Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

5 945 задач
Складністьолімпіадний, 12–16
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-045

Різниця добутків за модулем простого числа

Нехай p>7p > 7 — просте число, а A⊆{0,1,…,p−1}A \subseteq \{0, 1, \dots, p-1\} — множина, що містить принаймні p−12\frac{p-1}{2} елементів. Доведіть, що для кожного цілого rr існують елементи a,b,c,d∈Aa, b, c, d \in A такі, що ab−cd≡r(modp).ab - cd \equiv r \pmod{p}.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-020

Коло через середину бісектриси

У гострокутному трикутнику △ABC\triangle ABC з ∣AB∣≠∣AC∣|AB| \neq |AC| бісектриса кута ∠BAC\angle BAC перетинає сторону BCBC та ⊙(ABC)\odot(ABC) у точках DD і MAM_A відповідно. Нехай точки XX і YY — основи перпендикулярів з MAM_A на сторони ABAB і ACAC відповідно. Дотична до ⊙(BXMA)\odot(BXM_A) у точці XX і дотична до ⊙(CYMA)\odot(CYM_A) у точці YY перетинаються в точці TT. Припустимо, що прямі ATAT і BCBC перетинаються в точці SS. Доведіть, що ⊙(TSMA)\odot(TSM_A) проходить через середину відрізка ADAD.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-046

Сума цифр степеневої вежі з двійок і показника 2023

Доведіть, що сума десяткових цифр числа 22220232^{2^{2^{2023}}} більша за 20232023.
10–11 класиМіркування за модулем
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-034

Області від перетину рівносторонніх трикутників

Евклідову площину розбито на кілька попарно неперетинних обмежених областей (які далі не поділяються) за допомогою nn рівносторонніх трикутників зі стороною 11, що перетинаються. Знайдіть найменше значення nn таке, що кількість утворених при цьому частин може бути принаймні 20232023. На рисунку показано чотири трикутники, що перетинаються.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-035

Періодичність чисел Стірлінга за простим модулем

Для натуральних чисел nn, kk нехай S(n,k)S(n, k) — кількість способів розбити множину з nn елементів на kk непорожніх частин. Наприклад, S(3,2)=3S(3, 2) = 3, бо є три способи розбити множину {1,2,3}\{1, 2, 3\} на дві частини. Інший приклад: S(4,2)=7S(4, 2) = 7. Нехай pp — просте число, а mm, nn — натуральні числа такі, що p−1∣m−np-1 \mid m-n. Доведіть, що S(m,i)≡S(n,i)(modp)S(m, i) \equiv S(n, i) \pmod{p} для всіх i=1,2,…,p−1i = 1, 2, \dots, p-1.
10–11 класиФормула включення-виключення
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-021

Перетини дотичних та відношення кіл

У гострокутному різносторонньому трикутнику ABCABC точки P,QP, Q лежать на менших дугах AB^\widehat{AB} та AC^\widehat{AC} відповідно і є точками перетину середньої лінії, паралельної стороні BCBC, з описаним колом трикутника ABCABC. Точки XX та YY — точки перетину серединних перпендикулярів до відрізків ABAB та ACAC відповідно з дотичною до ⊙(ABC)\odot(ABC) у точці AA. Нехай T≠AT \neq A — точка перетину кіл ⊙(PXA)\odot(PXA) та ⊙(QYA)\odot(QYA). Якщо ADAD — висота в трикутнику ABCABC, доведіть, що ∣TX∣∣TY∣=∣DB∣∣DC∣\frac{|TX|}{|TY|} = \frac{|DB|}{|DC|}
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-023

Дотичні та рівнобедрений трикутник на колах

Нехай ω1\omega_1 і ω2\omega_2 — кола без спільних точок. Точки MM і NN вибрано на колах ω1\omega_1 і ω2\omega_2 відповідно так, що дотична до кола ω1\omega_1 у точці MM і дотична до кола ω2\omega_2 у точці NN перетинаються в точці PP, а △PMN\triangle PMN — рівнобедрений трикутник із вершиною PP. Кола ω1\omega_1 і ω2\omega_2 перетинають відрізок MNMN вдруге в точках AA і BB відповідно. Пряма PAPA перетинає коло ω1\omega_1 вдруге в точці CC, а пряма PBPB перетинає коло ω2\omega_2 вдруге в точці DD. Доведіть, що ∠BCN=∠ADM\angle BCN = \angle ADM.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Математичний матч Чехія–Австрія–Польща–СловаччинаCAPS-2023-001

