Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

5 945 задач
Складністьолімпіадний, 12–16
Кіберпросторове математичне змагання (CMC)CMC-2020-005

Числа на дошці і отримання чисел -2020 та 2020

На дошці записано 2020 натуральних чисел. Щохвилини Зумінг витирає два числа та замість них записує на дошці одне із чисел: їхню суму, різницю, добуток або частку. Наприклад, якщо Зумінг витирає числа 6 і 3, то замість них він може записати одне із чисел множини {6+3, 6−3, 3−6, 6⋅3, 6:3, 3:6}={9, 3, −3, 18, 2, 12}.\{6+3,\ 6-3,\ 3-6,\ 6\cdot 3,\ 6:3,\ 3:6\}=\left\{9,\ 3,\ -3,\ 18,\ 2,\ \frac{1}{2}\right\}. Через 2019 хвилин Зумінг записав на дошці єдине число −2020-2020. Доведіть, що Зумінг міг останнім записати число 2020, використовуючи ті самі правила та почавши з тих же 2020 початкових чисел.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Кіберпросторове математичне змагання (CMC)CMC-2020-006

Опуклий n-кутник з n-1 рівними сторонами та кутами

Знайдіть усі натуральні числа n⩾3n \geqslant 3, для яких справджується таке твердження: «Якщо PP — це опуклий nn-кутник, у якого n−1n - 1 з його сторін рівні та n−1n - 1 з його кутів рівні, то цей nn-кутник є правильним». Примітка. Многокутник називають правильним, якщо всі його сторони рівні та всі його кути рівні.
10–11 класиВекторний метод
Кіберпросторове математичне змагання (CMC)CMC-2020-007

Найбільша сума добутків білих рядків і чорних стовпців

Кожну з n2n^2 комірок сітки n×nn \times n пофарбовано або в чорний, або в білий колір. Нехай через aia_i позначено кількість білих комірок в ii-му рядку, а через bib_i позначено кількість чорних комірок в ii-му стовпчику. Знайдіть максимальне можливе значення величини ∑i=1naibi\sum\limits_{i=1}^{n} a_i b_i для всіх можливих розфарбувань сітки.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Кіберпросторове математичне змагання (CMC)CMC-2020-008

Стаціонарність нескінченної послідовності з нерівністю середніх

Нехай a1,a2,…a_1, a_2, \ldots — нескінченна послідовність додатних чисел така, що для кожного натурального nn справджується нерівність a1+a2+…+ann⩾a12+a22+…+an+12n+1.\frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n} \geqslant \sqrt{\frac{a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_{n+1}^2}{n+1}}. Доведіть, що послідовність a1,a2,…a_1, a_2, \ldots є стаціонарною, тобто всі її члени рівні між собою.
10–11 класиІнші класичні нерівності
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2020-001

Послідовність з рекурентним співвідношенням і подільність

Натуральні числа a0,a1,a2,…,a3030a_0, a_1, a_2, \ldots, a_{3030} задовольняють умови: 2an+2=an+1+4an,n=0,3028‾.2a_{n+2} = a_{n+1} + 4a_n, \quad n = \overline{0, 3028}. Доведіть, що хоча б одне із чисел a0,a1,a2,…,a3030a_0, a_1, a_2, \ldots, a_{3030} ділиться на 220202^{2020}.
10–11 класиМетод математичної індукції
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2020-002

Набори невід'ємних чисел з перестановкою і рівністю

Знайдіть усі набори невід'ємних дійсних чисел (x1,x2,…,x2020)(x_1, x_2, \ldots, x_{2020}) таких, що задовольняють три умови: - x1⩽x2⩽…⩽x2020x_1 \leqslant x_2 \leqslant \ldots \leqslant x_{2020}; - x2020⩽x1+1x_{2020} \leqslant x_1 + 1; - існує така перестановка (y1,y2,…,y2020)(y_1, y_2, \ldots, y_{2020}) набору (x1,x2,…,x2020)(x_1, x_2, \ldots, x_{2020}), що ∑i=12020((xi+1)(yi+1))2=8∑i=12020xi3.\sum_{i=1}^{2020} \bigl((x_i + 1)(y_i + 1)\bigr)^2 = 8 \sum_{i=1}^{2020} x_i^3. Примітка. Перестановкою набору називають набір тієї самої довжини з тими самими елементами, але ці елементи можуть іти в довільному порядку. Наприклад, набір чисел (2,1,2)(2, 1, 2) є перестановкою набору (1,2,2)(1, 2, 2), а ці два набори є перестановками набору (2,2,1)(2, 2, 1). Зауважте, що будь-який набір є перестановкою самого себе.
10–11 класиНерівність Коші
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2020-003

