Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

126 задач
Канадська математична олімпіада (CMO)
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2020-002

Трикутник сталої площі в ромбі

У ромб ABCDA B C D вписано коло. Точки PP і QQ змінюються на відрізках AB‾\overline{A B} і AD‾\overline{A D} відповідно так, що PQ‾\overline{P Q} дотикається до кола. Доведіть, що для всіх таких відрізків PQ‾\overline{P Q} площа трикутника CPQC P Q є сталою.
10–11 класиДотична кола2 розв’язки
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2020-003

Чи можна монетами набрати 2020 рівно 2020 способами

Гаманець містить скінченну кількість монет, а номінали всіх монет — різні натуральні числа. Чи можливо, що існує рівно 2020 способів використати монети з гаманця, щоб набрати суму 2020?
10–11 класиКомбінації
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2020-004

Різниці сусідніх точних степенів і дільник 9999

Нехай S={1,4,8,9,16,…}S=\{1,4,8,9,16, \ldots\} — множина точних степенів цілих чисел, тобто чисел вигляду nkn^{k}, де n,kn, k — натуральні числа і k≥2k \geq 2. Запишемо S={a1,a2,a3…}S=\left\{a_{1}, a_{2}, a_{3} \ldots\right\} у порядку зростання, так що a1<a2<a3⋯a_{1}<a_{2}<a_{3} \cdots. Доведіть, що існує нескінченно багато натуральних чисел mm таких, що 99999999 ділить різницю am+1−ama_{m+1}-a_{m}.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2020-005

Мінімальна кількість дружб з умовою на підмножину

На платформі соціальної мережі є 19,99819,998 людей, де будь-яка пара з них може дружити чи ні. Для будь-якої групи з 9,9999,999 людей серед них є принаймні 9,9999,999 пар, які дружать. Яка найменша кількість дружніх стосунків, тобто найменша кількість пар людей, які дружать, має бути серед 19,99819,998 людей?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2019-001

Ітерація центрів описаних кіл та зростання відстаней

Емі намалювала на площині три точки, AA, BB і CC, такі, що AB=BC=CA=6AB = BC = CA = 6. Емі може намалювати нову точку, якщо вона є центром описаного кола трикутника, вершини якого вона вже намалювала. Наприклад, вона може намалювати центр описаного кола OO трикутника ABCABC, а потім — центр описаного кола трикутника ABOABO. a) Доведіть, що Емі може зрештою намалювати точку, відстань від якої до раніше намальованої точки більша за 77. b) Доведіть, що Емі може зрештою намалювати точку, відстань від якої до раніше намальованої точки більша за 20192019. (Нагадаємо, що центр описаного кола трикутника — це центр кола, яке проходить через його три вершини.)
10–11 класиОписане коло
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2019-002

Подільність на куб у многочленному виразі

Нехай aa і bb — натуральні числа такі, що a+b3a + b^{3} ділиться на a2+3ab+3b2−1a^{2} + 3 a b + 3 b^{2} - 1. Доведіть, що a2+3ab+3b2−1a^{2} + 3 a b + 3 b^{2} - 1 ділиться на куб цілого числа, більшого за 1.
10–11 класиОсновна теорема арифметики
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2019-003

Фішки на шахівниці без діагональних сусідів

Нехай mm та nn — додатні цілі числа. Шахівниця розміром 2m×2n2m \times 2n розфарбована у звичайний шаховий спосіб. Знайдіть кількість способів розміщення mnmn фішок на білих клітинках, не більше однієї фішки на клітинку, так, щоб жодні дві фішки не знаходились на діагонально суміжних білих клітинках. Приклад розміщення фішок для m=2m=2 та n=3n=3 показано нижче.
10–11 класиБієкції
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2019-004

Нерівність для рекурентної послідовності з нулями

Нехай nn — ціле число, більше за 11, а a0,a1,…,ana_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n} — дійсні числа, причому a1=an−1=0a_{1} = a_{n-1} = 0. Доведіть, що для будь-якого дійсного числа kk ∣a0∣−∣an∣≤∑i=0n−2∣ai−kai+1−ai+2∣\left|a_{0}\right| - \left|a_{n}\right| \leq \sum_{i=0}^{n-2} \left|a_{i} - k a_{i+1} - a_{i+2}\right|
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2019-005

Уникнення непарного циклу в грі на графі

Девід і Джейкоб грають у гру зі з’єднання n≥3n \geq 3 точок, намальованих на площині. Жодні три з точок не лежать на одній прямій. Кожного свого ходу гравець вибирає дві точки, щоб з’єднати їх новим відрізком. Гравець, який першим завершить цикл, що складається з непарної кількості відрізків, програє гру. (Обидва кінці кожного відрізка в циклі мають бути серед nn заданих точок, а не точками, які виникають пізніше як перетини відрізків.) Якщо Девід ходить першим, визначте всі nn, для яких він має виграшну стратегію.
10–11 класиДвочасткові графи
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2018-001