Найменша кількість ланок ламаної в n-кутнику

Для цілого числа n⩾3n \geqslant 3 знайдіть найменше натуральне число kk таке, що будь-які дві точки в будь-якому nn-кутнику (або на його межі) на площині можна сполучити ламаною, яка складається з kk ланок та міститься в nn-кутнику (включаючи його межу).
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Математичний матч Чехія–Австрія–Польща–СловаччинаCAPS-2023-002

Нерівність для суми квадратів і малі члени

Дійсні числа a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n такі, що для кожного k=1,2,…,nk = 1, 2, \ldots, n справджується така нерівність: n⋅ak⩾∑i=1kai2.n \cdot a_k \geqslant \sum_{i=1}^{k} a_i^2. Доведіть, що існує принаймні n10\frac{n}{10} індексів kk таких, що ak⩽1000a_k \leqslant 1000.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Математичний матч Чехія–Австрія–Польща–СловаччинаCAPS-2023-004

Сума цілих частин кратних p, q, r дорівнює n

Нехай pp, qq і rr — це додатні дійсні числа такі, що рівність [pn]+[qn]+[rn]=n[pn] + [qn] + [rn] = n справджується для нескінченної кількості натуральних nn. а) Доведіть, що числа pp, qq і rr є раціональними. б) Знайдіть кількість натуральних чисел cc, для яких існують натуральні числа aa та bb такі, що рівність [na]+[nb]+[nc]=n\left[\frac{n}{a}\right] + \left[\frac{n}{b}\right] + \left[\frac{n}{c}\right] = n справджується для нескінченної кількості натуральних nn.
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2023-001

Додатні числа і вирази з тим самим упорядкуванням

Задано n⩾3n \geqslant 3 додатних чисел a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n. Для кожного 1⩽i⩽n1 \leqslant i \leqslant n покладемо bi=ai−1+ai+1aib_i = \dfrac{a_{i-1} + a_{i+1}}{a_i} (тут уважаємо, що a0=ana_0 = a_n та a1=an+1a_1 = a_{n+1}). Припустимо, що для всіх ii та jj від 11 до nn справджується твердження ai⩽aja_i \leqslant a_j тоді й тільки тоді, коли bi⩽bjb_i \leqslant b_j.
10–11 класиНерівність Коші
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2023-002

Пряма KL через ортоцентр гострокутного трикутника

Задано гострокутний трикутник ABCABC. Позначимо таку точку DD на його описаному колі, у якому ADAD — діаметр. Припустимо, що точки KK та LL належать відрізкам ABAB та ACAC відповідно, а прямі DKDK та DLDL дотикаються до описаного кола трикутника AKLAKL. Доведіть, що пряма KLKL проходить через ортоцентр трикутника ABCABC.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2023-003

Найменша кількість слів для заповнення таблиці k × k

Нехай kk — натуральне число. Гуска Стефанія має словник DD, що складається з кількох слів завдовжки kk, кожне з яких містить лише літери AA та BB. Стефанія хоче записати в кожну клітинку таблиці k×kk \times k літеру AA або BB так, щоб кожний стовпець містив слово зі словника DD при читанні згори донизу, а кожний рядок містив слово зі словника DD при читанні зліва направо. Якщо словник містить хоча б mm різних слів, то Стефанія може заповнити таблицю в описаний спосіб, незалежно від того, які слова містяться в ньому. Яким може бути при цьому найменше ціле число mm?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2023-004

Равлик на колі та ніколи не пройдена точка

Равлик Степан сидить у деякій точці кола завдовжки 11. Задано нескінченну послідовність додатних дійсних чисел c1,c2,c3,…c_1, c_2, c_3, \ldots. Равлик Степан послідовно проповзає відстані c1,c2,c3,…c_1, c_2, c_3, \ldots вздовж кола, щоразу вибираючи, повзти йому за рухом годинникової стрілки чи проти руху годинникової стрілки. Наприклад, якщо послідовність c1,c2,c3,…c_1, c_2, c_3, \ldots задано як числа 0,40{,}4, 0,60{,}6, 0,30{,}3, …\ldots, то Степан може повзти таким чином, як це показано на рис. 9.1. Визначте найбільшу сталу C>0C > 0 з такою властивістю: для довільної послідовності додатних дійсних чисел c1,c2,c3,…c_1, c_2, c_3, \ldots такої, що ci<Cc_i < C для всіх натуральних ii, Степан може (після дослідження послідовності) гарантувати, що на колі знайдеться точка, у якій він ніколи не зупинявся та не проповзав над нею.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2023-005

