Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

15 614 задач
Повний розв’язок
Олімпіада SET University з математикиSETMO-21-22-001

Два різні неодноцифрові числа з паліндромними сумою і добутком

Знайдіть деякі два різних неодноцифрових натуральних числа, більших ніж 55, що й у сумі, і в добутку дають паліндром.
9–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Олімпіада SET University з математикиSETMO-21-22-002

Найменше n з добутком (n + 1)(n + 2)(n + 3), кратним 1000

Знайдіть найменше натуральне число nn, для якого добуток (n+1)(n+2)(n+3)(n + 1)(n + 2)(n + 3) ділиться націло на 10001000.
9–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості
Олімпіада SET University з математикиSETMO-21-22-023

Послідовність із шести чисел, 2-гарна і 3-гарна

Послідовність a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n складається з nn попарно різних цілих чисел. Для заданого k⩽nk \leqslant n розбиваємо члени послідовності на kk груп таким чином: до першої групи входять числа a1,ak+1,a2k+1,…a_1, a_{k+1}, a_{2k+1}, \ldots; до другої групи входять числа a2,ak+2,a2k+2,…a_2, a_{k+2}, a_{2k+2}, \ldots; і так далі, до kk-ї групи входять числа ak,ak+k,a2k+k,…a_k, a_{k+k}, a_{2k+k}, \ldots. Отже, кількість чисел у групах або однакова, або в перших групах кількість елементів у кожній по ll, а в усіх інших — по l−1l - 1. Послідовність назвемо kk-гарною, якщо це розбиття має таку властивість: суми чисел у всіх kk групах рівні. Наприклад, послідовність із 1010 чисел 1,2,3,4,−2,6,13,12,17,81, 2, 3, 4, -2, 6, 13, 12, 17, 8 є 44-гарною, бо рівними є такі суми чисел в утворених чотирьох групах: 1−2+17=2+6+8=3+13=4+12=16.1 - 2 + 17 = 2 + 6 + 8 = 3 + 13 = 4 + 12 = 16. Знайдіть послідовність із шести членів, яка одночасно є 22-гарною та 33-гарною.
9 класЛінійні рівняння та системи
Олімпіада SET University з математикиSETMO-21-22-024

Середини діагоналей вписаного чотирикутника і рівність кутів

Розглянемо вписаний чотирикутник ABCDABCD. Нехай точки MM, NN — середини діагоналей ACAC і BDBD відповідно. Доведіть, що коли ∠AMB=∠AMD\angle AMB = \angle AMD, то ∠ANB=∠BNC\angle ANB = \angle BNC.
9 класМетричні співвідношення в колі
Олімпіада SET University з математикиSETMO-21-22-025

Впорядкування ста томів перестановками трьох томів

На полиці в деякому порядку стоять 100100 томів енциклопедії, занумерованих числами від 11 до 100100. За один крок можна взяти довільні три томи та переставити їх у будь-якому порядку. Наприклад, якщо томи № 11, 22 та 33 стоять на позиціях 1010, 2020 та 3030 відповідно, то після такої операції можна поставити том № 11 на позицію 2020, том № 22 — на позицію 3030, том № 33 — на позицію 1010. Для якого найменшого числа mm за mm таких операцій гарантовано можна поставити кожний том на свою позицію, тобто щоб том № 11 займав позицію 11, том № 77 — позицію 77 тощо?
9 класНапівінваріанти
Олімпіада SET University з математикиSETMO-21-22-026

Квадрат p³-4p+9 для простого p

Знайдіть усі прості числа pp, для яких вираз p3−4p+9p^3 - 4p + 9 є точним квадратом цілого числа.
9 класМетод факторизації (розкладання н…
Олімпіада SET University з математикиSETMO-21-22-027

Впорядковані дійсні числа з дробовою умовою на суму квадратів

Нехай число nn — натуральне, n=m2+1n = m^2 + 1. Знайдіть усі такі набори дійсних чисел x1⩽x2⩽…⩽xnx_1 \leqslant x_2 \leqslant \ldots \leqslant x_n, що задовольняють умову xi=1+2mxi2x12+x22+…+xn2, i=1,n‾.x_i = 1 + \frac{2mx_i^2}{x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2},\ i = \overline{1, n}.
9 класНерівність Коші
Олімпіада SET University з математикиSETMO-21-22-034