Середини фішок і степені двійки

Розглянемо розташування фішок на площині, не обов'язково в різних точках. Дозволено виконувати послідовність ходів такого виду: вибрати пару фішок у точках AA і BB та перемістити обидві до середини відрізка з кінцями в точках AA і BB. Кажемо, що розташування з nn фішок є стягуваним, якщо після скінченної кількості ходів можна зібрати всі nn фішок в одній точці. Доведіть, що кожне розташування з nn фішок є стягуваним тоді й лише тоді, коли nn є степенем двійки.
10–11 класиІнші інваріанти
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2018-002

Хорди кола і перпендикулярність

Нехай п'ять точок на колі позначено AA, BB, CC, DD і EE за годинниковою стрілкою. Припустімо, що AE=DEA E = D E, і нехай PP — перетин прямих ACA C і BDB D. Нехай QQ — точка на прямій, що проходить через AA і BB, така, що AA лежить між BB і QQ і AQ=DPA Q = D P. Аналогічно, нехай RR — точка на прямій, що проходить через CC і DD, така, що DD лежить між CC і RR і DR=APD R = A P. Доведіть, що пряма PEP E перпендикулярна до прямої QRQ R.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2018-003

Кругове розташування просто-пов'язаних дільників

Два додатні цілі числа aa і bb є «просто-пов'язаними», якщо a=pba = p b або b=pab = p a для деякого простого числа pp. Знайдіть усі додатні цілі числа nn, такі, що nn має щонайменше три дільники, і всі дільники можуть бути розташовані без повторень по колу так, що будь-які два сусідні дільники є просто-пов'язаними. Зауважимо, що 11 і nn включені як дільники.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2018-004

Сума значень многочлена та його значення в останній точці

Знайдіть усі многочлени p(x)p(x) з дійсними коефіцієнтами, які мають таку властивість: існує многочлен q(x)q(x) з дійсними коефіцієнтами такий, що p(1)+p(2)+p(3)+⋯+p(n)=p(n)q(n)p(1)+p(2)+p(3)+\cdots+p(n)=p(n) q(n) для всіх додатних цілих чисел nn.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2018-005

Ітеративне множення на прості дільники

Нехай kk — дане парне натуральне число. Сара спочатку вибирає натуральне число NN, більше за 11, і далі змінює його так: щохвилини вона вибирає простий дільник pp поточного значення NN і множить поточне NN на pk−p−1p^{k}-p^{-1}, щоб отримати наступне значення NN. Доведіть, що існує нескінченно багато парних натуральних чисел kk таких, що, незалежно від виборів Сари, її число NN у певний момент ділитиметься на 20182018.
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2017-001

Сума квадратів через квадрати різниць

Нехай aa, bb і cc — невід'ємні дійсні числа, жодні два з яких не рівні. Доведіть, що a2(b−c)2+b2(c−a)2+c2(a−b)2>2.\frac{a^2}{(b-c)^2} + \frac{b^2}{(c-a)^2} + \frac{c^2}{(a-b)^2} > 2.
10–11 класиНерівність Коші
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2017-002

Подвійна ітерація функції як кількість дільників

Нехай ff — функція з множини натуральних чисел у себе така, що для кожного nn кількість додатних цілих дільників числа nn дорівнює f(f(n))f(f(n)). Наприклад, f(f(6))=4f(f(6)) = 4 і f(f(25))=3f(f(25)) = 3. Доведіть, що якщо pp — просте число, то f(p)f(p) також просте.
10–11 класиКількість дільників τ(n)
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2017-003

Збалансовані підмножини з рівністю медіани й середнього

Нехай nn — натуральне число, і позначимо Sn={1,2,…,n}S_n = \{1, 2, \dots, n\}. Розглянемо непорожню підмножину TT множини SnS_n. Будемо казати, що TT збалансована, якщо медіана множини TT дорівнює середньому арифметичному TT. Наприклад, при n=9n = 9 кожна з підмножин {7}\{7\}, {2,5}\{2, 5\}, {2,3,4}\{2, 3, 4\}, {5,6,8,9}\{5, 6, 8, 9\} і {1,4,5,7,8}\{1, 4, 5, 7, 8\} збалансована; проте підмножини {2,4,5}\{2, 4, 5\} і {1,2,3,5}\{1, 2, 3, 5\} не є збалансованими. Для кожного n≥1n \ge 1 доведіть, що кількість збалансованих підмножин множини SnS_n непарна. (Щоб означити медіану множини з kk чисел, спочатку впорядкуйте числа за зростанням; тоді медіаною є середнє число, якщо kk непарне, і середнє арифметичне двох середніх чисел, якщо kk парне. Наприклад, медіана множини {1,3,4,8,9}\{1, 3, 4, 8, 9\} дорівнює 44, а медіана множини {1,3,4,7,8,9}\{1, 3, 4, 7, 8, 9\} дорівнює (4+7)/2=5.5(4+7)/2 = 5.5.)
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари2 розв’язки
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2017-004

