Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

5 945 задач
Складністьолімпіадний, 12–16
Шорт-лист IMOIMOSL-2023-013

Кавайні послідовності та подільність

Послідовність цілих чисел a0,a1,a2,…a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots називається кавайною, якщо a0=0,a1=1a_{0}=0, a_{1}=1 і для будь-якого натурального числа nn виконується (an+1−3an+2an−1)(an+1−4an+3an−1)=0.\left(a_{n+1}-3 a_{n}+2 a_{n-1}\right)\left(a_{n+1}-4 a_{n}+3 a_{n-1}\right)=0 . Ціле число називається кавайним, якщо воно належить деякій кавайній послідовності. Припустимо, що два послідовні додатні цілі числа mm і m+1m+1 є кавайними (не обов’язково належать одній і тій самій кавайній послідовності). Доведіть, що 3 ділить mm і що m/3m / 3 є кавайним.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності3 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2023-014

Сума чисел з умовою на гармонійне середнє

Нехай a,b,c,da, b, c, d — натуральні числа, що задовольняють aba+b+cdc+d=(a+b)(c+d)a+b+c+d\frac{a b}{a+b}+\frac{c d}{c+d}=\frac{(a+b)(c+d)}{a+b+c+d} Знайдіть усі можливі значення a+b+c+da+b+c+d.
10–11 класиПрості числа (базові властивості)
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2023-002

Чудові та гарні трикутники на n точках

Зафіксуємо натуральне число n⩾3n \geqslant 3. Нехай SS — це множина nn точок на площині, жодні три з яких не є колінеарними. Для попарно різних точок AA, BB, CC із множини SS назвемо трикутник ABCABC чудовим для сторони ABAB, якщо SABC⩽SABXS_{ABC} \leqslant S_{ABX} для будь-якої точки XX із множини SS, що відмінна від точок AA та BB. Трикутник назвемо гарним, якщо його вершини належать множині SS і він є чудовим принаймні для двох його сторін. Доведіть, що існує щонайменше 12(n−1)\frac{1}{2}(n-1) гарних трикутників. Примітка. Для одного відрізка ABAB може бути декілька чудових трикутників.
10–11 класиГеометричні конфігурації точок
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2023-004

Середина відрізка AH і проєкції точок B і C

У гострокутному трикутнику ABCABC нехай точки HH та OO є ортоцентром і центром описаного кола відповідно. Нехай точка KK — це середина відрізка AHAH. Нехай ll — це пряма, що проходить через точку OO, а точки PP та QQ — ортогональні проєкції на пряму ll точок BB і CC відповідно. Доведіть, що KP+KQ⩾BCKP + KQ \geqslant BC.
10–11 класиПоворот
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2023-005

Рівність композицій многочленів з подільними степенями

Нехай P(x)P(x), Q(x)Q(x), R(x)R(x) і S(x)S(x) — це непостійні многочлени з дійсними коефіцієнтами такі, що P(Q(x))=R(S(x))P(Q(x)) = R(S(x)). Припустимо, що степінь многочлена P(x)P(x) ділиться на степінь многочлена R(x)R(x). Доведіть, що існує многочлен T(x)T(x) з дійсними коефіцієнтами такий, що P(x)=R(T(x))P(x) = R(T(x)).
10–11 класиДілення многочленів з остачею
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2023-006

Кістякове дерево із заданою кількістю кольорових ребер

Нехай rr, gg, bb — це цілі невід’ємні числа. Нехай Γ\Gamma — це зв’язний граф на r+g+b+1r + g + b + 1 вершинах. Кожне ребро графа Γ\Gamma пофарбовано в червоний, зелений або синій колір. Виявилося, що граф Γ\Gamma містить: - кістякове дерево, у якому рівно rr з усіх ребер є червоними; - кістякове дерево, у якому рівно gg з усіх ребер є зеленими; - кістякове дерево, у якому рівно bb з усіх ребер є синіми. Доведіть, що граф Γ\Gamma містить кістякове дерево, у якому рівно rr червоних ребер, рівно gg зелених ребер і рівно bb синіх ребер. Примітка. Кістякове дерево графа Γ\Gamma — це граф, який має ті ж самі вершини, що й граф Γ\Gamma, ребра якого є також ребрами графа Γ\Gamma і для якого існує рівно один шлях між будь-якими двома його різними вершинами.
10–11 класиДерева
Математичний матч Чехія–Австрія–Польща–СловаччинаCAPS-2022-001

