Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

189 задач
Відбір на міжнародні математичні олімпіади
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-14-15-002

Кускова функція та різні знаки послідовних приростів

Функція f(x):(0,1)→(0,1)f(x) : (0,1) \to (0,1) визначена таким чином: f(x)={x+12,x<12,x2,x⩾12.f(x) = \begin{cases} x + \dfrac{1}{2}, & x < \dfrac{1}{2}, \\ x^2, & x \geqslant \dfrac{1}{2}. \end{cases} Нехай aa і bb — два довільних дійсних числа таких, що 0<a<b<10 < a < b < 1. Визначимо послідовності ana_n і bnb_n таким чином: a0=aa_0 = a, b0=bb_0 = b і an=f(an−1)a_n = f(a_{n-1}), bn=f(bn−1)b_n = f(b_{n-1}) при n>0n > 0. Доведіть, що існує додатне значення nn таке, що (an−an−1)(bn−bn−1)<0(a_n - a_{n-1})(b_n - b_{n-1}) < 0.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-14-15-003

Кількість різних модулів різниці перестановки

Для довільної перестановки σ\sigma чисел із множини {1,2,…,2014}\{1, 2, \ldots, 2014\} розглянемо множину Iσ={∣σ(i)−i∣:i=1,2,…,2014},I_\sigma = \left\{ \left| \sigma(i) - i \right| : i = 1, 2, \ldots, 2014 \right\}, де через σ(i)\sigma(i) позначено ii-й елемент перестановки σ\sigma. Позначимо через ∣Iσ∣\left| I_\sigma \right| кількість елементів множини IσI_\sigma. Знайдіть усі можливі значення, яких може набувати ∣Iσ∣\left| I_\sigma \right|.
10–11 класиПарність і непарність
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-14-15-004

Друга точка перетину кіл трикутників AMP і BMC

Дано коло ω\omega і точки AA, BB, CC на ньому. Зафіксуємо дійсне число λ∈(0,1)\lambda \in (0, 1). Для довільної точки P∉{A,B,C}P \notin \{A, B, C\}, що лежить на колі ω\omega, позначимо на відрізку CPCP таку точку MM, що CM=λ⋅CPCM = \lambda \cdot CP. Нехай QQ — друга точка перетину описаних кіл трикутників AMPAMP і BMCBMC. Доведіть, що всі можливі розташування точки QQ знаходяться на фіксованому колі незалежно від вибору точки PP.
10–11 класиРадикальна вісь
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-14-15-005

Числа з рівністю сум і вибір k чисел

Задано натуральне число nn і додатні дійсні числа x1x_1, x2x_2, …\ldots, xnx_n такі, що x1+x2+…+xn=1x12+1x22+…+1xn2.x_1 + x_2 + \ldots + x_n = \frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} + \ldots + \frac{1}{x_n^2}. Доведіть, що для кожного натурального k⩽nk \leqslant n із чисел x1x_1, x2x_2, …\ldots, xnx_n можна вибрати kk чисел із сумою, не меншою за kk.
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-14-15-006

Одиниці на дошці та заміна пари їх сумою

На дошці записано 2m2^m разів число 11. За один крок дозволено вибрати два довільних числа aa і bb, витерти їх і на місці кожного з них записати число a+ba + b. Доведіть, що після m2m−1m2^{m-1} кроків сума чисел на дошці буде не менша ніж 4m4^m.
10–11 класиНапівінваріанти
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-14-15-007

MH і перпендикуляр до AC на колі BA'P

Висоти AA′AA' і BB′BB' трикутника ABCABC перетинаються в точці HH. Точка MM — середина ABAB. Прямі ABAB і A′B′A'B' перетинаються в точці PP. Доведіть, що пряма MHMH і перпендикуляр до прямої ACAC, який проходить через точку PP, перетинаються на описаному колі трикутника BA′PBA'P.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-14-15-008

Непарні члени послідовності цілих частин n^k/k

Задано натуральне число n>1n > 1. Доведіть, що серед членів послідовності (ak)k⩾1(a_k)_{k \geqslant 1}, заданої умовою ak=[nkk]a_k = \left[\dfrac{n^k}{k}\right], трапляється нескінченна кількість непарних чисел.
10–11 класиМала теорема Ферма
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-14-15-009

Добуток двох практичних чисел

Назвемо натуральне число nn практичним, якщо кожне натуральне число, що не перевищує nn, можна подати у вигляді суми різних дільників числа nn. Доведіть, що добуток двох практичних чисел є практичним числом.
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-14-15-010

