Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

5 945 задач
Складністьолімпіадний, 12–16
Середньоєвропейська математична олімпіада (MEMO)MEMO-2018-004

Рівність добутку цілих частин і біноміального коефіцієнта

а) Доведіть, що для довільного натурального числа mm існує таке натуральне n⩾mn \geqslant m, що \left[\frac{n}{1}\right] \cdot \left[\frac{n}{2}\right] \cdot \ldots \cdot \left[\frac{n}{m}\right] = C_n^m. \tag{*} б) Позначимо через p(m)p(m) найменше натуральне число n⩾mn \geqslant m, для якого виконується рівність (). Доведіть, що p(2018)=p(2019)p(2018) = p(2019).
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Середньоєвропейська математична олімпіада (MEMO)MEMO-2018-005

Циклічна сума дробів a²-b² поділена на a+bc при abc=1

Нехай aa, bb, cc — додатні дійсні числа, що задовольняють умову abc=1abc=1. Доведіть, що справджується нерівність a2−b2a+bc+b2−c2b+ca+c2−a2c+ab⩽a+b+c−3.\frac{a^2-b^2}{a+bc}+\frac{b^2-c^2}{b+ca}+\frac{c^2-a^2}{c+ab}\leqslant a+b+c-3.
10–11 класиНерівність Коші
Середньоєвропейська математична олімпіада (MEMO)MEMO-2018-006

Корені многочлена в арифметичній прогресії та квадратний тричлен

Многочлен P(x)P(x) степеня n⩾2n \geqslant 2 з раціональними коефіцієнтами має nn попарно різних дійсних коренів, які утворюють арифметичну прогресію. Доведіть, що серед коренів многочлена P(x)P(x) можна вибрати два, які також є коренями деякого квадратного тричлена з раціональними коефіцієнтами.
10–11 класиТеорема Вієта
Середньоєвропейська математична олімпіада (MEMO)MEMO-2018-008

Зображення числа з менш ніж 2k ненульовими коефіцієнтами

Дано натуральне число nn і натуральні числа u1,u2,…,unu_1, u_2, \ldots, u_n, що не перевищують 2k2^k, для деякого натурального k⩾3k\geqslant 3. Назвемо зображенням числа tt таку послідовність невід'ємних цілих чисел a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n, що t=a1u1+a2u2+…+anun.t=a_1u_1+a_2u_2+\ldots+a_nu_n. Доведіть, що коли ціле невід'ємне число tt має зображення, то воно також має зображення, у якому серед чисел a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n менше ніж 2k2k ненульових.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Середньоєвропейська математична олімпіада (MEMO)MEMO-2018-009

Паралелограм з основою висоти, ортоцентром і серединою

Нехай точка DD — основа висоти, проведеної з вершини AA в гострокутному трикутнику ABCABC, у якому AB<ACAB < AC. Точки B′B' і C′C' лежать на променях ABAB і ACAC відповідно так, що точки B′B', C′C' і DD колінеарні, а точки BB, CC, B′B' і C′C' лежать на одному колі із центром у точці OO. Доведіть, що коли точка MM — середина сторони BCBC, а точка HH — ортоцентр трикутника ABCABC, то чотирикутник DHMODHMO — паралелограм.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Середньоєвропейська математична олімпіада (MEMO)MEMO-2018-011

Послідовність з кубом та подільність члена на просте число

Послідовність натуральних чисел (an)(a_n) така, що a1=1a_1 = 1 і ak+1=ak3+1a_{k+1} = a_k^3 + 1, k∈Nk \in \mathbb{N}. Доведіть, що для будь-якого простого числа pp вигляду 3l+23l + 2, де ll — ціле невід'ємне число, існує таке натуральне число nn, що ana_n ділиться націло на pp.
10–11 класиМала теорема Ферма
Середньоєвропейська математична олімпіада (MEMO)MEMO-2018-012

Сілезькі натуральні числа та дріб із квадратів

Натуральне число nn назвемо сілезьким, якщо існують такі натуральні числа aa, bb, cc, що n=a2+b2+c2ab+bc+can = \dfrac{a^2 + b^2 + c^2}{ab + bc + ca}. а) Доведіть, що існує нескінченно багато сілезьких натуральних чисел. б) Доведіть, що не всі натуральні числа є сілезькими.
10–11 класиМетод нескінченного спуску
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2018-001