Гра на клітчастій дошці з квадратами k × k

Задано натуральне число k⩽2022k \leqslant 2022. Анна та Богдан грають у таку гру на клітчастій дошці розміром 2022×20222022 \times 2022 клітинки. На початку гри всі клітинки є білими. Гравці роблять ходи по черзі, починає Анна. У свій хід Анна може або пофарбувати одну білу клітинку в жовтий колір, або пропустити свій хід, а Богдан у свій хід може або пофарбувати квадрат розміром k×kk \times k клітинок, усі клітинки якого є білими, у синій колір, або пропустити свій хід. Як тільки обидва гравці пропускають свій хід, гра завершується, і того, хто зафарбував більше клітинок, оголошують переможцем (у грі можлива нічия). Для кожного 1⩽k⩽20221 \leqslant k \leqslant 2022 визначте, чи має хтось із гравців виграшну стратегію, і якщо так, то хто саме.
10–11 класиГеометричні розфарбування
Математичний матч Чехія–Австрія–Польща–СловаччинаCAPS-2022-002

Функціональне рівняння з дробом y+1 поділеним на f(y)

Знайдіть усі такі функції f:(0,+∞)→(0,+∞)f: (0, +\infty) \to (0, +\infty), що рівність f(f(x)+y+1f(y))=1f(y)+x+1f\left(f(x) + \frac{y+1}{f(y)}\right) = \frac{1}{f(y)} + x + 1 справджується для всіх x,y>0x, y > 0.
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Математичний матч Чехія–Австрія–Польща–СловаччинаCAPS-2022-004

Кількість і сума дільників та корінь із числа

Для кожного натурального nn позначимо через τ(n)\tau(n) кількість додатних дільників числа nn, а через σ(n)\sigma(n) — суму всіх додатних дільників числа nn. Знайдіть усі натуральні nn, що задовольняють рівність σ(n)=τ(n) [x]⋅n [x].\sigma(n) = \tau(n)\,[x] \cdot \sqrt{n}\,[x]. Примітка. Тут через [x][x] позначено найменше ціле число, що не менше за xx.
10–11 класиМетод оцінок, що веде до малого п…
Математичний матч Чехія–Австрія–Польща–СловаччинаCAPS-2022-005

Бісектриса, перпендикуляр до BC і коло через чотири точки

У трикутнику ABCABC, у якому AB<ACAB < AC, точка OO є центром описаного кола. Бісектриса кутів BACBAC перетинає сторону BCBC в точці DD. Пряма, що проходить через точку DD перпендикулярно до сторони BCBC, перетинає відрізок AOAO в точці XX. Нехай точка YY — це середина відрізка ADAD. Доведіть, що точки BB, CC, XX, YY лежать на одному колі.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2022-001

Ортоцентр, описане коло APQ і перетин BQ з CP

У гострокутному трикутнику ABCABC відомо, що BC<ABBC < AB та BC<CABC < CA. Точки PP і QQ вибрано на відрізках ABAB та ACAC відповідно так, що P≠BP \neq B, Q≠CQ \neq C і BQ=BC=CPBQ = BC = CP. Через TT позначили центр описаного кола трикутника APQAPQ, через HH — ортоцентр трикутника ABCABC, через SS — точку перетину прямих BQBQ та CPCP. Доведіть, що точки TT, HH та SS лежать на одній прямій.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2022-002

Функції з умовами на добуток, суму і рівність

Знайдіть усі такі функції f:N→Nf: \mathbb{N} \to \mathbb{N}, що для всіх натуральних чисел aa та bb виконуються дві умови: 1) f(ab)=f(a)f(b)f(ab) = f(a)f(b); 2) серед чисел f(a)f(a), f(b)f(b) та f(a+b)f(a + b) є хоча б два однакових.
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2022-003