Великодні числа та поява одиниці в послідовності

Задано натуральне число s⩾2s \geqslant 2. Для кожного натурального kk його Великодним числом назвемо число k′k', яке визначається в такий спосіб: запишемо kk як суму as+bas + b, де aa, bb — цілі невід’ємні числа, а b<sb < s, тоді k′=bs+ak' = bs + a. Для натурального числа nn розглянемо нескінченну послідовність d1,d2,d3,…d_1, d_2, d_3, \ldots, де di+1d_{i+1} є Великодним числом числа did_i для кожного натурального ii. Доведіть, що ця послідовність містить 11 тоді й тільки тоді, коли остача від ділення числа nn на s2−1s^2 - 1 дорівнює 11 або ss.
10–11 класиОстача від ділення
Європейський математичний кубокEMC-2023-002

Видалення точок і сума змін вершин опуклої оболонки

Задано натуральне число n⩾5n \geqslant 5. На площині позначено nn точок, жодні три з яких не лежать на одній прямій. Кожного дня Том прибирає одну з точок, допоки не залишиться лише три точки. В ii-день, 1⩽i⩽n−31 \leqslant i \leqslant n-3, перед тим як прибрати чергову точку, Том записує кількість вершин v(i)v(i), які має опукла оболонка всіх точок, що залишилися. В останній день він записує число v(n−2)=3v(n-2)=3. Знайдіть найбільше можливе значення виразу: ∣v(1)−v(2)∣+∣v(2)−v(3)∣+…+∣v(n−3)−v(n−2)∣|v(1)-v(2)|+|v(2)-v(3)|+\ldots+|v(n-3)-v(n-2)| серед усіх можливих початкових конфігурацій nn точок на площині та всіх можливих послідовностей ходів Тома. Примітка. Опуклою оболонкою скінченного набору точок на площині називають найменший опуклий многокутник, що містить усі зазначені точки (як усередині, так і на межі).
7–10 класиОпуклі множини
Європейський математичний кубокEMC-2023-004

Найменша зважена сума приємного набору

Набір із 20232023 невід’ємних цілих чисел (a1,a2,…,a2023)(a_1, a_2, \ldots, a_{2023}) назвемо приємним, якщо виконуються такі дві умови: - a1+a2+…+a2023=2023a_1 + a_2 + \ldots + a_{2023} = 2023; - a121+a222+…+a202322023⩽1\frac{a_1}{2^1} + \frac{a_2}{2^2} + \ldots + \frac{a_{2023}}{2^{2023}} \leqslant 1. Знайдіть найбільше натуральне число LL, для якого нерівність a1+2a2+…+2023a2023⩾La_1 + 2a_2 + \ldots + 2023a_{2023} \geqslant L справджується для всіх приємних наборів (a1,a2,…,a2023)(a_1, a_2, \ldots, a_{2023}).
7–10 класиМетод Штурма
Європейський математичний кубокEMC-2023-006

Прямокутний трикутник і рівні радіуси двох кіл

Дано трикутник ABCABC такий, що ∠BAC=90∘\angle BAC = 90^\circ. Вписане коло трикутника ABCABC дотикається до сторін BCBC, CACA, ABAB у точках DD, EE, FF відповідно. Точка MM є серединою відрізка EFEF. Точка PP — це проєкція точки AA на пряму BCBC. Прямі MPMP та ADAD перетинаються в точці KK. Доведіть, що описані кола трикутників AFEAFE та PDKPDK мають рівні радіуси.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Шорт-лист IMOIMOSL-2023-001

Мінімізація суми абсолютних відхилень

Професор Оук годує своїх 100 покемонів. Кожен покемон має миску, місткість якої — додатне дійсне число кілограмів. Ці місткості відомі професору Оуку. Сумарна місткість усіх мисок становить 100 кілограмів. Професор Оук розподіляє 100 кілограмів їжі так, що кожен покемон отримує невід'ємну цілу кількість кілограмів їжі (яка може бути більшою за місткість його миски). Рівень незадоволення покемона, який отримав NN кілограмів їжі і чия миска має місткість CC кілограмів, дорівнює ∣N−C∣|N-C|. Знайдіть найменше дійсне число DD таке, що незалежно від місткостей мисок професор Оук може розподілити їжу так, щоб сума рівнів незадоволення всіх 100 покемонів була не більшою за DD.
10–11 класиЦіла та дробова частини числа2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2023-005