Вписаний чотирикутник і дотик двох описаних кіл

Нехай чотирикутник ABCDABCD — вписаний, а точка PP лежить на стороні ABAB. Діагональ ACAC перетинає відрізок DPDP у точці QQ. Пряма, що проходить через точку PP паралельно стороні CDCD, перетинає продовження сторони CBCB за точку BB у точці KK, а пряма, що проходить через точку QQ паралельно діагоналі BDBD, перетинає продовження сторони CBCB за точку BB у точці LL. Доведіть, що описані кола трикутників BKPBKP та CLQCLQ дотикаються.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2018-002

Два непостійні многочлени з рівністю виразів

Чи існують два непостійних многочлени P(x)P(x) і Q(x)Q(x) з дійсними коефіцієнтами такі, що P(x)10+P(x)9=Q(x)21+Q(x)20?P(x)^{10} + P(x)^9 = Q(x)^{21} + Q(x)^{20}?
10–11 класиДілення многочленів з остачею
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2018-003

Гра з орієнтуванням відрізків решітки та цикл

Анна та Боб грають у гру на нескінченній клітчастій решітці (сторона клітинки дорівнює 1), виконуючи ходи по черзі. Анна ходить першою. Хід полягає в тому, щоб орієнтувати один з одиничних відрізків решітки, який не був орієнтований раніше. Якщо в певний момент деякі орієнтовані відрізки утворюють орієнтований цикл, то виграє Боб. Чи дійсно стратегія Боба гарантує йому перемогу?
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2018-004

Значення НСД двох лінійних виразів

Нехай a,b,c,da, b, c, d — натуральні числа такі, що ad≠bcad \neq bc та НСД(a,b,c,d)=1(a, b, c, d) = 1. Нехай SS — множина всіх значень, яких набуває вираз НСД(an+b,cn+d)(an + b, cn + d), коли nn пробігає всі натуральні числа. Доведіть, що SS є множиною всіх натуральних дільників деякого натурального числа.
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2018-005

Кількість способів сполучити 2n точок на колі стрілками

Нехай nn — натуральне число. На колі зафіксовано 2n2n різних точок. Знайдіть кількість способів сполучити ці точки nn стрілками (орієнтованими відрізками) так, щоб виконувалися такі умови: - кожна з 2n2n точок є початком або кінцем деякої стрілки; - жодні дві стрілки не перетинаються; - не знайдеться двох стрілок AB‾\overline{AB} та CD‾\overline{CD} таких, що точки A,B,C,DA, B, C, D розташовані на колі в зазначеному порядку за годинниковою стрілкою (не обов'язково поспіль).
10–11 класиБієкції
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2017-001

Вписаний чотирикутник із середин

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник з ∠DAB=∠BCD=90∘\angle DAB = \angle BCD = 90^{\circ} та ∠ABC>∠CDA\angle ABC > \angle CDA. Нехай QQ і RR — точки на відрізках BCBC і CDCD відповідно, такі, що пряма QRQR перетинає прямі ABAB і ADAD у точках PP і SS відповідно. Відомо, що PQ=RSPQ = RS. Нехай MM — середина діагоналі BDBD, а NN — середина відрізка QRQR. Доведіть, що M,N,AM, N, A і CC лежать на одному колі.
10–11 класиОписане коло3 розв’язки
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2017-003

Шлях равлика на прямих з чергуванням поворотів

На площині проведено 20172017 прямих так, що жодні 33 з них не проходять через одну точку. Равлик Турбо може повзти вздовж прямих у такий спосіб: спочатку він рухається однією з прямих і продовжує рухатися цією прямою, доки не досягне точки перетину двох прямих. У точці перетину він продовжує свою подорож іншою прямою, повертаючи ліворуч або праворуч, чергуючи напрям, який обирає, у кожній точці перетину, через яку проходить. Чи може статися так, що він вдруге проповзе відрізок прямої, але у протилежному напрямі, ніж першого разу?
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…4 розв’язки
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2017-004

