Найбільший степінь неолімпійського монома

Умова задачі

Позначимо через $\mathbb{Z}[x, y, z]$ множину многочленів з цілими коефіцієнтами від трьох змінних $x, y$ і $z$ . Будемо далі казати, що многочлен $P \in \mathbb{Z}[x, y, z]$ є олімпійським, якщо $\mathbb{Z}[x, y, z]$ містить многочлени $A, B$ і $C$ такі, що
$P(x, y, z)=(x+y+z) A(x, y, z)+(x y+y z+z x) B(x, y, z)+x y z C(x, y, z) .$
Знайти найбільше ціле число $n$ , для якого існують невід'ємні цілі числа $i, j$ і $k$ із сумою $i+j+k=n$ і такі, що многочлен $x^{i} y^{j} z^{k}$ не є олімпійським.

Зауваження: многочлен з цілими коефіцієнтами від змінних $x, y$ і $z$ — це функція, яку можна записати як суму доданків вигляду $\lambda x^{i} y^{j} z^{k}$ , де $\lambda$ — ціле число, а $i, j$ і $k$ — невід'ємні цілі числа. Наприклад, $x-y+1$ і $x y+y z+z x$ — такі многочлени, а $\pi x y z, \exp (x), x /(y^{2}+1)$ і $\sqrt{x y+z}$ — ні.

Пов’язані теми

Елементарні симетричні многочлени Метод невизначених коефіцієнтів

Олімпіадні задачі з математики

Задачі дня

Найбільший степінь неолімпійського монома

Умова задачі

Пов’язані теми

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Гурток за п’ять хвилин

П’ять років програми

Шість правил, підтверджених дослідженнями

Ритм олімпіадного року

Як зібрати задачі тут

Про проєкт

Автори задач

Що в архіві

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Що є в кожної задачі

З чого почати

Хто це робить

Помилки та пропозиції

Автори задач

Богдан Рубльов

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні й закордонні змагання

Дякуємо