Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

466 задач
Підготовка до Французької математичної олімпіади
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-015

Опуклий многокутник з рівним поділом кутів

Нехай P1P2…P2021P_{1} P_{2} \ldots P_{2021} — опуклий многокутник з 2021 вершиною такий, що для кожної вершини PiP_{i} 2018 діагоналей, що виходять з PiP_{i}, ділять кут P^i\widehat{P}_{i} на 2019 рівних кутів. Доведіть, що P1P2…P2021P_{1} P_{2} \ldots P_{2021} — правильний многокутник, тобто многокутник, у якого всі кути мають однакову величину, а всі сторони мають однакову довжину.
8–10 класиЛінійні рекурентні послідовності
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-016

Система з квадратними коренями

Знайдіть усі дійсні числа xx і yy такі, що (x−x2+1)(y−y2+1)=1 і (x2+y+2)(y2+x+2)=8.\left(x-\sqrt{x^{2}+1}\right)\left(y-\sqrt{y^{2}+1}\right)=1 \text{ і }\left(x^{2}+y+2\right)\left(y^{2}+x+2\right)=8 .
8–10 класиПеретворення ірраціональних вираз…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-026

Рекурентне співвідношення зі стискаючою функцією

Нехай f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} — зростаюча функція така, що f(y)−f(x)<y−xf(y)-f(x)<y-x для всіх дійсних xx і yy таких, що y>xy>x. Нехай (un)n⩾0\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 0} — послідовність така, що un+2=f(un+1)−f(un)u_{n+2}=f\left(u_{n+1}\right)-f\left(u_{n}\right) для кожного цілого n⩾0n \geqslant 0. Доведіть, що послідовність (un)n⩾0\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 0} збігається до 0, тобто що для кожного дійсного ε>0\varepsilon>0 існує ціле NN таке, що ∣un∣⩽ε\left|u_{n}\right| \leqslant \varepsilon для кожного цілого n⩾Nn \geqslant N.
9–11 класиПослідовності (інші властивості)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-017

Симетричні точки A і кола що дотикаються

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник, у якого кути при BB і при DD тупі, а кути при AA і при CC рівні між собою. Нехай EE і FF — точки, симетричні до AA відносно прямих (BC)(BC) і (CD)(CD). Нехай KK і LL — точки перетину прямої (BD)(BD) з прямими (AE)(AE) і (AF)(AF). Доведіть, що описані кола трикутників BEKBEK і DFLDFL дотикаються одне до одного.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-018

Гра з простим числом і перетвореннями цілих чисел

П'єр і Клара грають у таку гру. Спочатку Клара вибирає ціле число cc. Потім П'єр вибирає просте число p⩾cp \geqslant c і записує на дошці два цілі числа aa і bb. Після цього Клара може виконувати такі операції: вона вибирає одне з двох чисел, записаних на дошці, скажімо nn, витирає його і записує замість нього інше ціле число, скажімо mm, таке, що pp ділить (n2−m+1)(m2−n+1)\left(n^{2}-m+1\right)\left(m^{2}-n+1\right). Клара виграє, якщо за скінченну кількість таких операцій їй вдається зробити так, щоб два цілі числа, записані на дошці, стали однаковими. Інакше вона програє, і виграє П'єр. Доведіть, що П'єр може завадити Кларі виграти.
10–11 класиТеорема Евкліда про нескінченніст…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-019

Найбільший степінь неолімпійського монома

Позначимо через Z[x,y,z]\mathbb{Z}[x, y, z] множину многочленів з цілими коефіцієнтами від трьох змінних x,yx, y і zz. Будемо далі казати, що многочлен P∈Z[x,y,z]P \in \mathbb{Z}[x, y, z] є олімпійським, якщо Z[x,y,z]\mathbb{Z}[x, y, z] містить многочлени A,BA, B і CC такі, що P(x,y,z)=(x+y+z)A(x,y,z)+(xy+yz+zx)B(x,y,z)+xyzC(x,y,z).P(x, y, z)=(x+y+z) A(x, y, z)+(x y+y z+z x) B(x, y, z)+x y z C(x, y, z) . Знайти найбільше ціле число nn, для якого існують невід'ємні цілі числа i,ji, j і kk із сумою i+j+k=ni+j+k=n і такі, що многочлен xiyjzkx^{i} y^{j} z^{k} не є олімпійським. Зауваження: многочлен з цілими коефіцієнтами від змінних x,yx, y і zz — це функція, яку можна записати як суму доданків вигляду λxiyjzk\lambda x^{i} y^{j} z^{k}, де λ\lambda — ціле число, а i,ji, j і kk — невід'ємні цілі числа. Наприклад, x−y+1x-y+1 і xy+yz+zxx y+y z+z x — такі многочлени, а πxyz,exp⁡(x),x/(y2+1)\pi x y z, \exp (x), x /(y^{2}+1) і xy+z\sqrt{x y+z} — ні.
10–11 класиЕлементарні симетричні многочлени
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-020