Найбільше k для k-гарної послідовності з 99 чисел

Послідовність a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n складається з nn попарно різних цілих чисел. Для заданого k⩽nk \leqslant n розбиваємо члени послідовності на kk груп таким чином: до першої групи входять числа a1,ak+1,a2k+1,…a_1, a_{k+1}, a_{2k+1}, \ldots; до другої групи входять числа a2,ak+2,a2k+2,…a_2, a_{k+2}, a_{2k+2}, \ldots; і так далі, до kk-ї групи входять числа ak,ak+k,a2k+k,…a_k, a_{k+k}, a_{2k+k}, \ldots. Отже, кількість чисел у групах або однакова, або в перших групах кількість елементів по ll, а в усіх інших — по l−1l - 1. Послідовність назвемо kk-гарною, якщо це розбиття має таку властивість: суми чисел у всіх kk групах рівні. Наприклад, послідовність із 1010 чисел 1,2,3,4,−2,6,13,12,17,81, 2, 3, 4, -2, 6, 13, 12, 17, 8 є 44-гарною, бо рівними є такі суми чисел в утворених чотирьох групах: 1−2+17=2+6+8=3+13=4+12=16.1 - 2 + 17 = 2 + 6 + 8 = 3 + 13 = 4 + 12 = 16. Для якого найбільшого kk існує послідовність із 9999 членів, яка є kk-гарною?
10 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Олімпіада SET University з математикиSETMO-21-22-035

Сто попарно різних чисел і подільність на суми пар

Чи існують попарно різні натуральні числа a1,a2,…,a100a_1, a_2, \ldots, a_{100}, які задовольняють такі умови: - число a1a2…a100a_1 a_2 \ldots a_{100} ділиться на суму ai+aja_i + a_j для всіх 1⩽i<j⩽1001 \leqslant i < j \leqslant 100; - для кожного k=1,100‾k = \overline{1, 100} знайдуться такі індекси ii, jj, що 1⩽i<j⩽1001 \leqslant i < j \leqslant 100, при цьому число a1a2…ak−1ak+1ak+2…a100a_1 a_2 \ldots a_{k-1} a_{k+1} a_{k+2} \ldots a_{100} не ділиться на суму ai+aja_i + a_j?
10 класФункція vₚ(n) та її властивості
Олімпіада SET University з математикиSETMO-21-22-036

Одноколірні рядки і стовпці при фарбуванні у п'ять кольорів

Зафарбуємо деякі комірки 1×11 \times 1 дошки розміром 99×9999 \times 99 в один із п’яти заданих кольорів таким чином, щоб кожен з них був використаний однакову кількість разів. У кожному рядку та кожному стовпчику немає комірок, пофарбованих у різні кольори. Яку найбільшу кількість комірок на дошці можна зафарбувати за таких умов?
10 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Олімпіада SET University з математикиSETMO-21-22-037

Пряма PT ділить навпіл відрізок MN при куті 90°

Продовження сторін ABAB і CDCD опуклого чотирикутника ABCDABCD перетинаються в точці PP, а діагоналі перетинаються в точці QQ. Точки MM та NN — середини діагоналей ACAC і BDBD відповідно. Описані кола трикутників BCQBCQ і MNQMNQ перетинаються вдруге в точці TT. Доведіть, що коли ∠APD=90∘\angle APD = 90^\circ, то пряма PTPT ділить відрізок MNMN навпіл.
10 класКоло і подібність
Олімпіада SET University з математикиSETMO-21-22-038

Рівність квадрата добутку та суми кубів

Доведіть, що для натуральних чисел n⩾3n \geqslant 3 та x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n, кожне з яких більше за 11, не може справджуватися рівність (x1x2…xn)2=x13+x23+…+xn3.(x_1 x_2 \ldots x_n)^2 = x_1^3 + x_2^3 + \ldots + x_n^3.
10 класМетод оцінок, що веде до малого п…
Олімпіада SET University з математикиSETMO-21-22-043