Квадратна послідовність із сумами у вигляді квадратів

Нескінченну послідовність натуральних чисел a1,a2,…a_1, a_2, \ldots назвемо квадратною, якщо: 1) a1a_1 є точним квадратом; 2) для всіх натуральних n⩾2n \geqslant 2 ana_n є найменшим натуральним числом, для якого na1+(n−1)a2+…+2an−1+anna_1 + (n-1)a_2 + \ldots + 2a_{n-1} + a_n є точним квадратом. Доведіть, що для будь-якої квадратної послідовності a1,a2,…a_1, a_2, \ldots існує таке натуральне число kk, що рівність an=aka_n = a_k виконується для всіх натуральних n⩾kn \geqslant k.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2022-005

Непарність кількості розбиттів дошки n × 2k на доміно

Для всіх натуральних nn та kk через f(n,2k)f(n, 2k) позначимо кількість способів розбити дошку розміром n×2kn \times 2k клітинки на nknk кісточок доміно розміром 2×12 \times 1 клітинку (наприклад, f(2,2)=2f(2, 2) = 2 та f(3,2)=3f(3, 2) = 3). Знайдіть усі такі натуральні nn, що для кожного натурального kk число f(n,2k)f(n, 2k) є непарним.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2022-006

Бісектриси кутів вписаного чотирикутника та два кола

Чотирикутник ABCDABCD вписано в коло із центром OO. Бісектриси кутів AA та BB перетинаються в точці XX, бісектриси кутів BB і CC — у точці YY, бісектриси кутів CC і DD — у точці ZZ, бісектриси кутів DD та AA — у точці WW. Діагоналі ACAC і BDBD перетинаються в точці PP. При цьому точки XX, YY, ZZ, WW, OO, PP попарно різні. Доведіть, що точки OO, XX, YY, ZZ, WW лежать на одному колі тоді й тільки тоді, коли точки PP, XX, YY, ZZ, WW лежать на одному колі.
10–11 класиРадикальна вісь
Шорт-лист IMOIMOSL-2022-001

Суми k різних елементів множини

Нехай k⩾2k \geqslant 2 — ціле число. Знайдіть найменше ціле n⩾k+1n \geqslant k+1 з властивістю, що існує множина з nn різних дійсних чисел така, що кожен її елемент можна записати як суму kk інших різних елементів цієї множини.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист IMOIMOSL-2022-003

Спільна точка дотичних у вписаному чотирикутнику

Нехай ABCDABCD — вписаний чотирикутник. Припустимо, що точки QQ, AA, BB, PP колінеарні в цьому порядку, причому пряма ACAC дотикається до кола ADQADQ, а пряма BDBD дотикається до кола BCPBCP. Нехай MM і NN — середини сторін BCBC і ADAD відповідно. Доведіть, що такі три прямі проходять через одну точку: пряма CDCD, дотична до кола ANQANQ у точці AA і дотична до кола BMPBMP у точці BB.
10–11 класиПроєктивна геометрія2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2022-004

Дотична з точки на стороні трикутника

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з AC>ABAC > AB, OO — центр його описаного кола, а DD — точка на відрізку BCBC. Пряма через DD, перпендикулярна до BCBC, перетинає прямі AOAO, ACAC і ABAB у точках WW, XX і YY відповідно. Описані кола трикутників AXYAXY і ABCABC перетинаються вдруге в точці Z≠AZ \neq A. Доведіть, що якщо OW=ODOW = OD, то пряма DZDZ дотикається до кола AXYAXY.
10–11 класиКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2022-005

Паралельні прямі, перпендикуляри до сторін і дотик кіл

Нехай ABCABC — трикутник, а ℓ1\ell_{1} та ℓ2\ell_{2} — дві паралельні прямі. Для i=1,2i=1,2 нехай ℓi\ell_{i} перетинає прямі BCBC, CACA та ABAB у точках XiX_{i}, YiY_{i} та ZiZ_{i} відповідно. Припустимо, що пряма, яка проходить через XiX_{i} перпендикулярно до BCBC, пряма, яка проходить через YiY_{i} перпендикулярно до CACA, і, нарешті, пряма, яка проходить через ZiZ_{i} перпендикулярно до ABAB, визначають невироджений трикутник Δi\Delta_{i}. Покажіть, що описані кола трикутників Δ1\Delta_{1} та Δ2\Delta_{2} дотикаються одне до одного.
10–11 класиГомотерія і подібність2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2022-012

