Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

5 945 задач
Складністьолімпіадний, 12–16
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-23-24-003

Найменша різниця прогресії з послідовних добутків

Нехай a1, a2, …, an; b1, b2, …, bna_1,\ a_2,\ \ldots,\ a_n;\ b_1,\ b_2,\ \ldots,\ b_n — такі натуральні числа, що наведені n+1n+1 добуток a1a2…an, b1a2…an, b1b2…an, …, b1b2…bna_1a_2\ldots a_n,\ b_1a_2\ldots a_n,\ b_1b_2\ldots a_n,\ \ldots,\ b_1b_2\ldots b_n утворюють у вказаному порядку зростаючу арифметичну прогресію. Знайдіть найменше можливе натуральне число, яке може бути різницею такої прогресії.
10–11 класиНСД та НСК
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-23-24-004

Смужка з числами для квадрата з умовою подільності

Нехай дано натуральне число n⩾2n \geqslant 2. У Петрика є прямокутна смужка завбільшки 1×n21 \times n^2, що складається з n2n^2 одиничних квадратиків, занумерованих зліва направо числами 1,2,…,n21, 2, \ldots, n^2. Петрик хоче розрізати цю смужку на декілька шматочків, що складаються із сусідніх одиничних квадратиків, у такий спосіб, щоб ці шматочки можна було перенести без перегортань та обертань у квадрат n×nn \times n. При цьому в утвореного числового квадрата має справджуватися така властивість: якщо на перетині ii-го рядка та jj-го стовпчика у квадраті записане число ai,ja_{i,j}, то число ai,j−(i+j−1)a_{i,j} - (i+j-1) має ділитися націло на nn. З’ясуйте, на яку найменшу кількість шматочків Петрик може розрізати свою смужку.
10–11 класиШляхи на графах
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-23-24-006

Найменша гарантована невдоволеність ста котів

Господарка втримує 100100 котів та має 100100 пакетів корму, маса кожного пакета — 11 кг. Для кожного із цих котів є своя миска, яка розрахована на певну масу корму (ця маса не обов'язково ціла величина), причому їхня сумарна місткість дорівнює 100100 кг. Коли кіт з мискою, що розрахована на mm кг, отримує MM кг корму (MM може бути більше за mm), то назвемо його рівнем невдоволеності величину ∣m−M∣|m-M|. Яку найменшу сумарну невдоволеність може гарантовано забезпечити господарка, використавши всі пакети, незалежно від місткості мисок її котів, якщо кожному коту вона може дати деяку цілу (можливо, нульову) кількість пакетів корму?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-23-24-007

Максимальна довжина послідовності без нульової суми зі знаками

Визначте максимальну довжину LL послідовності натуральних чисел a1,a2,…,aLa_1, a_2, \ldots, a_L, що задовольняє такі дві властивості: - кожний член послідовності не перевищує 220232^{2023}; - не існує такої підпослідовності ai,ai+1,…,aj−1,aja_i, a_{i+1}, \ldots, a_{j-1}, a_j, де 1⩽i⩽j⩽L1 \leqslant i \leqslant j \leqslant L, для якої можна вибрати знаки si,si+1,…,sj−1,sj∈{−1,+1}s_i, s_{i+1}, \ldots, s_{j-1}, s_j \in \{-1, +1\}, щоб справджувалася рівність siai+si+1ai+1+…+sj−1aj−1+sjaj=0s_i a_i + s_{i+1} a_{i+1} + \ldots + s_{j-1} a_{j-1} + s_j a_j = 0.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-23-24-008

Два кола, хорди-дотичні та коло ABZ до PQ

Нехай кола γ\gamma та ω\omega перетинаються в точках AA та BB і нехай DD — довільна точка на колі γ\gamma. Точки PP та QQ лежать на колі γ\gamma так, що хорди DPDP і DQDQ дотикаються до кола ω\omega в точках XX та YY відповідно. Пряма XYXY перетинає пряму PQPQ в точці ZZ. Доведіть, що описане коло трикутника ABZABZ дотикається до прямої PQPQ.
10–11 класиІнверсія
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-23-24-011