Послідовність із семи членів, 2-гарна, 3-гарна і 4-гарна

Послідовність a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n складається з nn попарно різних цілих чисел. Для заданого k⩽nk \leqslant n розбиваємо члени послідовності на kk груп таким чином: до першої групи входять числа a1,ak+1,a2k+1,…a_1, a_{k+1}, a_{2k+1}, \ldots; до другої групи входять числа a2,ak+2,a2k+2,…a_2, a_{k+2}, a_{2k+2}, \ldots; і так далі, до kk-ї групи входять числа ak,ak+k,a2k+k,…a_k, a_{k+k}, a_{2k+k}, \ldots. Отже, кількість чисел у групах або однакова, або в перших групах кількість елементів по ll, а в усіх інших — по l−1l - 1. Послідовність назвемо kk-гарною, якщо це розбиття має таку властивість: суми чисел у всіх kk групах рівні. Наприклад, послідовність із 1010 чисел 1,2,3,4,−2,6,13,12,17,81, 2, 3, 4, -2, 6, 13, 12, 17, 8 є 44-гарною, бо рівними є такі суми чисел в утворених чотирьох групах: 1−2+17=2+6+8=3+13=4+12=16.1 - 2 + 17 = 2 + 6 + 8 = 3 + 13 = 4 + 12 = 16. Знайдіть послідовність із семи членів, яка одночасно є 22-гарною, 33-гарною та 44-гарною.
11 класЛінійні рівняння та системи
Олімпіада SET University з математикиSETMO-21-22-044

Чотири різні двозначні номери кімнат із сумою

Чотирьох друзів-математиків заселили в різні кімнати готелю. Кожен з них знав лише, що номери їхніх кімнат є різними двоцифровими числами, а також те, що один із цих номерів дорівнює сумі трьох інших. Крім того, їм повідомили, що, навіть дізнавшись номери трьох інших колег, жоден з них не зможе гарантовано сказати номер своєї кімнати. Визначте номери кімнат, у які заселили математиків.
11 класМетод оцінок, що веде до малого п…
Олімпіада SET University з математикиSETMO-21-22-045

Однакова кількість прямокутників 2×4 та 1×8 у квадраті 100×100

Чи можна квадрат розміром 100×100100 \times 100 клітинок розрізати на прямокутники розміром 2×42 \times 4 клітинки та 1×81 \times 8 клітинок так, щоб прямокутників обох видів була однакова кількість?
11 класКольорові інваріанти (розфарбуван…
Олімпіада SET University з математикиSETMO-21-22-046

Неперервні функції з рівністю для деякого t

Знайдіть усі неперервні функції f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, що задовольняють таку умову: для довільних дійсних xx, yy існує число t∈(0,1)t\in(0,1), для якого справджується рівність f((1−t)x+ty)=(1−t)f(x)+tf(y).f((1-t)x+ty)=(1-t)f(x)+tf(y).
11 класФункціональне рівняння Коші та сп…
Олімпіада SET University з математикиSETMO-21-22-047

Пряма H1H2 і точки перетину описаних кіл

Нехай трикутник APDAPD — гострокутний, на сторонах APAP та PDPD якого вибрано точки BB і CC відповідно. Діагоналі чотирикутника ABCDABCD перетинаються в точці QQ. Позначимо через H1H_1 та H2H_2 ортоцентри трикутників APDAPD і BPCBPC відповідно. Описані кола трикутників ABQABQ і CDQCDQ перетинаються вдруге в точці X≠QX \neq Q, а описані кола трикутників ADQADQ і BCQBCQ перетинаються вдруге в точці YY. Доведіть, що коли пряма H1H2H_1H_2 проходить через точку XX, то вона проходить і через точку YY.
11 класРадикальна вісь
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-20-21-017

Кількість сірих квадратиків у 2021-му рисунку

Оксанка нарисувала 20212021 абстрактний рисунок із квадратиків сірого та білого кольорів. Кількість квадратиків послідовно збільшувалася так, як показано на рис. 10.3. Скільки сірих квадратиків вона нарисувала на останньому, 20212021-му рисунку?
4 класПослідовності (інші властивості)
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-20-21-018