Перетин перпендикулярів на описаному колі

Нехай ABCABC — трикутник, у якому AC>BCAC > BC. Нехай ω\omega — описане коло трикутника ABCABC, а rr — радіус кола ω\omega. Точка PP лежить на відрізку ACAC так, що BC=CPBC = CP, а точка SS — основа перпендикуляра, опущеного з PP на пряму ABAB. Нехай промінь BPBP перетинає ω\omega вдруге в точці DD, а точка QQ лежить на прямій SPSP так, що PQ=rPQ = r, причому точки S,P,QS, P, Q лежать на цій прямій саме в такому порядку. Нарешті, нехай пряма, проведена через AA перпендикулярно до CQCQ, перетинає пряму, проведену через BB перпендикулярно до DQDQ, у точці EE. Доведіть, що EE лежить на колі ω\omega.
10–11 класиСиметрія2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2023-007

Перетин дотичної на бісектрисі кута

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, у якому AB<ACAB < AC. Позначимо його описане коло через Ω\Omega, а середину дуги CABCAB — через SS. Нехай перпендикуляр з AA до BCBC перетинає BSBS і Ω\Omega у точках DD і E≠AE \neq A відповідно. Нехай пряма через DD, паралельна до BCBC, перетинає пряму BEBE у точці LL, а описане коло трикутника BDLBDL позначимо через ω\omega. Нехай коло ω\omega перетинає Ω\Omega знову в точці P≠BP \neq B. Доведіть, що дотична до кола ω\omega в точці PP і пряма BSBS перетинаються на внутрішній бісектрисі кута ∠BAC\angle BAC.
10–11 класиГомотерія і подібність3 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2023-012

Арифметична прогресія зсунутих добутків

Нехай a1,a2,…,an,b1,b2,…,bna_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}, b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n} — 2n2n натуральних чисел таких, що n+1n+1 добутків a1a2a3⋯an,b1a2a3⋯an,b1b2a3⋯an,⋮b1b2b3⋯bn\begin{gathered} a_{1} a_{2} a_{3} \cdots a_{n}, \\ b_{1} a_{2} a_{3} \cdots a_{n}, \\ b_{1} b_{2} a_{3} \cdots a_{n}, \\ \vdots \\ b_{1} b_{2} b_{3} \cdots b_{n} \end{gathered} у такому порядку утворюють строго зростаючу арифметичну прогресію. Визначте найменше натуральне число, яке може бути різницею такої арифметичної прогресії.
10–11 класиНСД та НСК
Шорт-лист IMOIMOSL-2023-002

Нерівність x(f(x)+f(y)) ≥ (f(f(x))+y)f(y)

Нехай R>0\mathbb{R}_{>0} — множина додатних дійсних чисел. Знайдіть усі функції f:R>0→R>0f: \mathbb{R}_{>0} \rightarrow \mathbb{R}_{>0} такі, що x(f(x)+f(y))⩾(f(f(x))+y)f(y)x(f(x)+f(y)) \geqslant (f(f(x))+y) f(y) для всіх x,y∈R>0x, y \in \mathbb{R}_{>0}.
10–11 класиЦиклічні підстановки (метод орбіт)2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2023-003

Перестановка з різницями сусідніх членів

Нехай a1,a2,…,a2023a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2023} — натуральні числа такі, що - a1,a2,…,a2023a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2023} — перестановка чисел 1,2,…,20231,2, \ldots, 2023, і - ∣a1−a2∣,∣a2−a3∣,…,∣a2022−a2023∣\left|a_{1}-a_{2}\right|,\left|a_{2}-a_{3}\right|, \ldots,\left|a_{2022}-a_{2023}\right| — перестановка чисел 1,2,…,20221,2, \ldots, 2022. Доведіть, що max⁡(a1,a2023)⩾507\max \left(a_{1}, a_{2023}\right) \geqslant 507.
10–11 класиЧислові нерівності
Шорт-лист IMOIMOSL-2023-009

Скрині зі скарбами з обмеженою різницею

Еліза має 2023 скрині зі скарбами, усі вони спочатку відімкнені й порожні. Щодня Еліза додає новий самоцвіт в одну з відімкнених скринь на свій вибір, а після цього фея діє за такими правилами: - якщо відімкнено більше ніж одну скриню, вона замикає одну з них, або - якщо відімкнена лише одна скриня, вона відмикає всі скрині. Відомо, що цей процес триває нескінченно довго. Доведіть, що існує стала CC з такою властивістю: Еліза може забезпечити, щоб різниця між кількостями самоцвітів у будь-яких двох скринях ніколи не перевищувала CC, незалежно від того, як фея вибирає скрині для замикання.
10–11 класиЖадібний алгоритм2 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.