Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

5 945 задач
Складністьолімпіадний, 12–16
Шорт-лист IMOIMOSL-2017-017

Функція на взаємно простих парах і квадратична сума

Нехай pp — непарне просте число, а Z>0\mathbb{Z}_{>0} — множина додатних цілих чисел. Припустимо, що функція f:Z>0×Z>0→{0,1}f: \mathbb{Z}_{>0} \times \mathbb{Z}_{>0} \rightarrow \{0,1\} задовольняє такі властивості: - f(1,1)=0f(1,1)=0; - f(a,b)+f(b,a)=1f(a, b)+f(b, a)=1 для будь-якої пари взаємно простих додатних цілих чисел (a,b)(a, b), у якій не обидва числа дорівнюють 11; - f(a+b,b)=f(a,b)f(a+b, b)=f(a, b) для будь-якої пари взаємно простих додатних цілих чисел (a,b)(a, b). Доведіть, що ∑n=1p−1f(n2,p)⩾2p−2.\sum_{n=1}^{p-1} f\left(n^{2}, p\right) \geqslant \sqrt{2 p}-2 .
10–11 класиКвадратичні лишки і символ Лежанд…2 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2016-011

Чотирикутник AB = AD з точкою T на AC

ABCDABCD — опуклий чотирикутник такий, що AB=ADAB = AD. TT — точка на діагоналі ACAC така, що ∠ABT+∠ADT=∠BCD\angle ABT + \angle ADT = \angle BCD. Доведіть, що AT+AC≥AB+ADAT + AC \geq AB + AD.
10–11 класиОзнаки подібності
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2016-022

Найбільша площа магічного восьмикутника

Магічний восьмикутник — це восьмикутник, сторони якого проходять по лініях квадратної сітки, а довжини сторін дорівнюють 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88 (у довільному порядку). Яка найбільша можлива площа магічного восьмикутника?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2016-012

Колінеарність із побудови за інцентром трикутника

Нехай ABCABC — трикутник, а DD і EE — точки на прямих CACA і BABA такі, що CD=ABCD = AB, BE=ACBE = AC, а AA, DD і EE лежать по один бік від прямої BCBC. Нехай II — інцентр трикутника ABCABC, а HH — така точка, що II є ортоцентром трикутника BCHBCH. Доведіть, що DD, EE і HH лежать на одній прямій.
10–11 класиЗовнівписане коло
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2016-023

Подільність у грі з кубом 4×4×4

У комп’ютерній грі куб 4×4×44 \times 4 \times 4 складають із 434^3 одиничних кубиків. На початку гри кожен одиничний кубик містить ціле число. За кожен хід гри ви вибираєте одиничний кубик і збільшуєте на 1 всі числа в кубиках, які мають спільну грань з вибраним кубиком. Ви виграєте гру, якщо за скінченну кількість ходів досягнете позиції, у якій усі 434^3 числа діляться на 3. Чи можливо виграти гру незалежно від початкової позиції?
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2016-032

Стабільні кінцеві відрізки цифр

Скінченна послідовність dn−1,dn−2,…,d1,d0d_{n-1}, d_{n-2}, \dots, d_1, d_0 цифр називається стабільним кінцевим відрізком довжини nn, якщо вона має таку властивість: якщо mm — довільне натуральне число, таке, що останні nn цифр числа mm — це dn−1dn−2…d1d0d_{n-1}d_{n-2}\dots d_1d_0 (у цьому порядку), то для кожного натурального числа kk останні nn цифр числа mkm^k — це dn−1dn−2…d1d0d_{n-1}d_{n-2}\dots d_1d_0 (у цьому порядку). Доведіть, що для кожного натурального числа nn існує рівно чотири стабільні кінцеві відрізки довжини nn.
10–11 класиКитайська теорема про остачі
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2016-013

Цілочисельні трикутники з однаковою площею

Розглянемо трикутники, кожна вершина яких має цілі координати. Такий трикутник можна перетворити допустимим способом, пересунувши одну вершину паралельно протилежній стороні в іншу точку з цілими координатами. Доведіть, що якщо два трикутники з цілими координатами мають однакову площу, то існує послідовність допустимих перетворень, яка переводить один в інший.
10–11 класиДискретні набори точок та прямих…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2016-033

Взаємно прості числа в послідовностях цілих чисел

1. Кожна послідовність принаймні з двох послідовних цілих чисел містить число, яке не ділиться на жодне просте число, менше за кількість членів послідовності. 2. Кожна послідовність принаймні з двох послідовних цілих чисел містить число, взаємно просте з усіма іншими членами послідовності.
10–11 класиКитайська теорема про остачі
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2016-024

Повторюваний підрядок у конкатенації чисел

Усі nn-цифрові натуральні числа від 10n−110^{n-1} до 10n−110^n - 1 записано підряд у порядку зростання. Яке найбільше можливе значення kk, для якого в цій послідовності цифр можна знайти однаковий kk-цифровий підрядок щонайменше у двох різних місцях?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2016-016

Бісектриса і відрізок, поділений навпіл

Нехай ABCABC — трикутник, а PP — така точка, що APAP — бісектриса кута ∠BAC\angle BAC, а відрізок BCBC ділить навпіл відрізок APAP. Доведіть, що периметр трикутника ABCABC більший або дорівнює периметру трикутника PBCPBC.
10–11 класиСиметрія
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2016-025