Подаровані троянди дівчатам та кількість студентів

На день кібернетики кожний студент 44-го курсу кафедри обчислювальної математики подарував одну троянду кожній дівчині-одногрупниці. Відомо, що кількість дівчат у групі менша за кількість хлопців і що подружки Катя та Заріна отримали щонайменше по одній троянді. Скільки студентів навчається в групі, якщо всього було подаровано 7777 троянд?
4 класДільники та кратні (базові власти…
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-20-21-019

Передача кульок по колу і найбільша початкова кількість

По колу стоять 20202020 учнів, у кожного з них є певна кількість кульок. У певний момент вони послідовно почали передавати одне одному кульки за такими правилами. Другий передав першому стільки своїх кульок, скільки в того було перед тим. Третій передав другому стільки кульок, скільки на цей момент було в другого, і т. д. Четвертий передав третьому стільки своїх кульок, скільки в того було, …, 20202020-й передав за таким правилом кульки 20192019-му, а насамкінець перший передав за таким правилом кульки 20202020-му. Виявилося, що по завершенні такої передачі кількість кульок в жодного з учнів не змінилася. Відомо, що спочатку найменшу кількість кульок мав учень з 20212021 кулькою. Скільки кульок було із самого початку в того школяра, який мав їх найбільшу кількість?
4 класЛінійні рівняння та системи
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-20-21-020

П'ять монет з кишені та максимальна сума

У Петрика в кишені можуть бути монети номіналом 11 грн, 22 грн, 55 грн і 1010 грн. Якщо Петрик навмання витягне з кишені 33 монети, то серед них обов’язково знайдеться монета номіналом 11 грн. Якщо Петрик навмання витягне з кишені 44 монети, то серед них обов’язково знайдеться монета 22 грн. Петрик витягнув з кишені 55 монет. Назвіть, які це монети. Яка максимальна сума грошей в нього може бути в кишені?
4 класПринцип Діріхле (скінченні множин…
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-20-21-039

Петрик, Василь та Івасик на острові лицарів і брехунів

На острові, де живуть лицарі, які завжди кажуть правду, і брехуни, які завжди брешуть, зустрілися 33 місцевих мешканці. Петрик сказав Василю та Івасику, що кожен із них брехун. Ким би назвав Івасик Василя?
5 класРозбиття на випадки
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-20-21-040

Найбільша і найменша площа прямокутника з рамкою

Петрик нарисував на аркуші паперу в клітинку прямокутник PP по лініях сітки. Після цього він нарисував таку прямокутну рамку навколо прямокутника PP: із двох боків сторони рамки віддалені від відповідної сторони прямокутника PP на 11 клітинку, а з двох інших боків — на 22 клітинки. Виявилося, що площа прямокутника PP дорівнює площі рамки (рис. 10.4). Яку найбільшу та найменшу площу за таких умов може мати цей прямокутник PP?
5 класМетод факторизації (розкладання н…
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-20-21-041

Натуральні числа до 2021 з умовами подільності

Скільки натуральних чисел n⩽2021n \leqslant 2021 задовольняють такі умови: nn ділиться на 44, n+1n + 1 ділиться на 55 і n+2n + 2 ділиться на 66?
5 класКитайська теорема про остачі
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-20-21-042

Гра двох гравців з роботом на прямій

Робот знаходиться в точці координатної прямої з координатою p=m2020p=\dfrac{m}{2020}, де 0<m<20200 < m < 2020, і може рухатися ліворуч та праворуч уздовж цієї прямої. Два гравці грають у таку гру: на кожному ході Андрій задає відстань, Петрик — напрямок руху, і робот рухається вказаним чином від точки свого теперішнього перебування. Андрій виграє, якщо робот у якийсь момент потрапить у точку X=0X = 0 чи Y=1Y = 1, а Петрик переможе, якщо завадить виграти Андрію. При яких значеннях mm у цій грі переможе Андрій, якщо вона може тривати досить багато часу?
5 класІнші інваріанти

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.