Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

189 задач
Відбір на міжнародні математичні олімпіади
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-19-20-012

Рівність сум цифр числа без дев’яток та його добутку

Позначимо через S(k)S(k) суму цифр числа kk. Доведіть, що існує таке натуральне число nn, яке не містить у своєму десятковому записі цифр 99 та для якого S(21000000n)=S(n)S(2^{1000000}n)=S(n).
7–9 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-19-20-013

Перестановка коефіцієнтів многочлена та нерівність для всіх x

Многочлен Q(x)=q100x100+q99x99+…+q1x+q0Q(x)=q_{100}x^{100}+q_{99}x^{99}+\ldots+q_1x+q_0 степеня 100100 отримано з многочлена P(x)=p100x100+p99x99+…+p1x+p0P(x)=p_{100}x^{100}+p_{99}x^{99}+\ldots+p_1x+p_0 перестановкою коефіцієнтів, при цьому pi≠qip_i \ne q_i, i=0,100‾i=\overline{0,100}. Чи може статися так, що для кожного дійсного xx справджується умова P(x)⩾Q(x)P(x) \geqslant Q(x)?
10–11 класиВластивості коефіцієнтів многочле…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-19-20-014

Симетрична точка перетину з основою на прямій основ висот

Нехай AHAAH_A та CHCCH_C — висоти трикутника ABCABC, AB≠BCAB \neq BC, пряма, що проходить через вершину BB перпендикулярно до медіани, проведеної із цієї вершини, перетинає пряму ACAC у точці TT. Точка PP симетрична точці TT відносно точки BB. Доведіть, що точка PP лежить на прямій HAHCH_AH_C.
10–11 класиАнтипаралельні прямі
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-19-20-015

Поліцаї у квартирі з n стінами та дверима

У казковому всесвіті політичний діяч має квартиру CC, що є нескінченною площиною з nn стінами — кожна у формі нескінченної прямої, які розбивають квартиру на кімнати. Серед стін немає двох паралельних, а також немає трьох, що мають спільну точку. Працівники ЖКГ кожну зі стін повністю фарбують у блакитний колір з одного боку та в жовтий — із другого. На перетині будь-яких двох стін є чотири кути, з яких рівно два (причому вертикальних), що мають сторони різного кольору. На кожному такому перетині є двосторонні двері, які з’єднують ті два кути, сторони яких різного кольору. Після того як працівники ЖКГ пофарбують стіни, служба безпеки всесвіту розміщує деяку кількість поліцаїв у цій квартирі. Поліцаї вміють проходити крізь двері, але не можуть проходити крізь стіни. Нехай kk — найбільше число, що відповідає кількості поліцаїв, яких, незважаючи на те, як ЖКГ пофарбує стіни, служба безпеки завжди зможе розмістити так, щоб не знайшлося двох поліцаїв, котрі мають можливість зустрітися.
10–11 класиЗв’язність
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-19-20-016

Вираз a² зі стелею дробу не точний квадрат

Нехай aa, bb — натуральні числа. Доведіть, що число a2+⌈4a2b⌉a^2+\left\lceil \frac{4a^2}{b}\right\rceil не є точним квадратом цілого числа. Тут через ⌈m⌉\lceil m\rceil позначено найменше ціле число, що більше або дорівнює zz.
10–11 класиМетод нескінченного спуску
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-19-20-017

Об'єднання двох або трьох підмножин множини

У множині SS, що містить nn елементів, вибрано [2n]+2\left[\sqrt{2n}\right]+2 підмножин таким чином, що об’єднання будь-яких трьох із них — це SS. Доведіть, що об’єднання деяких двох із вибраних множин — це SS.
7–9 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-19-20-018

Шестикутник зі стороною 1 і трикутники ACE та BDF

Дано опуклий шестикутник ABCDEFABCDEF, усі сторони якого дорівнюють 11. Доведіть, що радіус описаного кола принаймні одного з трикутників — ACEACE чи BDFBDF — не менший від 11.
7–9 класиІнші нерівності в геометрії
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-19-20-019

Найбільше значення добутку |a-b|·|b-c|·|c-a|

Для дійсних чисел aa, bb, cc, що задовольняють умови a+b+c=0a + b + c = 0 та ∣a∣+∣b∣+∣c∣=1|a| + |b| + |c| = 1, знайдіть найбільше значення виразу P=∣a−b∣⋅∣b−c∣⋅∣c−a∣P = |a - b| \cdot |b - c| \cdot |c - a|.
7–9 класиНерівність Коші
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-19-20-020

Подільність cⁿ⁺¹ + c − 1 на добуток сум

Є натуральні числа c>2c > 2 та a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n, n>1n > 1, такі, що c⋮a1a2…anc \vdots a_1a_2\ldots a_n. Доведіть, що cn+1+c−1c^{n+1}+c-1 не ділиться націло на добуток (c+a1−1)(c+a2−1)…(c+an−1)(c+a_1-1)(c+a_2-1)\ldots(c+a_n-1).
7–9 класиАрифметика остач (базові властиво…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-19-20-021