Шаховий турнір із заданими ступенями

Нехай n≥1n \geq 1 — ціле число, і нехай t1<t2<…<tnt_{1}<t_{2}<\ldots<t_{n} — додатні цілі числа. У групі з tn+1t_{n}+1 людей грають у шахи. Дві людини можуть грати одна з одною щонайбільше один раз. Доведіть, що можуть одночасно виконуватися такі умови: i) Кількість зіграних партій кожною людиною є одним із чисел t1,t2,…,tnt_{1}, t_{2}, \ldots, t_{n}, ii) Для кожного ii з 1≤i≤n1 \leq i \leq n є хтось, хто зіграв рівно tit_{i} шахових партій.
10–11 класиСтепені вершин4 розв’язки
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2017-005

n-ки зі степенем 2 у добутку

Нехай n≥2n \geq 2 — ціле число. nn-ка (a1,a2,…,an)(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}) додатних цілих чисел називається дорогою, якщо існує додатне ціле число kk таке, що (a1+a2)(a2+a3)⋯(an−1+an)(an+a1)=22k−1.(a_{1}+a_{2})(a_{2}+a_{3}) \cdots (a_{n-1}+a_{n})(a_{n}+a_{1})=2^{2k-1}. a) Знайдіть усі додатні цілі числа n≥2n \geq 2, для яких існує дорога nn-ка. b) Доведіть, що для кожного непарного додатного цілого числа mm існує ціле число n≥2n \geq 2 таке, що mm належить до дорогої nn-ки. У добутку в лівій частині рівно nn множників.
10–11 класиМетод нескінченного спуску2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2017-013

Гра з десятковими цифрами за модулем простого числа

Нехай p⩾2p \geqslant 2 — просте число. Едуардо та Фернандо грають у таку гру, роблячи ходи по черзі: кожним ходом гравець, чия черга ходити, обирає індекс ii з множини {0,1,…,p−1}\{0,1, \ldots, p-1\}, який ще не обирали ні він, ні інший гравець, а потім обирає елемент aia_{i} з множини {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}. Едуардо ходить першим. Гра закінчується після того, як усі індекси i∈{0,1,…,p−1}i \in\{0,1, \ldots, p-1\} буде обрано. Тоді обчислюють таке число: M=a0+10⋅a1+⋯+10p−1⋅ap−1=∑j=0p−1aj⋅10jM=a_{0}+10 \cdot a_{1}+\cdots+10^{p-1} \cdot a_{p-1}=\sum_{j=0}^{p-1} a_{j} \cdot 10^{j} Метою Едуардо є зробити число MM кратним pp, а метою Фернандо — завадити цьому. Доведіть, що Едуардо має виграшну стратегію.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Шорт-лист IMOIMOSL-2017-001

Значення параметра для виразів із різницями й сумами

Нехай qq — дійсне число. У Гугу є серветка з десятьма різними дійсними числами, і він записує на дошці такі три рядки дійсних чисел: - У першому рядку Гугу записує кожне число виду a−ba-b, де aa та bb — два (не обов'язково різні) числа з його серветки. - У другому рядку Гугу записує кожне число виду qabq a b, де aa та bb — два (не обов'язково різні) числа з першого рядка. - У третьому рядку Гугу записує кожне число виду a2+b2−c2−d2a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}, де a,b,c,da, b, c, d — чотири (не обов'язково різні) числа з першого рядка. Визначте всі значення qq такі, що, незалежно від чисел на серветці Гугу, кожне число з другого рядка також є числом у третьому рядку.
10–11 класиМіркування за модулем2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2017-010

Мінімальна кількість обмінів для хамелеонів

Нехай nn — натуральне число. Хамелеоном назвемо довільну послідовність із 3n3n літер, у якій кожна з літер aa, bb і cc трапляється рівно nn разів. Обміном назвемо транспозицію двох сусідніх літер у хамелеоні. Доведіть, що для будь-якого хамелеона XX існує хамелеон YY такий, що XX не можна перетворити на YY менш ніж за 3n2/23n^{2}/2 обмінів.
10–11 класиНапівінваріанти2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2017-006

