Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

466 задач
Підготовка до Французької математичної олімпіади
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-032

Трикутники, утворені прямими в загальному положенні

Нехай n≥3n \geq 3 — натуральне число. Дано nn прямих у загальному положенні (тобто ніякі три прямі не проходять через одну точку і ніякі дві прямі не є паралельними). Скільки трикутників утворюють ці прямі? Зауваження. Наприклад, на рисунку нижче є 4 трикутники.
9–11 класиКомбінації
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-027

Сума цифр числа і його квадрата

Для кожного невід'ємного цілого числа nn позначимо через S(n)S(n) суму цифр десяткового запису числа nn. Назвемо невід'ємне ціле число nn гарним, якщо S(n)=S(n2)S(n)=S\left(n^{2}\right). Знайти всі можливі значення S(n)S(n) для гарних чисел nn.
9–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-017

Рівняння 1/x + 1/y = 1/2017

Знайдіть усі цілі числа x,y⩾1x, y \geqslant 1 такі, що 1x+1y=12017\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2017}
9–11 класиПрості числа (базові властивості)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-041

Граф із заданим розподілом відстаней

Країна складається з 2018n+12018 n+1 міст, де nn — ненульове натуральне число. Деякі пари міст сполучені прямими залізничними лініями так, що між двома містами є не більше однієї лінії; кожна лінія працює в обох напрямках. Відстань між двома містами AA і BB — це мінімальна кількість ліній, які треба проїхати, щоб дістатися з AA до BB. Знайти множину цілих чисел nn, для яких можна побудувати залізничну мережу, що задовольняє такий критерій: Для будь-якого міста CC і для будь-якого i∈{1,2,…,2018}i \in \{1,2, \ldots, 2018\} є рівно nn міст на відстані ii від CC.
9–11 класиСтепені вершин
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-037

Максимум суми квадратних коренів

Знайти найбільше значення x+2y+2+3z+6\sqrt{x}+\sqrt{2 y+2}+\sqrt{3 z+6}, коли x,y,zx, y, z — додатні дійсні числа, що задовольняють x+y+z=3x+y+z=3.
9–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-006

Перевертання рядків, стовпців і діагоналей бінарної матриці

У наведених нижче квадратах дозволяється замінювати всі 0 на 1 і навпаки в будь-якому рядку, будь-якій колонці чи будь-якій діагоналі. Чи можна в кожному випадку отримати самі нулі? (0110110100110011)(0100110100011011)(0000110001011001)\left(\begin{array}{llll} 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right) \quad\left(\begin{array}{llll} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right) \quad\left(\begin{array}{llll} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)
10–11 класиПарність і непарність
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-007

Цифра одиниць після повторюваних операцій

На дошці написано числа 1,2,…,20181, 2, \ldots, 2018. Далі виконують 2017 операцій так: вибирають два числа aa і bb, стирають їх і записують замість них a+b+2aba + b + 2ab. Зрештою на дошці залишається лише одне ціле число. Яких значень може набувати його цифра одиниць?
10–11 класиПарність і непарність
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-043

Значення квадратного тричлена, що є точним квадратом

Знайдіть суму всіх натуральних чисел nn таких, що n2+8n+44n^{2}+8 n+44 є точним квадратом.
8–10 класиМетод затискання між сусідніми зн…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-031

Рівність синусів кутів у гострокутному трикутнику

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, а PP — точка всередині трикутника ABCABC. Нехай DD — середина відрізка [PC][PC], EE — точка перетину прямих (AP)(AP) і (BC)(BC), а QQ — точка перетину прямих (BP)(BP) і (DE)(DE). Доведіть, що якщо кути PAC^\widehat{PAC} і PCB^\widehat{PCB} рівні, то sin⁡(BCQ^)=sin⁡(BAP^)\sin (\widehat{BCQ}) = \sin (\widehat{BAP}).
9–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-039

Паралельні прямі з дотичної та середин сторін

Нехай ABCABC — трикутник. Позначимо через L,M,NL, M, N середини відрізків [BC][BC], [CA][CA] і [AB][AB]. Позначимо через (d)(d) дотичну в точці AA до описаного кола трикутника ABCABC. Пряма (LM)(LM) перетинає (d)(d) у точці PP, а пряма (LN)(LN) перетинає (d)(d) у точці QQ. Доведіть, що прямі (CP)(CP) і (BQ)(BQ) паралельні.
9–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-042