Існування прямої між паралельними з рівністю кутів

Нехай l1,l2l_1, l_2 — дві паралельні прямі, точка OO розташована між ними так, що вона ближче до прямої l2l_2, ніж до прямої l1l_1, точка HH — основа перпендикуляра, проведеного з точки OO на пряму l1l_1. Доведіть, що існує пряма l3∥l1l_3 \parallel l_1 з такою властивістю: якщо XX та YY — точки на прямих l1l_1 та l2l_2 відповідно, для яких ∠XOZ=90∘\angle XOZ = 90^\circ, де Z=l3∩XYZ = l_3 \cap XY, то ∠YOZ=∠XOH\angle YOZ = \angle XOH.
10–11 класиТеорема Менелая
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-19-20-022

Рівняння f(xf(xy)) + f(yf(xy)) = x + y

Знайдіть усі такі функції f:R+→R+f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+, що для довільних додатних xx, yy справджується рівність f(xf(xy))+f(yf(xy))=x+y.f(xf(xy))+f(yf(xy))=x+y.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-18-19-001

Найбільше k для квадратного тричлена на числах Фібоначчі

Нехай FnF_n, n∈Nn \in \mathbb{N}, позначає nn-те число Фібоначчі (F1=F2=1F_1 = F_2 = 1, Fn+2=Fn+1+FnF_{n+2} = F_{n+1} + F_n). Знайдіть найбільше число k∈Nk \in \mathbb{N}, для якого існують n∈Nn \in \mathbb{N} і квадратний тричлен ff з дійсними коефіцієнтами такі, що f(i)=Fn+if(i) = F_{n+i} для кожного i=0,1,…,ki = 0, 1, \ldots, k.
10–11 класиЧисла Фібоначі
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-18-19-002

Найбільший дріб на червоній карті

Сашко й Дарина грають у гру. Дарина має 20192019 блакитних і 2019⋅10092019 \cdot 1009 червоних карт, які лежать на столі сорочкою (зворотною стороною) догори. На обох сторонах карт записано числа: - для кожного 1⩽n⩽20191 \leqslant n \leqslant 2019 існує блакитна карта, на зворотній стороні якої записано число nn, а на лицьовій — дріб anbn\frac{a_n}{b_n}, (an,bn)=1(a_n, b_n) = 1, an,bn>0a_n, b_n > 0; - для кожних 1⩽i<j⩽20191 \leqslant i < j \leqslant 2019 існує червона карта, на зворотній стороні якої записано пару чисел (i,j)(i, j), а на лицьовій — дріб ai+ajbi+bj\frac{a_i + a_j}{b_i + b_j}. Відомо, що всі дроби на лицьовій стороні карт різні. За один крок Сашко може вказати на дві карти, після чого Дарина говорить, на якій із цих карт записано більший дріб. Доведіть, що за 10 00010\,000 кроків Сашко може визначити червону карту, на лицьовій стороні якої записано найбільший дріб серед червоних карт.
10–11 класиЧислові нерівності
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-18-19-003

Симетрії внутрішньої точки трикутника відносно сторін

Усередині трикутника ABCABC вибрано точку TT. Нехай через A1,B1,C1A_1, B_1, C_1 позначено точки, симетричні точці TT відносно прямих BCBC, ACAC і ABAB відповідно. Позначимо через Ω\Omega описане коло трикутника A1B1C1A_1B_1C_1. Прямі A1T,B1T,C1TA_1T, B_1T, C_1T удруге перетинають коло Ω\Omega у точках A2,B2,C2A_2, B_2, C_2 відповідно. Доведіть, що прямі AA2,BB2,CC2AA_2, BB_2, CC_2 перетинаються на колі Ω\Omega.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-18-19-004

Розфарбування розбитої на триміно дошки 3n × 3n

Дошку розміром 3n×3n3n \times 3n, де n⩾2018n \geqslant 2018, деяким чином розбили на прямокутники 1×31 \times 3. Доведіть, що обов’язково можна пофарбувати кожну одиничну клітинку 1×11 \times 1 дошки в один із трьох кольорів таким чином, щоб виконувалися умови: - клітинок кожного кольору є однакова кількість; - немає двох сусідніх по стороні клітинок одного кольору; - у кожному прямокутнику розбиття 1×31 \times 3 якогось кольору немає.
10–11 класиГеометричні розфарбування
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-18-19-005

Точка на стороні трикутника, інцентри та колінеарні проєкції

На стороні BCBC гострокутного трикутника ABCABC вибрано точку DD. Позначимо через II, I1I_1 та I2I_2 центри вписаних кіл трикутників ABCABC, ABDABD та ACDACD відповідно. Нехай точки EE і FF — проєкції точки I1I_1 на прямі BCBC та ADAD відповідно. Точка TT така, що IT⊥BCIT \perp BC і I2T∥BCI_2T \parallel BC. Доведіть, що точки EE, FF і TT колінеарні.
10–11 класиВписане коло
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-18-19-006