Бісектриси кутів опуклого шестикутника з рівними кутами

Дано опуклий шестикутник ABCDEFABCDEF, у якому ∠A=∠C=∠E\angle A = \angle C = \angle E та ∠B=∠D=∠F\angle B = \angle D = \angle F, а бісектриси кутів A,C,EA, C, E перетинаються в одній точці. Доведіть, що (внутрішні) бісектриси кутів B,D,FB, D, F також перетинаються в одній точці. Примітка. Зауважте, що ∠A=∠FAB\angle A = \angle FAB, інші внутрішні кути шестикутника позначено аналогічно.
10–11 класиБісектриса кута
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2020-005

Точка на стороні тупокутного трикутника і вписане коло

Розглянемо трикутник ABCABC з кутом ∠BCA>90∘\angle BCA > 90^\circ. Описане коло Γ\Gamma трикутника ABCABC має радіус RR. Строго всередині відрізка ABAB існує точка PP така, що PB=PCPB = PC, а довжина відрізка PAPA дорівнює RR. Серединний перпендикуляр PBPB перетинає коло Γ\Gamma в точках DD та EE. Доведіть, що точка PP є центром вписаного кола трикутника CDECDE.
10–11 класиТеорема про тризуб
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2020-006

Рекурентна послідовність з усіма членами-квадратами

Нехай m>1m > 1 — ціле число. Послідовність a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \ldots визначено як a1=a2=1a_1 = a_2 = 1, a3=4a_3 = 4, і для кожного n⩾4n \geqslant 4 справджується рівність an=m(an−1+an−2)−an−3.a_n = m(a_{n-1} + a_{n-2}) - a_{n-3}. Знайдіть усі цілі числа mm такі, що кожен член цієї послідовності є точним квадратом цілого числа.
10–11 класиМетод затискання між сусідніми зн…
Європейський математичний кубокEMC-2020-001

Середини сторін трикутника і точки F, G, H

Нехай трикутник ABCABC — гострокутний, точки DD і EE — середини сторін ABAB і ACAC відповідно. Точку FF вибирають таким чином, що точка DD є серединою відрізка EFEF. Коло Γ\Gamma — описане навколо трикутника FDBFDB. Нехай GG — така точка відрізка CDCD, що середина відрізка BGBG лежить на колі Γ\Gamma. Позначимо літерою HH другу точку перетину кола Γ\Gamma з прямою FCFC. Доведіть, що точки BB, HH, GG, CC лежать на одному колі.
7–10 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Європейський математичний кубокEMC-2020-002

Цікаві числа та дільники з умовою суми

Натуральне число k⩾3k \geqslant 3 називають цікавим, якщо існує натуральне число nn та натуральні числа d1<d2<…<dkd_1 < d_2 < \ldots < d_k, що задовольняють такі властивості: - dj+2=dj+1+djd_{j+2} = d_{j+1} + d_j для кожного j=1,k−2‾j = \overline{1, k-2}; - d1,d2,…,dkd_1, d_2, \ldots, d_k — дільники числа nn; - усі інші дільники числа nn або менші від d1d_1, або більші за dkd_k. Знайдіть усі цікаві числа.
7–10 класиДільники та кратні (базові власти…
Європейський математичний кубокEMC-2020-003

Покриття дошки n × n фігурками F і Z

Дано фігурки двох типів — FF і ZZ, що зображені на рис. 9.1. Знайдіть усі такі натуральні nn, щоб дошку розміром n×nn \times n, яка складається з n2n^2 одиничних квадратиків, можна було покрити без накладань одна на одну та без виходу за межі дошки цих фігурок, які дозволено повертати та перегортати.
7–10 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Європейський математичний кубокEMC-2020-004