Рекурентні послідовності зі зміною знака

Послідовності (an)n⩾0\left(a_{n}\right)_{n \geqslant 0} і (bn)n⩾0\left(b_{n}\right)_{n \geqslant 0} задано формулами {an=0 якщо n=0;an=2a⌊n/2⌋+n якщо n⩾1;і{bn=0 якщо n=0;bn=3b⌊n/3⌋+n якщо n⩾1.\left\{\begin{array}{ll} a_{n}=0 & \text{ якщо } n=0 ; \\ a_{n}=2 a_{\lfloor n / 2 \rfloor}+n & \text{ якщо } n \geqslant 1 ; \end{array}\right. \quad \text{і} \quad \left\{\begin{array}{ll} b_{n}=0 & \text{ якщо } n=0 ; \\ b_{n}=3 b_{\lfloor n / 3\rfloor}+n & \text{ якщо } n \geqslant 1 . \end{array}\right. Доведіть, що послідовність із загальним членом 2an−3bn2^{a_{n}}-3^{b_{n}} змінює знак нескінченно часто.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-021

Конкурентність у колах рівнобедреного трикутника

Нехай ABCABC — рівнобедрений трикутник з вершиною AA, а DD — точка відрізка [BC][BC] така, що BD≠CDBD \neq CD. Нехай PP і QQ — ортогональні проєкції DD на прямі (AB)(AB) і (AC)(AC). Нарешті, нехай EE — точка перетину, відмінна від AA, описаних кіл трикутників ABCABC і APQAPQ. Доведіть, що якщо прямі (EP)(EP), (AC)(AC) і серединний перпендикуляр до відрізка [PQ][PQ] перетинаються в одній точці, то трикутник ABCABC має прямий кут при вершині AA.
10–11 класиСиметрія
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-022

Множина з різницями Фібоначчі

Для кожного цілого k⩾0k \geqslant 0 позначимо через FkF_{k} k-теk^{\text{-те}} число Фібоначчі, визначене рівностями F0=0F_{0}=0, F1=1F_{1}=1 і Fk=Fk−2+Fk−1F_{k}=F_{k-2}+F_{k-1} при k⩾2k \geqslant 2. Нехай n⩾2n \geqslant 2 — ціле число, і нехай SS — множина цілих чисел, яка має таку властивість: Для кожного цілого kk такого, що 2⩽k⩽n2 \leqslant k \leqslant n, множина SS містить два цілі числа xx і yy такі, що x−y=Fkx-y=F_{k}. Яка найменша можлива кількість елементів такої множини SS?
10–11 класиДерева
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-023

Перетворення трьох чисел лінійними замінами

Моргана написала на дошці три цілі числа 33, 44 і 1212. Далі вона виконує послідовні заміни таким чином: вона вибирає два написані на дошці числа aa і bb, витирає їх і замінює на (3a+4b)/5(3a+4b)/5 і (4a−3b)/5(4a-3b)/5. Чи може Моргана після скінченної кількості таких замін a) отримати на дошці число 1313? b) отримати на дошці число −12-12?
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості3 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-024

Адитивні функції на натуральних числах

Знайдіть усі функції f:N⩾1↦N⩾0f: \mathbb{N}_{\geqslant 1} \mapsto \mathbb{N}_{\geqslant 0}, які задовольняють обидві такі умови: 1. f(xy)=f(x)+f(y)f(x y)=f(x)+f(y) для всіх цілих x⩾1x \geqslant 1 і y⩾1y \geqslant 1; 2. існує нескінченно багато цілих чисел n⩾1n \geqslant 1 таких, що рівність f(k)=f(n−k)f(k)=f(n-k) виконується для кожного цілого kk такого, що 1⩽k⩽n−11 \leqslant k \leqslant n-1. Позначимо через N⩾0\mathbb{N}_{\geqslant 0} множину цілих чисел, більших або рівних 0, а через N⩾1\mathbb{N}_{\geqslant 1} — множину цілих чисел, більших або рівних 1.
10–11 класиОсновна теорема арифметики
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-001