Заміна пари цілочисельних точок паралелограмом

На координатній площині дано скінченну множину точок SS, кожна з координат яких є цілим числом. За один крок дозволено замінити пару точок A,B∈SA, B \in S на довільну пару цілочисельних точок C,D∈SC, D \in S так, що чотирикутник ABCDABCD буде паралелограмом, причому AB>CDAB > CD. Доведіть, що такий процес не може тривати нескінченно.
10–11 класиНапівінваріанти
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-18-19-007

Неспадна додатна функція та зсув на обернене значення

Дано функцію f:R→(0,+∞)f: \mathbb{R} \to (0, +\infty) таку, що для довільних x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}, x⩽yx \leqslant y, справджується нерівність f(x)⩽f(y)f(x) \leqslant f(y). Доведіть, що існує t∈Rt \in \mathbb{R}, для якого виконується нерівність f(t+1f(t))<2f(t).f\left(t + \frac{1}{f(t)}\right) < 2f(t).
10–11 класиВластивості монотонності або обме…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-18-19-008

Квадрати добутків xy і zt при рівних сумах

Натуральні числа xx, yy, zz, tt задовольняють умову xy−zt=x+y=z+txy - zt = x + y = z + t. Чи можливо, щоб числа xyxy і ztzt одночасно були квадратами натуральних чисел?
10–11 класиМетод оцінок, що веде до малого п…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-18-19-009

Розбиття 33 камінців і рівні за вагою п'ятнадцятки

Відомо, що як би не розділили купку з 3333 камінців на дві купки по 1717 і 1616 камінців, завжди можна залишити в кожній із них по 1515 камінців таких, що загальна вага камінців у першій купці дорівнюватиме загальній вазі камінців у другій. Доведіть, що хоча б 3131 камінець має однакову вагу.
7–9 класиЧислові нерівності
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-18-19-010

Додатні корені многочлена з сумою обернених чисел

Дано натуральні числа a1,a2,…,an,ka_1, a_2, \ldots, a_n, k і MM такі, що 1a1+1a2+…+1an=kтаa1a2…an=M.\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\ldots+\frac{1}{a_n}=k \quad \text{та} \quad a_1a_2\ldots a_n=M. Доведіть, що многочлен P(x)=M(x+1)k−(x+a1)(x+a2)…(x+an)P(x)=M(x+1)^k-(x+a_1)(x+a_2)\ldots(x+a_n) не має додатних коренів, якщо M>1M>1.
7–9 класиІнші класичні нерівності
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-18-19-011

Бісектриса кута A ділить відрізок A'X навпіл

Дано нерівнобедрений трикутник ABCABC з кутом ∠A=60∘\angle A = 60^\circ і висотами BEBE та CFCF. Нехай деяка точка XX симетрична ортоцентру трикутника ABCABC відносно серединного перпендикуляра до сторони BCBC. Нехай A′A' — точка, симетрична вершині AA відносно прямої BCBC. Доведіть, що бісектриса кута BACBAC ділить відрізок A′XA'X навпіл.
7–9 класиТеорема про тризуб
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-18-19-012

Вираз із двійками та натуральним k більшим двох

Дано натуральне число k>2k > 2. Доведіть, що число 22k−1−2k−12^{2^k-1}-2^k-1 складене.
7–9 класиРозкладання на множники і розкрит…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-18-19-013

Максимальна кількість ходів гри зі степенями двійки на стрічці

Олексій грає у гру на стрічці, що складається з 99 одиничних клітинок. На початку гри всі клітинки порожні. Кожним кроком Олексій може зробити одну з двох дій: - вибрати довільне число вигляду 2j2^j, де jj — деяке невід’ємне ціле число, і записати його в порожню клітинку; - вибрати дві (не обов’язково сусідні) клітинки, у яких записано однакові числа, скажімо, 2j2^j, і записати в одній із них число 2j+12^{j+1}, а другу клітинку витерти. У кінці гри виявилося, що в одній клітинці записано число 2n2^n (де nn — наперед задане натуральне число), а решта клітинок порожні. Знайдіть максимальну кількість ходів, які міг зробити Олексій, залежно від значення nn.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-18-19-014

Зовнівписане коло, коло AEF на BC та середина AD

Нехай ω\omega — зовнівписане коло трикутника ABCABC, що дотикається до сторони BCBC. Нехай DD, EE і FF — точки дотику кола ω\omega до прямих BCBC, ACAC і ABAB відповідно. Описане коло трикутника AEFAEF перетинає пряму BCBC у точках PP і QQ. Нехай точка MM — середина відрізка ADAD. Доведіть, що описане коло трикутника MPQMPQ дотикається до кола ω\omega.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.