Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

132 задачі
Північний математичний конкурс (NMC)
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2013-001

Послідовність із цілою частиною та повними квадратами

Нехай (an)n≥1\left(a_{n}\right)_{n \geq 1} — послідовність з a1=1a_{1}=1 і an+1=⌊an+an+12⌋a_{n+1}=\left\lfloor a_{n}+\sqrt{a_{n}}+\frac{1}{2}\right\rfloor для всіх n≥1n \geq 1, де ⌊x⌋\lfloor x\rfloor позначає найбільше ціле число, яке не перевищує xx. Знайдіть усі n≤2013n \leq 2013, для яких ana_{n} є повним квадратом.
10–11 класиМетод затискання між сусідніми зн…
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2013-002

Арифметична прогресія очок футбольного турніру

У футбольному турнірі беруть участь nn команд, причому n≥4n \geq 4, і кожна пара команд зустрічається рівно один раз. Припустимо, що наприкінці турніру підсумкові очки утворюють арифметичну прогресію, де кожна команда набирає на 1 очко більше, ніж наступна команда в турнірній таблиці. Визначте максимально можливу кількість очок команди з найменшою кількістю очок, за звичайних футбольних правил підрахунку очок (переможець гри отримує 3 очки, переможений — 0 очок, а в разі нічиєї обидві команди отримують по 1 очку).
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2013-003

Перелічення додатних раціональних чисел за рекурентним співвідношенням

Означимо послідовність (nk)k≥0\left(n_{k}\right)_{k \geq 0} рівностями n0=n1=1n_{0}=n_{1}=1, а також n2k=nk+nk−1n_{2k}=n_{k}+n_{k-1} і n2k+1=nkn_{2k+1}=n_{k} при k≥1k \geq 1. Нехай далі qk=nk/nk−1q_{k}=n_{k} / n_{k-1} для кожного k≥1k \geq 1. Доведіть, що кожне додатне раціональне число трапляється в послідовності (qk)k≥1\left(q_{k}\right)_{k \geq 1} рівно один раз.
10–11 класиМетод математичної індукції
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2013-004

Відбиття на одному колі і висота трикутника

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, а HH — точка в його внутрішності. Нехай відбиття точки HH відносно сторін ABAB і ACAC позначено HcH_{c} і HbH_{b} відповідно, а відбиття точки HH відносно середин цих самих сторін позначено Hc′H_{c}^{\prime} і Hb′H_{b}^{\prime} відповідно. Доведіть, що чотири точки Hb,Hb′,HcH_{b}, H_{b}^{\prime}, H_{c} і Hc′H_{c}^{\prime} лежать на одному колі тоді й лише тоді, коли принаймні дві з них збігаються або HH лежить на висоті з AA в трикутнику ABCABC.
10–11 класиГомотерія і подібність
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2012-001

Ціле значення виразу за квадратичної умови

Дійсні числа aa, bb, cc такі, що a2+b2=2c2a^{2} + b^{2} = 2c^{2}, а також a≠ba \neq b, c≠−ac \neq -a, c≠−bc \neq -b. Доведіть, що (a+b+2c)(2a2−b2−c2)(a−b)(a+c)(b+c)\frac{(a+b+2c)\left(2a^{2}-b^{2}-c^{2}\right)}{(a-b)(a+c)(b+c)} є цілим числом.
10–11 класиРозкладання на множники і розкрит…
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2012-002

Коло, дотичне до паралелі через середину дуги

Нехай дано трикутник ABCABC, нехай PP — точка на описаному колі трикутника, що є серединою дуги BCBC, яка не містить AA. Пряму ll проведено через точку PP так, щоб ll була паралельною до ABAB. Позначимо через kk коло, яке проходить через точку BB і дотикається до прямої ll у точці PP. Нехай QQ — друга точка перетину кола kk з прямою ABAB (якщо другої точки перетину немає, покладемо Q=BQ = B). Доведіть, що AQ=ACAQ = AC.
10–11 класиТеорема про тризуб2 розв’язки
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2012-003

Цілочисельний набір із заданими сумою і добутком

Знайдіть найменше натуральне число nn, для якого існують nn цілих чисел x1,x2,…,xnx_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} (не обов'язково різних) з 1≤xk≤n,1≤k≤n1 \leq x_{k} \leq n, 1 \leq k \leq n, таких, що x1+x2+⋯+xn=n(n+1)2, і x1x2⋯xn=n!x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=\frac{n(n+1)}{2}, \quad \text{ і } \quad x_{1} x_{2} \cdots x_{n}=n! але {x1,x2,…,xn}≠{1,2,…,n}\left\{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right\} \neq\{1,2, \ldots, n\}.
10–11 класиОсновна теорема арифметики
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2012-004