Точки сітки зі вписаними чотирикутниками

На площині дано 16 попарно різних точок, які позначено Ai,jA_{i, j} для i,j∈{1,2,3,4}i, j \in \{1,2,3,4\}. Ці точки задовольняють такі співвідношення колінеарності та вписаності в коло: ▹\triangleright для всякого i∈{1,2,3,4}i \in \{1,2,3,4\} точки Ai,1,Ai,2,Ai,3A_{i, 1}, A_{i, 2}, A_{i, 3} і Ai,4A_{i, 4} колінеарні; ▹\triangleright для всякого j∈{1,2,3,4}j \in \{1,2,3,4\} точки A1,j,A2,j,A3,jA_{1, j}, A_{2, j}, A_{3, j} і A4,jA_{4, j} колінеарні; ▹\triangleright чотирикутники A1,1A1,2A2,2A2,1,A2,1A2,2A3,2A3,1,A3,1A3,2A4,2A4,1,A1,2A1,3A2,3A2,2A_{1,1} A_{1,2} A_{2,2} A_{2,1}, A_{2,1} A_{2,2} A_{3,2} A_{3,1}, A_{3,1} A_{3,2} A_{4,2} A_{4,1}, A_{1,2} A_{1,3} A_{2,3} A_{2,2}, A1,3A1,4A2,4A2,3,A1,1A2,2A2,3A1,4A_{1,3} A_{1,4} A_{2,4} A_{2,3}, A_{1,1} A_{2,2} A_{2,3} A_{1,4} і A1,1A2,2A3,2A4,1A_{1,1} A_{2,2} A_{3,2} A_{4,1} є вписаними. Доведіть, що чотирикутник A4,1A3,2A3,3A4,4A_{4,1} A_{3,2} A_{3,3} A_{4,4} також є вписаним. Зауваження: чотирикутник називається вписаним, якщо його чотири вершини лежать на одному колі.
9–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-028

Нерівність для добутку n змінних

Нехай n⩾2n \geqslant 2 — натуральне число. Знайдіть усі дійсні числа x⩾−1x \geqslant -1 такі, що для всіх дійсних чисел a1,…,an⩾1a_{1}, \ldots, a_{n} \geqslant 1 виконується a1+x2×⋯×an+x2⩽a1a2⋯an+x2.\frac{a_{1}+x}{2} \times \cdots \times \frac{a_{n}+x}{2} \leqslant \frac{a_{1} a_{2} \cdots a_{n}+x}{2} .
9–11 класиЧислові нерівності
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-018

Гра в доміно на дошці 2 на 2018

Адальберт і Бабетта грають у доміно на прямокутній сітці висотою 2 клітинки та шириною 2018 клітинок. Адальберт починає, кладучи доміно розміру 1×21 \times 2 горизонтально так, щоб воно покривало рівно дві клітинки сітки. Потім Бабетта так само кладе доміно 1×21 \times 2 вертикально, і так далі. Той, хто першим не зможе зробити хід, не перекривши вже покладене доміно, програв. Доведіть, що Адальберт має виграшну стратегію.
9–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-008

Таблиця 3×3 з максимумами рядків і мінімумами стовпців

Числа від 11 до 99 розміщують по клітинках таблиці 3×33 \times 3, по одному числу в кожній клітинці. Для i=1i=1, 22 і 33 позначимо через ℓi\ell_{i} найбільше число, що міститься в i-йi^{\text{-й}} рядку, а через cic_{i} — найменше число, що міститься в i-йi^{\text{-й}} стовпці. Скільки існує таблиць таких, що min⁡{ℓ1,ℓ2,ℓ3}=max⁡{c1,c2,c3}=4\min \left\{\ell_{1}, \ell_{2}, \ell_{3}\right\}=\max \left\{c_{1}, c_{2}, c_{3}\right\}=4?
10–11 класиПравила суму та добутку
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-044

Показник найменшого простого дільника досконалого числа

Ціле число nn називається досконалим, якщо сума його дільників дорівнює 2n2n. Нехай nn — досконале ціле число, а pp — його найменший простий дільник. Доведіть, що показник pp у розкладі nn на добуток степенів простих чисел є парним.
8–10 класиСума дільників σ(n)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-035

Пари з однаковою сумою та повторення значень

Нехай n⩾2n \geqslant 2 — натуральне число. Дано 2n2 n кульок. На кожній з цих кульок написано число. Припускається, що щоразу, коли кульки групують у nn пар, дві з цих пар мають однакову суму. a. Доведіть, що на чотирьох із цих кульок написано однакове число. b. Доведіть, що кількість різних значень, написаних на кульках, є ⩽n−1\leqslant n-1.
9–11 класиЧислові нерівності
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-038