Рівносторонні трикутники в паралелограмі

Точки PP і QQ лежать всередині паралелограма ABCDABCD так, що трикутники ABPABP і BCQBCQ — рівносторонні. Доведіть, що пряма через PP, перпендикулярна до DPDP, і пряма через QQ, перпендикулярна до DQDQ, перетинаються на висоті з BB у трикутнику ABCABC.
10–11 класиПоворот
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2017-005

Кола з обмеженою площею трикутника

Сто кіл радіуса один розташовано на площині так, що площа будь-якого трикутника, утвореного центрами трьох із цих кіл, не перевищує 20172017. Доведіть, що існує пряма, яка перетинає принаймні три з цих кіл.
10–11 класиПринцип Діріхле (довжини, площі,…
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2016-001

Усереднення послідовних натуральних чисел

Числа 11, 22, 33, …\ldots, 20162016 записано на дошці. Можна вибрати будь-які два числа на дошці й замінити їх їхнім середнім арифметичним. Наприклад, можна замінити 11 і 22 на 1.51.5, або можна замінити 11 і 33 на другу копію 22. Після 20152015 таких замін на дошці залишиться лише одне число. a. Доведіть, що існує послідовність замін, за якої останнє число дорівнюватиме 22. b. Доведіть, що існує послідовність замін, за якої останнє число дорівнюватиме 10001000.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2016-002

Розв'язки симетричної квадратичної системи

Розглянемо таку систему з 10 рівнянь від 10 дійсних змінних v1,…,v10v_1, \dots, v_{10}: vi=1+6vi2v12+v22+⋯+v102(i=1,…,10).v_i = 1 + \frac{6 v_i^2}{v_1^2 + v_2^2 + \dots + v_{10}^2} \quad (i = 1, \dots, 10). Знайдіть усі десятки (v1,v2,…,v10)(v_1, v_2, \dots, v_{10}), які є розв'язками цієї системи.
10–11 класиСиметричні системи рівнянь
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2016-003

Цілочислові многочлени з нескінченно багатьма простими значеннями

Знайдіть усі многочлени P(x)P(x) з цілими коефіцієнтами такі, що P(P(n)+n)P(P(n)+n) є простим числом для нескінченно багатьох цілих чисел nn.
10–11 класиПрості числа (базові властивості)
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2016-004

Стрибки блохи через лавові проміжки

Нехай AA, BB і FF — натуральні числа, причому A<B<2AA < B < 2A. Блоха знаходиться в точці 00 на числовій прямій. Блоха може рухатися, стрибаючи вправо на AA або на BB. Перед тим, як блоха почне стрибати, Лавамен вибирає скінченну кількість проміжків {m+1,m+2,…,m+A}\{m+1, m+2, \dots, m+A\}, що складаються з AA послідовних натуральних чисел, і розміщує лаву в усіх цілих числах із цих проміжків. Проміжки треба вибрати так, щоб: (i) будь-які два різні проміжки не перетинались і не були сусідніми; (ii) між будь-якими двома проміжками було принаймні FF натуральних чисел без лави; і (iii) лаву не розміщено в жодному цілому числі, меншому за FF. Доведіть, що найменше FF, за якого блоха може перестрибнути через усі проміжки й уникнути всієї лави, незалежно від дій Лавамена, дорівнює F=(n−1)A+BF = (n - 1)A + B, де nn — натуральне число таке, що An+1≤B−A<An.\frac{A}{n+1} \leq B - A < \frac{A}{n} .
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2016-005

Спільна точка прямих на описаному колі трикутника

Нехай △ABC\triangle ABC — гострокутний трикутник з висотами ADAD і BEBE, що перетинаються в точці HH. Нехай MM — середина відрізка ABAB, і припустимо, що описані кола △DEM\triangle DEM і △ABH\triangle ABH перетинаються в точках PP і QQ, причому PP лежить з того самого боку від прямої CHCH, що й AA. Доведіть, що прямі EDED, PHPH і MQMQ проходять через одну точку на описаному колі △ABC\triangle ABC.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2015-001

Добуток f(n)f(f(n)) між (n-1)² і n² + n

Нехай N={1,2,3,… }\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} — множина натуральних чисел. Знайдіть усі функції ff, визначені на N\mathbb{N} зі значеннями в N\mathbb{N}, такі, що (n−1)2<f(n)f(f(n))<n2+n(n - 1)^2 < f(n)f(f(n)) < n^2 + n для кожного натурального числа nn.
10–11 класиМетод математичної індукції

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.