Частоти цифр у кратних 1829

Для кожного 1⩽i⩽91 \leqslant i \leqslant 9 та T∈NT \in \mathbb{N} визначимо di(T)d_{i}(T) як загальну кількість разів, коли цифра ii з'являється у записі всіх кратних 18291829 між 11 та TT включно в системі числення з основою 1010. Покажіть, що існує нескінченно багато T∈NT \in \mathbb{N} таких, що серед d1(T),d2(T),…,d9(T)d_{1}(T), d_{2}(T), \ldots, d_{9}(T) є рівно два різні значення.
10–11 класиСистеми числення
Шорт-лист IMOIMOSL-2022-009

Мінімальна кількість купок при рівних перекладаннях

Нехай nn — натуральне число. Починаємо з nn купок камінців, у кожній спочатку по одному камінцю. Можна виконувати ходи такого вигляду: вибрати дві купки, взяти з кожної купки однакову кількість камінців і утворити з цих камінців нову купку. Для кожного натурального числа nn знайдіть найменшу кількість непорожніх купок, яку можна отримати, виконавши скінченну послідовність ходів такого вигляду.
10–11 класиІнші інваріанти3 розв’язки
Міжнародна Жаутиковська олімпіада (IZhO)IZHO-2022-001

Три многочлени з нульовими сумою і композиціями

Ненульові многочлени P(x)P(x), Q(x)Q(x) та R(x)R(x) задовольняють такі тотожності: P(x)+Q(x)+R(x)=P(Q(x))+Q(R(x))+R(P(x))=0.P(x)+Q(x)+R(x)=P(Q(x))+Q(R(x))+R(P(x))=0. Доведіть, що степені всіх трьох многочленів парні.
10–11 класиВластивості коефіцієнтів многочле…
Міжнародна Жаутиковська олімпіада (IZhO)IZHO-2022-002

Двокольорове десятиповерхове дерево та його перестановки

На площині нарисоване 10-поверхове 2-дерево: вершину A1A_1 сполучено з двома вершинами B1B_1 і B2B_2, кожну з яких сполучено з двома із чотирьох вершин C1,C2,C3,C4C_1, C_2, C_3, C_4. Кожну з вершин CiC_i сполучено рівно з однією з вершин BjB_j, і так далі, по степенях числа 2 (на дев’ятому рівні 512 точок, тобто 292^9) до 512 вершин J1,J2,J3,…,J512J_1, J_2, J_3, \ldots, J_{512}. Кожну з вершин J1,J2,J3,…,J512J_1, J_2, J_3, \ldots, J_{512} пофарбовано в один із двох кольорів — блакитний чи жовтий. Розглядаємо всі можливі перестановки ff множини вершин нарисованого дерева: - якщо вершини XX та YY були сполучені відрізком, то й вершини f(X)f(X) та f(Y)f(Y) також сполучені відрізком; - якщо вершину XX пофарбовано в один з кольорів, то й вершину f(X)f(X) також пофарбовано в той самий колір. Для якого максимального MM гарантовано знайдуться принаймні MM таких різних перестановок?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Міжнародна Жаутиковська олімпіада (IZhO)IZHO-2022-004

Середина сторони, центр вписаного кола і симетричні точки

У трикутнику ABCABC точка MM — середина сторони ABAB, а точка II — центр вписаного кола. Точка A1A_1 симетрична точці AA відносно прямої BIBI, а точка B1B_1 симетрична точці BB відносно прямої AIAI. Доведіть, що IN>IMIN > IM.
10–11 класиВекторний метод
Міжнародна Жаутиковська олімпіада (IZhO)IZHO-2022-005

Недосяжні суми значень многочлена степеня вище першого

Задано многочлен f(x)f(x) із дійсними коефіцієнтами степеня, вищого за 11. Доведіть, що існує нескінченно багато натуральних чисел, які не можна подати у вигляді виразу f(n+1)+f(n+2)+…+f(n+k)f(n+1)+f(n+2)+\ldots+f(n+k) з натуральними числами nn та kk.
10–11 класиНаближення дійсних чисел і оцінки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.