Додатні числа з умовою та нерівність з коренями

Нехай aa, bb, cc — додатні дійсні числа, що задовольняють умову ab+bc+ca=a+b+cab + bc + ca = a + b + c. Доведіть, що справджується нерівність a+bc+b+ca+c+ab⩽2⋅min⁡{ab+bc+ca,ba+cb+ac}.\sqrt{a+\frac{b}{c}}+\sqrt{b+\frac{c}{a}}+\sqrt{c+\frac{a}{b}} \leqslant \sqrt{2} \cdot \min\left\{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}, \frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\right\}.
7–10 класиНерівність Коші
Європейський математичний кубокEMC-2020-005

Паралелограм, коло і перетин прямих AT та BO

Нехай ABCDABCD — паралелограм, у якому AB>BCAB > BC. Позначимо літерою OO точку на прямій CDCD, для якої OB=ODOB = OD. Нехай дано коло ww із центром у точці OO та радіусом OCOC. Нехай TT — це друга точка перетину кола ww та прямої CDCD. Доведіть, що точка перетину прямих ATAT і BOBO лежить на колі ww.
10–11 класиРівнобедрений та рівносторонній т…
Європейський математичний кубокEMC-2020-006

Пари n і k з різними k-мутаціями перестановок

Нехай nn та kk — натуральні числа. Кортеж (a1,a2,…,an)(a_1, a_2, \ldots, a_n) називають перестановкою, якщо кожне число з множини {1,2,…,n}\{1, 2, \ldots, n\} трапляється в ньому рівно один раз. Для перестановки (p1,p2,…,pn)(p_1, p_2, \ldots, p_n) назвемо kk-мутацією такий кортеж (p1+p1+k,p2+p2+k,…,pn+pn+k),(p_1 + p_{1+k}, p_2 + p_{2+k}, \ldots, p_n + p_{n+k}), де індекси пораховано за модулем nn. Знайдіть усі такі пари чисел (n,k)(n, k), для яких кожні дві різні перестановки мають різні kk-мутації. Примітка. Наприклад, якщо (n,k)=(4,2)(n, k) = (4, 2), то 22-мутацією перестановки (1,2,4,3)(1, 2, 4, 3) є кортеж (1+4,2+3,4+1,3+2)=(5,5,5,5)(1 + 4, 2 + 3, 4 + 1, 3 + 2) = (5, 5, 5, 5).
10–11 класиПарність і непарність
Європейський математичний кубокEMC-2020-008

Рівняння з f(x + y) і f(x f(y) + 1)

Позначимо множину як R+=(0,+∞)\mathbb{R}^+ = (0, +\infty). Знайдіть усі функції f:R+→R+f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+ такі, що для довільних x,y∈R+x, y \in \mathbb{R}^+ справджується рівність xf(x+y)+f(xf(y)+1)=f(xf(x)).xf(x + y) + f(xf(y) + 1) = f(xf(x)).
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…
Фінальний математичний кубок (FMC)FMC-2020-002

Нерівність із сумою дробів від a, b, c

Нехай aa, bb, cc — додатні числа. Доведіть, що справджується нерівність 1ab(b+1)(c+1)+1bc(c+1)(a+1)+1ca(a+1)(b+1)⩾3(1+abc)2.\frac{1}{ab(b+1)(c+1)}+\frac{1}{bc(c+1)(a+1)}+\frac{1}{ca(a+1)(b+1)} \geqslant \frac{3}{(1+abc)^2}.
7–10 класиНерівність Коші
Фінальний математичний кубок (FMC)FMC-2020-003

k чорних клітинок без дотиків у рядках і стовпцях

Нехай kk, n>1n > 1, k<nk < n — натуральні числа. Задано дошку розміром n×nn \times n, що складається з одиничних квадратиків. Андрій і Дарина вчиняють у такий спосіб: на кожному кроці деякий одиничний квадратик дошки зафарбовують чорним кольором так, що чорні квадратики не мають спільних сторін і спільних вершин. При якому найменшому натуральному nn вони зможуть отримати конфігурацію, коли в кожному рядку та кожному стовпці містяться рівно kk чорних клітинок? Намалюйте хоча б один приклад такого розфарбування.
7–10 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Фінальний математичний кубок (FMC)FMC-2020-004