Мультиплікативна функція на раціональних числах з обмеженням

Знайти всі можливі значення f(2018)f(2018), де ff — функція з Q\mathbb{Q} в R+\mathbb{R}_{+}, що задовольняє три такі умови: - f(2)=1/2f(2)=1 / 2; - для будь-якого раціонального xx, якщо f(x)⩽1f(x) \leqslant 1, то f(x+1)⩽1f(x+1) \leqslant 1; - f(xy)=f(x)f(y)f(x y)=f(x) f(y) для будь-яких раціональних xx і yy.
9–11 класиВластивості монотонності або обме…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-034

Олімпійські числа та четверті степені

Ціле число kk називається олімпійським, якщо існують чотири цілі числа a,b,ca, b, c і dd, усі взаємно прості з kk, такі, що kk ділить a4+b4+c4+d4a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}. Нехай nn — довільне ціле число. Доведіть, що число n2−2n^{2}-2 є олімпійським.
9–11 класиПорядок (показник) числа за модул…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-040

Сума ненульових квадратів

Нехай pp і nn — додатні цілі числа, причому pp — просте, а n⩾pn \geqslant p. Припустимо, що 1+np1+n p є повним квадратом. Доведіть, що n+1n+1 є сумою pp ненульових повних квадратів (не обов’язково різних).
9–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-009

Гострокутний трикутник з обмеженої послідовності

Знайдіть усі цілі числа n⩾3n \geqslant 3 такі, що якщо a1,…,ana_{1}, \ldots, a_{n} — додатні дійсні числа, для яких max⁡(a1,…,an)⩽n⋅min⁡(a1,…,an)\max \left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right) \leqslant n \cdot \min \left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right), то серед цих чисел обов’язково знайдуться три, які є довжинами сторін гострокутного трикутника, тобто трикутника, усі три кути якого строго гострі.
10–11 класиЧисла Фібоначі
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-021

Неминучі множини перестановок

Кажуть, що дві перестановки a1,…,a4035a_{1}, \ldots, a_{4035} і b1,…,b4035b_{1}, \ldots, b_{4035} чисел 1,…,40351, \ldots, 4035 перетинаються, якщо існує ціле число k⩽4035k \leqslant 4035 таке, що ak=bka_{k}=b_{k}. Кажуть, що множина EE перестановок є неминучою, якщо кожна перестановка чисел 1,…,40351, \ldots, 4035 перетинає перестановку, що належить EE. a) Доведіть, що існує неминуча множина, яка містить 2018 перестановок. b) Чи існує неминуча множина, яка містить 2017 перестановок?
9–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-019

Розміщення одиничних дисків у прямокутнику

Чи можна розмістити 601 диск радіуса 11 у прямокутній коробці розміру 4×6004 \times 600 так, щоб жодні два диски не накладалися (проте вони можуть дотикатися)?
9–11 класиПокриття, пакування, фарбування
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-036

Площа чотирикутника та перестановки сторін

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник площею SS. Позначимо a=ABa = AB, b=BCb = BC, c=CDc = CD і d=DAd = DA. Для будь-якої перестановки x,y,z,tx, y, z, t чисел a,b,c,da, b, c, d доведіть, що S⩽12(xy+zt)S \leqslant \frac{1}{2}(xy + zt)
9–11 класиПлоща трикутника
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-033

Сума обернених величин добутків підмножин

Нехай n⩾1n \geqslant 1 — натуральне число. Для кожної непорожньої підмножини AA множини {1,2,…,n}\{1,2, \ldots, n\} позначимо через P(A)P(A) добуток усіх елементів множини AA. Наприклад, для A={2,4,7}A=\{2,4,7\} маємо P(A)=56P(A)=56. Знайдіть суму чисел 1P(A)\frac{1}{P(A)}, коли AA пробігає всі непорожні підмножини множини {1,2,…,n}\{1,2, \ldots, n\}.
9–11 класиЕлементарні симетричні многочлени
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-022

Різні дільники своєї суми

Нехай nn — натуральне число. Доведіть, що існує nn попарно різних цілих чисел r1,…,rnr_{1}, \ldots, r_{n} таких, що кожне rir_{i} ділить r1+⋯+rnr_{1}+\cdots+r_{n}.
9–11 класиКонструкція за індукцією

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.