Висоти трикутника з кутом 45° та перпендикулярність KM

У гострокутному трикутнику ABCABC (∠B=45∘\angle B = 45^\circ) проведено висоти AA1AA_1, BB1BB_1 та CC1CC_1. На сторонах ABAB та BCBC вибрано точки KK та NN відповідно таким чином, що B1K⊥ABB_1K \perp AB та B1N⊥BCB_1N \perp BC. На відрізку A1C1A_1C_1 вибираємо таку точку MM, що BM=KNBM = KN. Доведіть, що KM⊥BCKM \perp BC.
10–11 класиТочка перетину висот
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-14-15-011

Функціональне рівняння на цілих числах з 2014

Знайдіть усі функції f:Z→Zf:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}, які для довільних m, n∈Zm,\ n\in\mathbb{Z} задовольняють умову f(f(m)+n)+f(m)=f(n)+f(3m)+2014.f(f(m)+n)+f(m)=f(n)+f(3m)+2014.
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-14-15-012

Рівні відрізки в центрально-симетричній множині точок

На сторонах опуклого kk-кутника вибрали mm точок таким чином, що множина PP з n=m+kn = m + k точок (kk вершин многокутника і mm вибраних точок) центрально-симетрична. Нехай S(P)S(P) позначає максимальну кількість відрізків однакової довжини в множині PP. Доведіть, що максимальне значення, якого може набувати величина S(P)S(P) при фіксованому nn, дорівнює 2n−32n - 3.
10–11 класиГеометричні конфігурації точок
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-14-15-013

Пари додатних чисел з рівністю для всіх n

Знайдіть усі пари додатних дійсних чисел aa і bb таких, що рівність [a[bn]]=n−1[a[bn]]=n-1 виконується для довільного натурального nn.
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-14-15-014

Найбільше число не сума чисел вигляду 2ⁿ − 2ᵏ

Задано натуральне число n⩾2n \geqslant 2. Нехай AnA_n позначає множину {2n−2k:k∈N, 0⩽k<n}.\{2^n-2^k : k\in\mathbb{N},\ 0\leqslant k<n\}. Знайдіть найбільше натуральне число, яке не можна подати у вигляді суми одного або більше (не обов’язково різних) чисел із множини AnA_n.
10–11 класиМетод математичної індукції
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-14-15-015

Буси для друзів і ворогів з найменшою кількістю кольорів

На деякому острові проживає nn аборигенів. Кожна пара аборигенів або товаришує, або ворогує між собою. Одного дня вони отримали завдання виготовити собі буси з різнокольорових самоцвітів кількістю бусин від 00 і більше таким чином, щоб: - у кожної пари товаришів у бусах були самоцвіти однакового кольору; - у кожної пари ворогів самоцвітів однакового кольору не було. Яка найменша кількість кольорів має бути, щоб це можна було зробити для довільних відносин між жителями острова?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-14-15-016

Коло на MN як на діаметрі і фіксована точка

Гострокутний трикутник ABCABC, у якому ∠A<∠B<∠C\angle A < \angle B < \angle C, вписано в коло ω\omega. На дузі BCBC кола ω\omega, яка не містить точку AA, вибрано довільним чином точку DD. Прямі CDCD і ABAB перетинаються в точці EE, а прямі BDBD і ACAC — у точці FF. Нехай O1O_1 — центр кола ω1\omega_1, яке знаходиться всередині трикутника EBDEBD та дотикається до прямих EBEB, EDED і до кола ω\omega. Аналогічно нехай O2O_2 — центр кола ω2\omega_2, яке лежить усередині трикутника FCDFCD й дотикається до прямих FCFC, FDFD і до кола ω\omega. Позначимо точку дотику ω1\omega_1 до прямої BEBE через NN, а точку дотику ω2\omega_2 до прямої CFCF — через MM. Доведіть, що кола, побудовані на MNMN як на діаметрі, проходять через фіксовану точку незалежно від вибору точки DD.
10–11 класиКола, що дотикаються
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-13-14-001

Сума коренів з умовою ab+bc+ca=1

Для довільних додатних aa, bb, cc таких, що ab+bc+ca=1ab+bc+ca=1, доведіть нерівність a2+b2+1c2+b2+c2+1a2+c2+a2+1b2⩾33.\sqrt{a^2+b^2+\frac{1}{c^2}}+\sqrt{b^2+c^2+\frac{1}{a^2}}+\sqrt{c^2+a^2+\frac{1}{b^2}}\geqslant\sqrt{33}.
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-13-14-002