Кількість одиниць у двійковому записі

Нехай nn — невід'ємне ціле число. Доведіть, що двійковий запис числа n(2n−1)n\left(2^{n}-1\right) містить рівно nn одиниць.
9–11 класиСистеми числення
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-002

Перпендикуляр із симетричної точки у трикутнику

Нехай ABCABC — трикутник. Позначимо через HAH_{A} основу висоти трикутника ABCABC, проведеної з AA, а через A′A' — середину відрізка [BC][BC]. Далі позначимо через QAQ_{A} точку, симетричну HAH_{A} відносно A′A'. Аналогічно визначимо точки QBQ_{B} і QCQ_{C}. Нарешті, позначимо через RR точку перетину, відмінну від QAQ_{A}, описаних кіл трикутників QAQBCQ_{A} Q_{B} C і QABQCQ_{A} B Q_{C}. Доведіть, що прямі (QAR)\left(Q_{A} R\right) і (BC)(BC) перпендикулярні.
9–11 класиТочка перетину висот2 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-024

Максимум трьох виразів від двох змінних

Нехай xx і yy — два дійсні числа. Покладемо M=max⁡{xy+1,xy−x−y+3,−2xy+x+y+2}.M=\max \{x y+1, x y-x-y+3,-2 x y+x+y+2\} . Доведіть, що M⩾2M \geqslant 2, і з'ясуйте, коли досягається рівність.
8–10 класиЧислові нерівності
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-025

Досяжність числа в грі з ходами плюс два мінус три

Мартен і Тео грають у гру: Мартен пише на дошці ціле число. Далі Тео має право стерти число і додати до нього 22 або стерти число і відняти від нього 33, і так скільки завгодно разів. Тео виграє, якщо за скінченну кількість кроків він зможе отримати 20202020, інакше виграє Мартен. Який гравець має виграшну стратегію?
8–10 класиЛінійні діофантові рівняння
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-046

Виграшна стратегія у грі зі взаємно простими числами

Клара та Ізабель грають у таку гру. На початку гри вони вибирають натуральне число n⩾1n \geqslant 1, а потім кладуть nn цукерок у миску. Потім вони ходять по черзі, починаючи з Клари. Кожного ходу, якщо в мисці є kk цукерок, гравчиня, чия черга ходити, вибирає ціле число ℓ\ell, взаємно просте з kk, таке, що ℓ⩽k\ell \leqslant k, а потім з'їдає ℓ\ell цукерок; після цього ходить інша гравчиня. Гравчиня, яка з'їдає останню цукерку, виграє партію. Для яких значень nn Клара має виграшну стратегію?
8–10 класиВиграшні та програшні позиції: ан…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-017

Сім тур на дошці, які не атакують одна одну

Скількома способами можна поставити 7 тур на шахову дошку 7×77 \times 7 так, щоб жодна тура не могла атакувати іншу? Тура може атакувати іншу туру, якщо вона міститься в тому самому рядку або в тому самому стовпці.
8–10 класиПерестановки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-026

Подільність у квадратичній рекурентній послідовності

Нехай a1,a2,…a_{1}, a_{2}, \ldots — послідовність цілих чисел така, що a1=1a_{1}=1 і для кожного цілого числа n⩾1n \geqslant 1, an+1=an2+an+1a_{n+1}=a_{n}^{2}+a_{n}+1 Доведіть, що для кожного цілого числа n⩾1n \geqslant 1 число an2+1a_{n}^{2}+1 ділить an+12+1a_{n+1}^{2}+1.
8–10 класиАрифметика остач (базові властиво…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-044