Трикутник з кутом 60° та кола BOC і ADE

Нехай дано трикутник ABCABC, у якому ∠BAC=60∘\angle BAC = 60^\circ. Нехай точки DD і EE — основи перпендикулярів, проведених з точки AA до бісектрис зовнішніх кутів BB і CC у трикутнику ABCABC відповідно. Позначимо літерою OO центр описаного кола трикутника ABCABC. Доведіть, що описане коло трикутника BOCBOC має рівно одну спільну точку з описаним колом трикутника ADEADE.
7–10 класиКола, що дотикаються
Фінальний математичний кубок (FMC)FMC-2020-005

Функції з рівнянням f(f(x)+y) і x²+y

Знайдіть усі функції f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} такі, що для довільних дійсних xx, yy справджується рівність f(f(x)+y)+1=f(x2+y)+2f(x)+2y.f(f(x)+y)+1=f(x^2+y)+2f(x)+2y.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Фінальний математичний кубок (FMC)FMC-2020-007

Натуральні n, всі менші взаємно прості з якими прості

Знайдіть усі натуральні числа nn такі, що всі натуральні mm, 1<m<n1 < m < n, що є взаємно простими з nn, є простими числами.
10–11 класиПостулат Бертрана
Шорт-лист IMOIMOSL-2020-005

Перестановки зі зваженими нерівностями

Нехай nn — натуральне число. Знайдіть кількість перестановок a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} послідовності 1,2,…,n1,2, \ldots, n, що задовольняють умову a1⩽2a2⩽3a3⩽…⩽nana_{1} \leqslant 2 a_{2} \leqslant 3 a_{3} \leqslant \ldots \leqslant n a_{n}
10–11 класиРекурентний підрахунок2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2020-001

Оптимальна стала в нерівності з коренем

Варіант 1. Нехай nn — натуральне число, і покладемо N=2nN=2^{n}. Знайдіть найменше дійсне число ana_{n} таке, що для всіх дійсних xx, x2N+12N⩽an(x−1)2+x.\sqrt[N]{\frac{x^{2 N}+1}{2}} \leqslant a_{n}(x-1)^{2}+x . Варіант 2. Для кожного натурального числа NN знайдіть найменше дійсне число bNb_{N} таке, що для всіх дійсних xx, x2N+12N⩽bN(x−1)2+x\sqrt[N]{\frac{x^{2 N}+1}{2}} \leqslant b_{N}(x-1)^{2}+x
10–11 класиНерівність Коші
Шорт-лист IMOIMOSL-2020-002

Одночлени в симетричному ідеалі

Позначимо через A\mathcal{A} множину всіх многочленів від трьох змінних x,y,zx, y, z з цілими коефіцієнтами. Позначимо через B\mathcal{B} підмножину A\mathcal{A}, утворену всіма многочленами, які можна подати у вигляді (x+y+z)P(x,y,z)+(xy+yz+zx)Q(x,y,z)+xyzR(x,y,z)(x+y+z) P(x, y, z)+(x y+y z+z x) Q(x, y, z)+x y z R(x, y, z) для деяких P,Q,R∈AP, Q, R \in \mathcal{A}. Знайдіть найменше невід'ємне ціле число nn таке, що xiyjzk∈Bx^{i} y^{j} z^{k} \in \mathcal{B} для всіх невід'ємних цілих чисел i,j,ki, j, k, які задовольняють умову i+j+k⩾ni+j+k \geqslant n.
10–11 класиЕлементарні симетричні многочлени
Шорт-лист IMOIMOSL-2020-006

Неперетинні чотирикутники з вершинами різного кольору

У правильному 100-кутнику 41 вершину пофарбовано в чорний колір, а решту 59 вершин пофарбовано в білий колір. Доведіть, що існують 24 опуклі чотирикутники Q1,…,Q24Q_{1}, \ldots, Q_{24}, вершини яких є вершинами 100-кутника, такі, що - чотирикутники Q1,…,Q24Q_{1}, \ldots, Q_{24} попарно не перетинаються, і - кожен чотирикутник QiQ_{i} має три вершини одного кольору й одну вершину іншого кольору.
10–11 класиКонструкція за індукцією

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.