Паралельні сторони двох трикутників зі спільними колами

Трикутники A1B1C1A_1B_1C_1 та A2B2C2A_2B_2C_2 мають спільне описане коло із центром OO та спільне вписане коло, що дотикається до сторін B1C1B_1C_1 та B2C2B_2C_2 в точках T1T_1 і T2T_2 відповідно. Доведіть, що коли B1C1∥B2C2B_1C_1 \parallel B_2C_2 (ці прямі не збігаються), то прямі A1T2A_1T_2 та A2T1A_2T_1 перетинаються на описаному колі трикутника A1A2OA_1A_2O.
10–11 класиЗовнівписане коло
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-23-24-001

Монети на дошці m×n та ходи у квадратах 2×2

Нехай дано натуральні числа mm та nn, більші від 11. На кожному квадратику 1×11 \times 1 дошки розміром m×nm \times n лежить монета реверсом догори. Рух складається з таких кроків: - вибираємо деякий квадрат 2×22 \times 2 дошки; - перевертаємо на зворотний бік монети, що лежать у лівому верхньому та правому нижньому квадратиках; - перевертаємо на зворотний бік монету, що лежить у правому верхньому або лівому нижньому квадратику. Визначте всі пари чисел (m,n)(m, n), для яких за скінченну кількість рухів можна перевернути всі монети аверсом догори. Примітка. Реверс — зворотний бік монети або медалі. Аверс — лицьовий, головний бік монет і медалей, протилежний реверсу.
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-23-24-003

Функції на додатних числах з нерівністю

Знайдіть усі такі функції f:(0,+∞)→(0,+∞)f:(0,+\infty)\to(0,+\infty), що для довільних додатних xx, yy справджується нерівність x(f(x)+f(y))⩾(f(f(x))+y)f(y).x\bigl(f(x)+f(y)\bigr)\geqslant\bigl(f(f(x))+y\bigr)f(y).
10–11 класиЦиклічні підстановки (метод орбіт)
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-23-24-004

Взаємно прості числа по колу, що ділять суми сусідів

Аня хоче розставити по колу n⩾3n \geqslant 3 попарно різних натуральних чисел, які в сукупності взаємно прості. Вона прагне досягти того, щоб кожне число ділило суму двох сусідніх. Доведіть, що Аня має не більше ніж (n−1)!2\dfrac{(n-1)!}{2} способів зробити це. Примітка. Способи, що відрізняються один від одного поворотом чи симетрією, уважаємо однаковими.
10–11 класиМетод математичної індукції
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-23-24-005

Гра з вибором коефіцієнтів многочлена на дійсний корінь

Зафіксуйте натуральне число dd. Петрик і Василь грають у таку гру, використовуючи поліном виду P(x)=a0+a1x+…+a2d−1x2d−1+x2d.P(x)=a_0+a_1x+\ldots+a_{2d-1}x^{2d-1}+x^{2d}. Петрик робить хід першим, вони по черзі вибирають додатне число як значення одного з коефіцієнтів a0,a1,…,a2d−1a_0, a_1, \ldots, a_{2d-1}. Після того як вибрано значення певного коефіцієнта, його вже не можна вибирати далі в ході гри. Гра триває 2d2d раунди, поки Василь не визначить останній коефіцієнт. Петрик виграє, якщо P(x)=0P(x)=0 для деякого дійсного числа xx, в іншому разі перемагає Василь. З’ясуйте, чи має хтось із гравців виграшну стратегію, за умови, що кожен хоче перемогти.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-23-24-008

Зростаюча послідовність з умовою подільності подвоєних сум

Послідовність натуральних чисел a1<a2<a3<…a_1 < a_2 < a_3 < \ldots задовольняє умову: для кожного натурального kk число ak+1a_{k+1} ділить вираз 2(a1+a2+…+ak)2(a_1 + a_2 + \ldots + a_k). Припустимо, що існує нескінченно багато простих чисел pp, для яких існує такий індекс kk, що ak⋮pa_k \vdots p. Доведіть, що для довільного натурального nn існує такий індекс kk, що ak⋮na_k \vdots n.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-23-24-009

Трикутник з симетричних вершин і пряма через його центри

Нехай ABCABC — гострокутний різносторонній трикутник з ортоцентром у точці HH. Нехай lal_a — пряма, що проходить через точку BcB_c, яка симетрична точці BB відносно прямої CHCH, та через точку CbC_b, яка симетрична точці CC відносно прямої BHBH. Лінії lbl_b і lcl_c визначаємо аналогічним чином. Прямі lal_a, lbl_b і lcl_c визначають трикутник TT. Доведіть, що ортоцентр трикутника TT, центр описаного кола трикутника TT і точка HH лежать на одній прямій.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-23-24-010