Дотик із перетину дуги на колі

Нехай RR і SS — різні точки кола Ω\Omega, а tt позначає дотичну до кола Ω\Omega в точці RR. Точка R′R' симетрична точці RR відносно SS. Точку II вибрано на меншій дузі RSRS кола Ω\Omega так, що описане коло Γ\Gamma трикутника ISR′ISR' перетинає tt у двох різних точках. Позначимо через AA спільну точку кола Γ\Gamma і прямої tt, найближчу до RR. Пряма AIAI перетинає Ω\Omega знову в точці JJ. Доведіть, що пряма JR′JR' дотикається до кола Γ\Gamma.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2017-014

Десяткові періоди дробів

Раціональне число назвемо коротким, якщо воно має скінченну кількість цифр у десятковому розкладі. Для натурального числа mm скажемо, що натуральне число tt є mm-тастичним, якщо існує число c∈{1,2,3,…,2017}c \in \{1,2,3, \ldots, 2017\} таке, що 10t−1c⋅m\frac{10^{t}-1}{c \cdot m} є коротким, і таке, що 10k−1c⋅m\frac{10^{k}-1}{c \cdot m} не є коротким для жодного 1⩽k<t1 \leqslant k<t. Нехай S(m)S(m) — множина mm-тастичних чисел. Розглянемо S(m)S(m) для m=1,2,…m=1,2, \ldots. Яка найбільша можлива кількість елементів у S(m)S(m)?
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…
Шорт-лист IMOIMOSL-2017-002

Послідовність із рекурентним співвідношенням через максимум суми

Послідовність дійсних чисел a1,a2,…a_{1}, a_{2}, \ldots задовольняє співвідношення an=−max⁡i+j=n(ai+aj) для всіх n>2017a_{n} = -\max_{i+j=n} (a_{i} + a_{j}) \quad \text{ для всіх } n > 2017 Доведіть, що ця послідовність обмежена, тобто існує стала MM така, що ∣an∣⩽M|a_{n}| \leqslant M для всіх натуральних чисел nn.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2017-015

Прості числа, що дають ціле відношення

Знайдіть усі пари (p,q)(p, q) простих чисел з p>qp > q, для яких число (p+q)p+q(p−q)p−q−1(p+q)p−q(p−q)p+q−1\frac{(p+q)^{p+q}(p-q)^{p-q}-1}{(p+q)^{p-q}(p-q)^{p+q}-1} є цілим.
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…
Шорт-лист IMOIMOSL-2017-007

Послідовні вершини вкладених правильних многокутників

Нехай n⩾3n \geqslant 3 — ціле число. На площині дано два правильні nn-кутники A\mathcal{A} і B\mathcal{B}. Доведіть, що вершини многокутника A\mathcal{A}, які лежать усередині многокутника B\mathcal{B} або на його межі, є послідовними. (Тобто доведіть, що існує пряма, яка відокремлює ті вершини многокутника A\mathcal{A}, що лежать усередині многокутника B\mathcal{B} або на його межі, від інших вершин многокутника A\mathcal{A}.)
10–11 класиОпуклі множини
Шорт-лист IMOIMOSL-2017-004

Рекурентна послідовність зі змінним рекурентним співвідношенням

Нехай a0,a1,a2,…a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots — послідовність цілих чисел, а b0,b1,b2,…b_{0}, b_{1}, b_{2}, \ldots — послідовність натуральних чисел такі, що a0=0a_{0}=0, a1=1a_{1}=1, і an+1={anbn+an−1, якщо bn−1=1anbn−an−1, якщо bn−1>1 для n=1,2,…a_{n+1}=\left\{\begin{array}{ll} a_{n} b_{n}+a_{n-1}, & \text{ якщо } b_{n-1}=1 \\ a_{n} b_{n}-a_{n-1}, & \text{ якщо } b_{n-1}>1 \end{array} \quad \text{ для } n=1,2, \ldots\right. Доведіть, що принаймні одне з двох чисел a2017a_{2017} і a2018a_{2018} не менше від 20172017.
10–11 класиМетод математичної індукції2 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.