Майже зрівноважені та зрівноважені п'ятірки
Умова задачі
Розгляньмо п'ять додатних дійсних чисел, упорядкованих як . Відомо, що щоразу, коли вилучаємо одне з цих чисел, решту чотири можна розбити на дві групи так, що сума чисел однієї групи дорівнює сумі чисел іншої групи. Якщо послідовність задовольняє цю умову, кажемо, що вона майже зрівноважена. Існують послідовності, які задовольняють суворішу умову: якщо вилучити одне число, то решту чотири числа можна розбити на дві групи з однаковою кількістю чисел так, що сума чисел однієї групи дорівнює сумі чисел іншої групи. Якщо послідовність додатних дійсних чисел задовольняє цю суворішу умову, кажемо, що ця послідовність зрівноважена.
a) Наведіть приклад п'яти додатних дійсних чисел, упорядкованих як , де , які утворюють майже зрівноважену послідовність. Зауважимо, що, якщо це зручно, деякі з них можна взяти рівними.
b) Якщо зрівноважена послідовність має три рівні члени, доведіть, що всі п'ять чисел обов'язково рівні.
c) Розгляньмо зрівноважену послідовність , де . Відомо також, що і що . Доведіть, що всі п'ять чисел рівні.