Рівність відстаней до AB і CD у вписаному чотирикутнику

Усередині вписаного різностороннього чотирикутника ABCDABCD вибрано точку PP так, що ∠APB=∠C+∠D2\angle APB = \frac{\angle C + \angle D}{2} та ∠CPD=∠A+∠B2\angle CPD = \frac{\angle A + \angle B}{2}. Доведіть, що відстані від точки PP до сторін ABAB і CDCD рівні.
10–11 класиРадикальна вісь
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-23-24-011

Гарні функції та рівність f(a, a) = a

Дано натуральне число nn, нехай S={1,2,…,n}S=\{1, 2, \ldots, n\}. Назвемо функцію f(x,y) ⁣:S×S→Sf(x, y)\colon S\times S\to S, що відображає два цілих числа від 11 до nn в число від 11 до nn, гарною, якщо: f(a,b)=f(b,a) ∀a,b∈S;f(a, b)=f(b, a)\ \forall a, b\in S; f(a,f(a,b))=b ∀a,b∈S.f(a, f(a, b))=b\ \forall a, b\in S. При яких nn для кожної гарної функції ff знайдеться таке a∈Sa\in S, що f(a,a)=af(a, a)=a?
10–11 класиПідрахунок двома способами
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-22-23-002

Точки X і Y на колах ABD і ACE

У гострокутному трикутнику ABCABC відрізок AFAF — висота, а PP — точка на відрізку AFAF. Прямі, що проходять через точку PP паралельно сторонам ACAC та ABAB, перетинають сторону BCBC у точках DD та EE відповідно. Точки X≠AX \ne A та Y≠AY \ne A вибрано відповідно на описаних колах трикутників ABDABD та ACEACE так, що DA=DXDA = DX та EA=EYEA = EY. Доведіть, що точки BB, CC, XX, YY лежать на одному колі.
10–11 класиРадикальна вісь
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-22-23-003

Найменша кількість непорожніх купок камінців

Дано натуральне число nn. Ми починаємо з nn купок камінців, коли в кожній купці є по одному камінцю. За одну операцію можна вибрати довільні дві непорожні купки, узяти з них однакову кількість камінців і сформувати з них окрему купку. Для кожного натурального nn знайдіть найменшу можливу кількість непорожніх купок, яку можна отримати за скінченну кількість таких операцій.
10–11 класиІнші інваріанти
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-22-23-004

Зростаючі числа з різницями-степенями числа r

Знайдіть усі натуральні числа n⩾2n \geqslant 2, для яких існують nn дійсних чисел a1<a2<…<ana_1 < a_2 < \ldots < a_n та дійсне число r>0r > 0 таких, що 12n(n−1)\frac{1}{2}n(n-1) різниць aj−aia_j - a_i, 1⩽i<j⩽n1 \leqslant i < j \leqslant n, дорівнюють у якомусь порядку числам r1,r2,…,r12n(n−1)r^1, r^2, \ldots, r^{\frac{1}{2}n(n-1)}.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-22-23-005

Максимальна сума відстаней пар на дошці 2n на 2n

На дошці розміром 2n×2n2n \times 2n у кожній клітинці стоїть стілець, і 2n22n^2 пар осіб хочуть зайняти місця. Назвемо відстанню для пари суму різниць номерів стовпців та номерів рядків клітинок, де сидять люди із цієї пари. Наприклад, якщо пара зайняла місця (3,3)(3, 3) та (2,5)(2, 5), то відстань для цієї пари дорівнює ∣3−2∣+∣3−5∣=3|3-2|+|3-5|=3. Якої може бути максимальна сума відстаней для всіх пар?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-22-23-006

Дві послідовності з умовами на суму та добуток

Дано нескінченні послідовності дійсних чисел a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \ldots та b1,b2,b3,…b_1, b_2, b_3, \ldots такі, що an+1+bn+1=an+bn2a_{n+1} + b_{n+1} = \dfrac{a_n + b_n}{2} та an+1bn+1=anbna_{n+1}b_{n+1} = \sqrt{a_nb_n} для всіх n⩾1n \geqslant 1. Нехай b2022=1b_{2022} = 1 та a1>0a_1 > 0. Знайдіть усі можливі значення числа a1a_1.
10–11 класиНерівність Коші
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-22-23-007