Рядок або стовпчик з 10 кольорами на дошці

Клітинки квадратної дошки розміром 100×100100 \times 100 розфарбовано у 100100 різних кольорів. Кожну клітинку пофарбовано рівно одним кольором, і кожен колір використано рівно 100100 разів. Доведіть, що існує рядок або стовпчик, у якому наявні не менше ніж 1010 кольорів.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-13-14-003

Середини сторін, середина дуги та перетин MN і XY

Нехай ω\omega — описане коло трикутника ABCABC. Позначимо через MM і NN середини сторін ABAB і ACAC відповідно, TT — середина дуги BCBC кола ω\omega, яка не містить точку AA. Описані кола трикутників AMTAMT і ANTANT перетинають серединні перпендикуляри до сторін ACAC і ABAB у точках XX і YY відповідно. Припустимо, що точки XX і YY лежать усередині трикутника ABCABC. Точку перетину прямих MNMN і XYXY позначимо через KK. Доведіть, що KA=KTKA = KT.
10–11 класиСиметрія
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-13-14-004

Три різні числа з умовою подільності суми і добутку

Нехай задано просте число p>5p>5. Доведіть, що існують три різних числа xx, yy, zz із множини {1,2,…,p}\{1, 2, \ldots, p\} такі, що два числа x+y+zx+y+z і xyz−1xyz-1 одночасно діляться на pp.
10–11 класиКвадратичні лишки і символ Лежанд…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-13-14-005

Числа 2n²+1, 3n²+1 і 6n²+1 як повні квадрати

Доведіть, що не існує натуральних чисел nn таких, що числа 2n2+12n^2+1, 3n2+13n^2+1 і 6n2+16n^2+1 одночасно є повними квадратами.
10–11 класиМетод затискання між сусідніми зн…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-13-14-006

Максимальна кількість описаних чотирикутників у многокутнику

Задано натуральне число n⩾4n \geqslant 4. Розглянемо опуклий многокутник P=A1A2…An−1AnP = A_1A_2\ldots A_{n-1}A_n. Нехай fn(P)f_n(P) позначає кількість описаних чотирикутників вигляду AiAi+1Ai+2Ai+3A_iA_{i+1}A_{i+2}A_{i+3}, i=1,2,…,ni = 1, 2, \ldots, n (вважаємо, що An+1=A1A_{n+1} = A_1, An+2=A2A_{n+2} = A_2, An+3=A3A_{n+3} = A_3). Знайдіть максимальне значення, якого може набувати функція fnf_n.
10–11 класиВписане коло
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-13-14-007

Числа на межі дошки 2013×2013 і суми 3×3

Задано квадратну дошку розміром 2013×20132013 \times 2013. У кожну клітинку на межі дошки записано ціле число. Доведіть, що решту клітинок дошки можна заповнити цілими числами таким чином, що в довільному квадраті розміром 3×33 \times 3 сума чисел дорівнюватиме нулеві.
10–11 класиКонструкція через періодичність
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-13-14-008

Пари многочленів з різницею дробів 1/x(x+α)

Задано дійсне число α\alpha. Знайдіть усі пари таких многочленів (P,Q)(P, Q) з дійсними коефіцієнтами, що рівність P(x)Q(x)−P(x+1)Q(x+1)=1x(x+α)\frac{P(x)}{Q(x)} - \frac{P(x+1)}{Q(x+1)} = \frac{1}{x(x+\alpha)} виконується для нескінченної кількості x∈Rx \in \mathbb{R}.
10–11 класиРаціональні функції
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-13-14-009

Числа n-гарні для n ≥ 6

Натуральне число NN назвемо nn-гарним, якщо воно задовольняє умови: - NN має не менше ніж nn різних простих дільників; - існують nn чисел x1=1<x2<…<xnx_1 = 1 < x_2 < \ldots < x_n, які є дільниками числа NN і сума яких дорівнює NN. Доведіть, що для всіх n⩾6n \geqslant 6 існують nn-гарні числа.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-13-14-010

Гра в дільники числа 100! з НСД 1

Двоє грають у таку гру: вони по черзі записують на дошці дільники числа 100!100!, не повторюючи числа, що вже були записані на дошці. Програє той гравець, після ходу якого найбільший спільний дільник усіх чисел, що записані на дошці, буде дорівнювати 11. Хто з гравців переможе при правильній грі?
10–11 класиКласичні ігри

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.