Зростання послідовності розщепленням і стиранням нуля

На дошці написано число 11. Після цього послідовність чисел утворюється так: на кожному кроці кожне число aa на дошці замінюється числами a−1a-1 і a+1a+1; якщо з'являється число 00, його одразу стирають; якщо число трапляється більше ніж один раз, усі його входження залишають на дошці. Таким чином, на дошці буде 11 після 00 кроків; 22 після 11 кроку; 1,31, 3 після 22 кроків; 2,2,42, 2, 4 після 33 кроків і так далі. Скільки чисел буде на дошці після nn кроків?
10–11 класиБієкції2 розв’язки
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2011-001

Сума числа і числа з оберненим порядком цифр

Нехай a0,a1,…,a1000a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{1000} — цифри. Чи може сума 1001-цифрових чисел a0a1…a1000a_{0} a_{1} \ldots a_{1000} та a1000a999…a0a_{1000} a_{999} \ldots a_{0} мати лише непарні цифри?
10–11 класиПарність та непарність
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2011-003

Сума за взаємно простими парами з обмеженням

Доведіть, що для будь-якого цілого n≥2n \geq 2 сума дробів 1ab\frac{1}{a b}, де aa і bb — взаємно прості натуральні числа такі, що a<b≤na < b \leq n і a+b>na + b > n, дорівнює 12\frac{1}{2}.
10–11 класиСуми послідовностей
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2011-002

Рівнобедрений трикутник з паралельними прямими

У трикутнику ABCA B C припустимо, що AB=ACA B = A C, і нехай DD та EE — точки на продовженні відрізка BAB A за точку AA та на відрізку BCB C відповідно, такі, що прямі CDC D та AEA E паралельні. Доведіть, що CD≥4hBCCEC D \geq \frac{4 h}{B C} C E, де hh — висота з вершини AA у трикутнику ABCA B C. Коли досягається рівність?
10–11 класиНерівність Коші
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2010-004

Суми та різниці чисел з нулів і одиниць

Натуральне число називається гарним, якщо його звичайний десятковий запис складається лише з нулів та одиниць. Знайдіть найменше натуральне число kk таке, що кожне натуральне число nn можна подати у вигляді n=a1±a2±a3±⋯±akn = a_{1} \pm a_{2} \pm a_{3} \pm \cdots \pm a_{k}, де a1,…,aka_{1}, \ldots, a_{k} — гарні числа.
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2010-003

Кнопки і лампочки: встановлення відповідності

Перед Лаурою 20102010 лампочок, з'єднаних із 20102010 кнопками. Для кожної кнопки вона хоче знати відповідну лампочку. Для цього вона спостерігає, які лампочки світяться, коли Річард натискає певний набір кнопок. (Не натискати нічого — теж можливий набір.) Річард завжди натискає кнопки одночасно, тож лампочки теж світяться одночасно. a) Якщо Річард вибирає кнопки, які треба натискати, яка найбільша кількість різних комбінацій кнопок, які він може натиснути, доки Лаура не зможе правильно зіставити кнопки з лампочками? b) Якщо ж Лаура вибиратиме комбінації кнопок, які треба натискати, яка найменша кількість спроб, яку їй доведеться зробити, доки вона не зможе правильно зіставити кнопки з лампочками?
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2010-001

Мультиплікативна неспадна функція

Функція f:Z→Z+f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}_{+}, де Z+\mathbb{Z}_{+} — множина натуральних чисел, є неспадною і задовольняє f(mn)=f(m)f(n)f(m n) = f(m) f(n) для всіх взаємно простих натуральних чисел mm та nn. Доведіть, що f(8)f(13)≥(f(10))2f(8) f(13) \geq (f(10))^{2}.
10–11 класиВластивості монотонності або обме…
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2010-002

Перетини трьох кіл і відношення довжин

Три кола ΓA\Gamma_{A}, ΓB\Gamma_{B} і ΓC\Gamma_{C} мають спільну точку перетину OO. Другою спільною точкою кіл ΓA\Gamma_{A} і ΓB\Gamma_{B} є CC, кіл ΓA\Gamma_{A} і ΓC\Gamma_{C} — BB, а кіл ΓC\Gamma_{C} і ΓB\Gamma_{B} — AA. Пряма AOA O перетинає коло ΓC\Gamma_{C} у точці X≠OX \neq O. Аналогічно пряма BOB O перетинає коло ΓB\Gamma_{B} у точці Y≠OY \neq O, а пряма COC O перетинає коло ΓA\Gamma_{A} у точці Z≠OZ \neq O. Доведіть, що ∣AY∣∣BZ∣∣CX∣∣AZ∣∣BX∣∣CY∣=1\frac{|A Y||B Z||C X|}{|A Z||B X||C Y|}=1
10–11 класиЦентральні і вписані кути2 розв’язки
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2009-004

