановки (метод орбіт)
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-19-20-173

Функціональне рівняння з додатними параметрами a і b

Дано додатні числа aa, bb. Знайдіть усі такі функції f:(0,+∞)→(0,+∞)f:(0,+\infty)\to(0,+\infty), що ∀x>0\forall x>0 задовольняють умову f(f(x))+af(x)=b (a+b) xf(f(x))+af(x)=b\,(a+b)\,x.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Київський турнір математичних боївKMB-17-18-141

Функції з ітераціями для дільників числа 2015

Позначимо через f(n)(x)=f(f(…(f(x))…))⏟nf^{(n)}(x)=\underbrace{f(f(\ldots(f(x))\ldots))}_{n}. Знайдіть усі такі функції f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, які для кожного дільника d>1d>1 числа 20152015 для всіх дійсних xx задовольняють рівність f(d)(x)=2015−x.f^{(d)}(x)=2015-x.
10–11 класиЦиклічні підстановки (метод орбіт)
Київський турнір математичних боївKMB-15-16-144

Функції з двома функціональними рівняннями

Знайдіть усі функції f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, що ∀x\forall x та ∀y≠0\forall y \neq 0 задовольняють такі умови: f(33x)=3f(x)−233xтаf(x)f(y)=f(xy)+f(xy).f\left(\frac{\sqrt{3}}{3}x\right)=\sqrt{3}f (x)-\frac{2\sqrt{3}}{3}x \quad \text{та} \quad f (x)f (y)=f (xy)+f\left(\frac{x}{y}\right).
10–11 класиЦиклічні підстановки (метод орбіт)
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-15-16-199

Циклічна система трьох дробових рівнянь

Знайдіть усі трійки дійсних чисел xx, yy, zz таких, що y=x3+12x3x2+4,z=y3+12y3y2+4,x=z3+12z3z2+4.y=\frac{x^3+12x}{3x^2+4},\qquad z=\frac{y^3+12y}{3y^2+4},\qquad x=\frac{z^3+12z}{3z^2+4}.
10–11 класиМетод допоміжних функцій: g(x) =…
Київський турнір математичних боївKMB-11-12-164

Нерівність для суми трьох аргументів функції

Нехай a>0a > 0 і функція f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R} задовольняє для довільних дійсних чисел x1x_1 та x2x_2 умову f(x1)+f(x2)⩾af(x1+x2).f(x_1) + f(x_2) \geqslant a f(x_1 + x_2). Доведіть, що для довільних дійсних x1x_1, x2x_2, x3x_3 справджується нерівність f(x1)+f(x2)+f(x3)⩾3a2a+2f(x1+x2+x3).f(x_1) + f(x_2) + f(x_3) \geqslant \frac{3a^2}{a+2} f(x_1 + x_2 + x_3).
10–11 класиЦиклічні підстановки (метод орбіт)
Київський турнір математичних боївKMB-06-07-032

Розривна всюди функція з f(f(f(x))) = x

Чи існує розривна у кожній точці дійсна функція f(x)f(x) з областю визначення RR, така що для кожного дійсного xx f(f(f(x)))=xf(f(f(x)))=x?
10–11 класиКонструктивна побудова функції
Київський турнір математичних боївKMB-06-07-045

Функції з нерівністю для різниці та рівністю з параметрами

Знайти всі такі функції f:(0,+∞)→Rf:(0,+\infty)\to R, якщо відомо, що для будь-яких додатних x,yx,y виконується нерівність ∣f(x)−f(y)∣≤∣x−y∣\left|f(x)-f(y)\right|\le\left|x-y\right|, і існують такі додатні сталі a,b,ca,b,c, що f(ax)+f(bx)=f(cx)f(ax)+f\left(\frac{b}{x}\right)=f(cx).
10–11 класиВластивості монотонності або обме…без розв’язку
Відкрита олімпіада Рішельєвського ліцеюRLMO-2004-014

