Різниці добутків чисел Фібоначчі

Умова задачі

Нехай $F_{1}, F_{2}, F_{3} \ldots$ — послідовність Фібоначчі, тобто послідовність натуральних чисел, у якій $F_{1}=F_{2}=1$ і $F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}$ для всіх $n \geq 1$ . Число Фібоначчі за означенням — це число, що зустрічається в цій послідовності.
Нехай $P_{1}, P_{2}, P_{3}, \ldots$ — послідовність, що складається з усіх цілих чисел, які є добутками двох чисел Фібоначчі (не обов'язково різних), записаних у порядку зростання. Перші кілька членів такі:
$1,2,3,4,5,6,8,9,10,13, \ldots$
адже, наприклад, $3=1 \cdot 3, 4=2 \cdot 2$ і $10=2 \cdot 5$ .
Розглянемо послідовність $D_{n}$ послідовних різниць послідовності $P_{n}$ , де $D_{n}=P_{n+1}-P_{n}$ при $n \geq 1$ . Перші кілька членів послідовності $D_{n}$ такі:
$1,1,1,1,1,2,1,1,3, \ldots$
Доведіть, що кожне число в послідовності $D_{n}$ є числом Фібоначчі.

Пов’язані теми

Числа Фібоначі Лінійні рекурентні послідовності

Олімпіадні задачі з математики

Задачі дня

Різниці добутків чисел Фібоначчі

Умова задачі

Пов’язані теми

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Гурток за п’ять хвилин

П’ять років програми

Шість правил, підтверджених дослідженнями

Ритм олімпіадного року

Як зібрати задачі тут

Про проєкт

Автори задач

Що в архіві

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Що є в кожної задачі

З чого почати

Хто це робить

Помилки та пропозиції

Автори задач

Богдан Рубльов

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні й закордонні змагання

Дякуємо