Шоколадки за розрізання розфарбованої дошки

Дошка розміром 20×2020 \times 20 поділена на 400 одиничних клітинок розміром 1×11 \times 1. Клара фарбує кожну клітинку в білий або в чорний колір, після чого Ізабель розрізає дошку на прямокутники, сторони яких містяться в сітці дошки. Кожен із цих прямокутників має містити не більше 2 чорних клітинок, і за кожен вирізаний прямокутник, що містить 0 або 1 чорну клітинку, вона дає Кларі одну шоколадку. Ізабель вибирає своє розрізання так, щоб дати Кларі якомога менше шоколадок, а Клара вибирає своє початкове розфарбування так, щоб отримати від Ізабель якомога більше шоколадок. Скільки шоколадок Ізабель дасть Кларі?
9–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-047

Паралельні прямі із симетрії відносно точки

Нехай ABCABC — трикутник, а Γ\Gamma — його описане коло. Нехай PP — точка перетину прямої (BC)(BC) і дотичної до кола Γ\Gamma в AA. Нехай DD і EE — точки, симетричні точкам BB і AA відповідно відносно PP. Нехай далі ω1\omega_{1} — описане коло трикутника DACDAC, а ω2\omega_{2} — описане коло трикутника APBAPB. Позначимо через FF точку перетину кіл ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2}, відмінну від AA, а потім позначимо через GG точку перетину, відмінну від FF, кола ω1\omega_{1} з прямою (BF)(BF). Доведіть, що прямі (BC)(BC) і (EG)(EG) паралельні.
8–10 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-028

Сума добутків підмножин чисел від 1 до 8

Числа 1,2,…,81,2, \ldots, 8 розбивають на дві множини AA і BB, після чого через PAP_{A} позначають добуток усіх елементів множини AA, а через PBP_{B} — добуток усіх елементів множини BB. Яких найменшого та найбільшого значень може набувати сума PA+PBP_{A}+P_{B}? Зауваження: якщо множина EE порожня, вважатимемо, що добуток її елементів дорівнює 1.
8–10 класиНерівність Коші2 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-027

Гра на подільність з факторіалом

Повертаючись потягом з EGMOnd an Zee, Клара та Едвіга грають у таку гру. Спочатку ціле число n=1×2×⋯×20n=1 \times 2 \times \cdots \times 20 записане на аркуші паперу. Потім, по черзі, починаючи з Клари, гравчині замінюють ціле число nn одним із чисел kn/10k n / 10, де kk — ціле число від 1 до 9 включно. Перша гравчиня, яка запише число, що не є цілим, програє, а її суперниця виграє. Клара та Едвіга — дві грізні гравчині, тож грають оптимально. Яка з них виграє?
8–10 класиВиграшні та програшні позиції: ан…2 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-029

Процес із сумою та різницею на цілих числах

Числа від 1 до 2020 записано на дошці. Жак має право стерти два з них і записати замість них їхню суму або різницю, і повторювати це, доки не залишиться лише одне число. Чи можливо, щоб число, отримане наприкінці, дорівнювало 321?
8–10 класиПарність і непарність
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-043

Сицилійська послідовність, що досягає одиниці

Послідовність (un)n⩾0\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 0} натуральних чисел називається сицилійською, якщо un+1∈{un/2,un/3,2un+1,3un+1}u_{n+1} \in\left\{u_{n} / 2, u_{n} / 3, 2 u_{n}+1, 3 u_{n}+1\right\} для всіх n⩾0n \geqslant 0. Доведіть, що для будь-якого натурального числа k⩾1k \geqslant 1 існує сицилійська послідовність (un)n⩾0\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 0} і ціле число ℓ⩾0\ell \geqslant 0 такі, що u0=ku_{0}=k і uℓ=1u_{\ell}=1.
9–11 класиМетод нескінченного спуску
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-030

Циклічна сума добутків чисел 1 та -1

1. Чи існують числа a0,…,a2020a_{0}, \ldots, a_{2020}, кожне з яких дорівнює -1 або 1, такі, що a0×a1+a1×a2+⋯+a2019×a2020+a2020×a0=1010a_{0} \times a_{1}+a_{1} \times a_{2}+\cdots+a_{2019} \times a_{2020}+a_{2020} \times a_{0}=1010? 2. Чи існують числа a1,…,a2020a_{1}, \ldots, a_{2020}, кожне з яких дорівнює -1 або 1, такі, що a1×a2+a2×a3+⋯+a2019×a2020+a2020×a1=1010a_{1} \times a_{2}+a_{2} \times a_{3}+\cdots+a_{2019} \times a_{2020}+a_{2020} \times a_{1}=1010?
8–10 класиПарність і непарність

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.