Безліч функцій з умовою f(f(x)) = -x

Доведіть, що існує безліч таких функцій f:Z→Zf : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}, що для всіх x∈Zx \in \mathbb{Z} f(f(x))=−xf\left(f\left(x\right)\right) = -x.
Конструктивна побудова функції
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-23-24-012

Функціональне рівняння з ітерацією на натуральних числах

Знайдіть усі функції f:N→Nf:\mathbb{N}\to\mathbb{N} такі, що рівність fbf(a)(a+1)=(a+1)f(b)f^{bf(a)}(a+1)=(a+1)f(b) виконується для всіх a, b∈Na,\ b\in\mathbb{N}. Примітка. Тут рівність fk(n)=f(f(…f(n)…))f^k(n)=f(f(\ldots f(n)\ldots)) означає послідовне застосування функції ff рівно kk разів.
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-23-24-003

Функції на додатних числах з нерівністю

Знайдіть усі такі функції f:(0,+∞)→(0,+∞)f:(0,+\infty)\to(0,+\infty), що для довільних додатних xx, yy справджується нерівність x(f(x)+f(y))⩾(f(f(x))+y)f(y).x\bigl(f(x)+f(y)\bigr)\geqslant\bigl(f(f(x))+y\bigr)f(y).
10–11 класиЦиклічні підстановки (метод орбіт)
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-17-18-020

Функція на скінченній множині з умовою на композиції

Дано скінченну множину SS. Нехай AA — множина всіх функцій із множини SS в SS, а ff — деяка функція з множини AA, для якої виконується умова: якщо g∈Ag \in A і g≠fg \neq f, то g∘f∘g≠f∘g∘fg \circ f \circ g \neq f \circ g \circ f. Позначимо через T=f(S)T = f(S) множину значень функції ff. Доведіть, що f(T)=Tf(T) = T.
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-02-03-012

Многочлени P і Q із рівністю для всіх x

Знайдіть усі такі многочлени P(x)P(x) і Q(x)Q(x) з дійсними коефіцієнтами, що для всіх x∈Rx \in \mathbb{R} (x2+x+1)⋅P(x2−x+1)=(x2−x+1)⋅Q(x2+x+1).\left(x^2 + x + 1\right) \cdot P\left(x^2 - x + 1\right) = \left(x^2 - x + 1\right) \cdot Q\left(x^2 + x + 1\right).
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Балтійський шляхBW-2024-009

Функція-степінь для кожного n та умова f(f(x)) = f(x)

Нехай SS — скінченна множина. Для цілого додатного nn функція f:S→Sf: S \to S є nn-им степенем, якщо існує деяка функція g:S→Sg: S \to S така, що f(x)=g(g(…g(x)…))⏟g використано n разівf(x) = \underbrace{g(g(\ldots g(x) \ldots))}_{g \text{ використано } n \text{ разів}} для кожного x∈Sx \in S. Припустимо, що функція f:S→Sf: S \to S є nn-им степенем для кожного додатного цілого nn. Чи обов'язково f(f(x))=f(x)f(f(x)) = f(x) виконується для кожного x∈Sx \in S?
10–11 класиЦиклічні підстановки (метод орбіт)
Шорт-лист IMOIMOSL-2023-002

Нерівність x(f(x)+f(y)) ≥ (f(f(x))+y)f(y)

Нехай R>0\mathbb{R}_{>0} — множина додатних дійсних чисел. Знайдіть усі функції f:R>0→R>0f: \mathbb{R}_{>0} \rightarrow \mathbb{R}_{>0} такі, що x(f(x)+f(y))⩾(f(f(x))+y)f(y)x(f(x)+f(y)) \geqslant (f(f(x))+y) f(y) для всіх x,y∈R>0x, y \in \mathbb{R}_{>0}.
10–11 класиЦиклічні підстановки (метод орбіт)2 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.