Найбільший степінь числа a серед членів послідовності

Нехай aa, d>1d > 1 — взаємно прості натуральні числа. Визначимо послідовність (xk)(x_k) таким чином: xk+1={xka,якщо xk⋮a,xk+d,якщо інакше,x_{k+1} = \begin{cases} \dfrac{x_k}{a}, & \text{якщо } x_k \vdots a, \\ x_k + d, & \text{якщо інакше}, \end{cases} де x1=1x_1 = 1, k∈Nk \in \mathbb{N}. Знайдіть найбільше натуральне число nn, для якого існує такий індекс kk, що число xkx_k ділиться на ana^n, або доведіть, що такого nn не існує.
10–11 класиСтепені за модулем. Періодичність…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-22-23-010

Гарантований модуль суми підпослідовності з кроком до двох

Назвемо ±1\pm 1-послідовністю послідовність із 20222022 чисел a1,a2,…,a2022a_1, a_2, \ldots, a_{2022}, кожне з яких рівне 11 чи −1-1. Знайдіть найбільше число CC таке, що для будь-якої ±1\pm 1-послідовності існують натуральне kk та індекси 1⩽t1<t2<…<tk⩽20221 \leqslant t_1 < t_2 < \ldots < t_k \leqslant 2022 такі, що ti+1−ti⩽2t_{i+1} - t_i \leqslant 2 для всіх i=1,k−1‾i = \overline{1, k-1}, а також ∣∑i=1kati∣⩾C.\left|\sum_{i=1}^{k} a_{t_i}\right| \geqslant C.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-22-23-011

Дві паралельні січні і кола трикутників з перпендикулярів

Нехай у деякому трикутнику ABCABC прямі l1,l2l_1, l_2 — паралельні. Для i=1,2i = 1, 2 нехай пряма lil_i перетинає прямі BCBC, CACA, ABAB у точках Xi,Yi,ZiX_i, Y_i, Z_i відповідно. Прямі, що проходять через точку XiX_i перпендикулярно до прямої BCBC, через точку YiY_i — перпендикулярно до прямої CACA та через точку ZiZ_i — перпендикулярно до прямої ABAB, утворюють невироджений трикутник Δi\Delta_i. Доведіть, що кола, описані навколо невироджених трикутників Δ1\Delta_1 і Δ2\Delta_2, дотикаються один до одного.
10–11 класиГомотерія і подібність
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-22-23-001

Найменша множина чисел з сумами k інших

Задано ціле число k⩾2k \geqslant 2. Знайдіть найменше ціле число n⩾k+1n \geqslant k+1, що має таку властивість: існує множина з nn попарно різних дійсних чисел, у якій кожний з її елементів може бути поданий як сума kk інших попарно різних елементів.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-22-23-002

Симетрична середина BC на EF та AM до AO

У гострокутному нерівнобедреному трикутнику ABCABC провели висоти BEBE і CFCF. Позначимо через MM та OO середину сторони BCBC та центр описаного кола трикутника ABCABC відповідно. Відомо, що точка, симетрична точці MM відносно точки OO, лежить на прямій EFEF. Знайдіть усі можливі значення відношення AMAO\dfrac{AM}{AO}.
10–11 класиТочка перетину висот
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-22-23-003

Многокутник через усі вузли зі сторонами 1 чи 3

Для натуральних чисел m,n⩾2m, n \geqslant 2 нехай Sm,nS_{m,n} позначає множину вузлів прямокутної дошки розміром (m−1)×(n−1)(m-1) \times (n-1) (формально Sm,n={(i,j):i∈{1,2,…,m},j∈{1,2,…,n}}S_{m,n} = \{(i, j) : i \in \{1, 2, \ldots, m\}, j \in \{1, 2, \ldots, n\}\}). Знайдіть усі пари чисел (m,n)(m, n), для яких існує полігон PP такий, що: - усі вершини полігона PP є вузлами множини Sm,nS_{m,n}; - усі вузли множини Sm,nS_{m,n} лежать на межі полігона PP; - усі внутрішні кути полігона PP дорівнюють 90∘90^\circ або 270∘270^\circ; - довжини усіх сторін полігона PP дорівнюють 11 чи 33.
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.