Матчі турніру для визначення трійки найкращих

У турнірі беруть участь 32 учасники. Жодні два з них не є рівними за силою гри, і в особистій зустрічі завжди перемагає сильніший. Доведіть, що володарів золотої, срібної та бронзової медалей можна визначити за 39 матчів.
10–11 класиРетроспективний алгоритм
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2009-001

Відношення площ від паралелей через точку

У довільному трикутнику вибрано точку PP. Через PP проведено три прямі, паралельні сторонам трикутника. Ці прямі ділять трикутник на три менші трикутники і три паралелограми. Нехай ff — відношення сумарної площі трьох менших трикутників до площі заданого трикутника. Доведіть, що f≥13f \geq \frac{1}{3}, і визначте ті точки PP, для яких f=13f=\frac{1}{3}.
10–11 класиПлощі подібних фігур
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2009-003

Заміна чисел на суму та добуток

На дошці написано цілі числа 1,2,3,41, 2, 3, 4 і 55. Дозволено стерти два цілі числа aa і bb та замінити їх на a+ba+b і aba b. Чи можливо, повторюючи цю процедуру, досягти ситуації, коли три з п’яти цілих чисел на дошці дорівнюють 20092009?
10–11 класиПарність і непарність
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2009-002

Вільний член у розкладі многочлена на множники

На вицвілому аркуші паперу можна, доклавши зусиль, розібрати таке: (x2+x+a)(x15−…)=x17+x13+x5−90x4+x−90\left(x^{2}+x+a\right)\left(x^{15}-\ldots\right)=x^{17}+x^{13}+x^{5}-90 x^{4}+x-90 Деякі частини втрачено: частково вільний член першого множника в лівій частині, частково основна частина другого множника. Можна було б відновити многочлен, що утворює другий множник, але ми обмежимося запитанням: чому дорівнює значення вільного члена aa? Ми припускаємо, що всі многочлени у наведеному вище твердженні мають лише цілі коефіцієнти.
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2008-002

Різниця кубів послідовних чисел як квадрат

Різниця кубів двох послідовних натуральних чисел дорівнює квадрату n2n^{2}, де nn — натуральне число. Доведіть, що nn є сумою двох квадратів.
10–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2008-001

Мінімальна кількість домінуючих пар на колі

Нехай n≥3n \geq 3 людей з різними іменами сидять навколо круглого столу. Назвемо довільну невпорядковану пару з них, скажімо MM і NN, домінуючою, якщо (i) MM і NN сидять не на сусідніх місцях, і (ii) на одній (або обох) з дуг, що з’єднують MM і NN вздовж краю столу, всі люди мають імена, які йдуть за алфавітом після імен MM і NN. Визначте мінімальну кількість домінуючих пар.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2007-002

Прямокутники, що покривають сторони трикутника

Дано трикутник, пряму та три прямокутники, у кожного з яких одна сторона паралельна даній прямій, причому прямокутники повністю покривають сторони трикутника. Доведіть, що прямокутники повністю покривають і внутрішність трикутника.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2007-001

Квадратне діофантове рівняння

Знайдіть один розв'язок у натуральних числах рівняння x2−2x−2007y2=0x^{2} - 2x - 2007y^{2} = 0
10–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2007-004

Дотичні й січна: відношення відрізків

Пряма, що проходить через точку AA, перетинає коло у двох точках, BB і CC, так, що точка BB лежить між AA і CC. З точки AA проведено дві дотичні до кола, які дотикаються до кола в точках SS і TT. Нехай PP — точка перетину прямих STS T і ACA C. Доведіть, що AP/PC=2⋅AB/BCA P / P C = 2 \cdot A B / B C.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2007-003

Гра з розкладанням на множники та стиранням однакових чисел

На дошці написано число 10200710^{2007}. Анна і Беріт грають у гру, у якій гравець у свій хід виконує одну з двох операцій: (i) Замінити число xx на дошці двома цілими числами aa і bb, більшими за 11, такими, що x=abx = ab; (ii) Витерти одне або обидва з двох однакових чисел на дошці. Гравчиня, яка не може зробити свій хід, програє гру. Хто має виграшну стратегію?
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.