Максимальна кількість любовних трикутників у турнірі

У школі є nn учнів. Відомо, що для будь-яких двох учнів AA і BB або AA любить BB, або BB любить AA (але не те й інше одночасно). (Отже, учень може любити кількох інших учнів.) Любовним трикутником називається трійка учнів AA, BB, CC така, що AA любить BB, BB любить CC і CC любить AA. Яка найбільша можлива кількість любовних трикутників за даної кількості nn учнів?
10–11 класиОрієнтовані графи
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2016-017

Побудова ортоцентра прямими через точки та бісектрисами

Починаючи з трьох точок AA, BB, CC загального положення та описаного кола kk трикутника △ABC\triangle ABC, крок полягає в проведенні прямої ll й отриманні всіх точок перетину прямої ll з уже проведеними прямими та з колом kk, де ll — це (1) пряма через дві різні точки, які вже було отримано, або (2) бісектриса кута ∠XYZ\angle XYZ, де XX, YY, ZZ — три раніше отримані різні точки на колі kk. Чи завжди (тобто для будь-якого вибору AA, BB, CC) можна отримати ортоцентр трикутника △ABC\triangle ABC за скінченну кількість кроків?
10–11 класиЗадачі на побудову (алгоритмічна…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2016-036

Ітерації функції, що збігаються зі степеневими відображеннями

Знайдіть усі пари p,qp, q різних простих чисел, множини D⊆RD \subseteq \mathbb{R} і функції f:D→Df: D \to D, які задовольняють fp(x)=xpіfq(x)=xqf^p(x) = x^p \quad \text{і} \quad f^q(x) = x^q для всіх x∈Dx \in D. (Тут fnf^n позначає nn-ту ітерацію функції ff.)
10–11 класиЦиклічні підстановки (метод орбіт)
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2016-026

Розфарбування дошки ходами в рядках і стовпцях

Нехай kk і tt — цілі числа, для яких 1≤k/2<t<k1 \le k/2 < t < k. Кожна клітинка дошки k×kk \times k пофарбована або в червоний, або в синій колір. Хід полягає у виборі рядка або стовпця з не більш ніж tt червоними клітинками та перефарбуванням цих червоних клітинок у синій колір. Припустімо, що за допомогою послідовності ходів можна зробити всі клітинки дошки синіми, і нехай mm — найменша кількість ходів, потрібна для цього. Доведіть, що якщо m>km > k, то загальна кількість початково червоних клітинок становить принаймні k+2tk + 2t.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2016-018

Точка трапеції на спільній хорді двох кіл

Нехай MM і NN — середини сторін ACAC і ABAB відповідно гострокутного трикутника ABCABC. Нехай ωB\omega_B — коло з центром MM, що проходить через BB, а ωC\omega_C — коло з центром NN, що проходить через CC. Нехай точка DD така, що ABCDABCD — рівнобічна трапеція з ADAD, паралельною BCBC. Припустимо, що ωB\omega_B і ωC\omega_C перетинаються у двох різних точках PP і QQ. Доведіть, що DD лежить на прямій PQPQ.
10–11 класиРадикальна вісь2 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2016-028

Червоний повний двочастковий підграф у розфарбованому графі

Граф має 20162016 вершин. Усі ребра графа пофарбовано в синій або червоний колір. Відомо, що граф не містить синього шляху з 10621062 вершин. Доведіть, що можна вибрати дві неперетинні множини по 477477 вершин кожна, такі, що всі ребра між цими множинами червоні.
10–11 класиШляхи на графах
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2016-038

Степені послідовності та несталість за модулем

Нехай a0,a1,…a_0, a_1, \dots — послідовність натуральних чисел така, що an=an−12na_n = a_{n-1}^{2^n} для всіх n=1,2,…n = 1, 2, \dots. Доведіть, що для кожного простого числа pp, p>3p > 3, з остачею 33 за модулем 44 існує натуральне число a0a_0 таке, що послідовність aN,aN+1,aN+2,…a_N, a_{N+1}, a_{N+2}, \dots не є сталою за модулем pp для жодного натурального числа NN.
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…
Шорт-лист IMOIMOSL-2016-008

Дільники в магічному прямокутнику

Знайдіть усі натуральні числа nn, для яких усі додатні дільники числа nn можна розставити в клітинках прямокутної таблиці за таких умов: - у кожній клітинці — свій дільник, усі дільники різні; - суми чисел в усіх рядках рівні; та - суми чисел в усіх стовпцях рівні.
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Шорт-лист IMOIMOSL-2016-002

Знакові суми з умовою одиничної норми

Знайдіть усі цілі числа n⩾3n \geqslant 3 з такою властивістю: для всіх дійсних чисел a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} і b1,b2,…,bnb_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}, які задовольняють умову ∣ak∣+∣bk∣=1\left|a_{k}\right|+\left|b_{k}\right|=1 при 1⩽k⩽n1 \leqslant k \leqslant n, існують x1,x2,…,xnx_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, кожне з яких дорівнює −1-1 або 11, такі, що ∣∑k=1nxkak∣+∣∑k=1nxkbk∣⩽1\left|\sum_{k=1}^{n} x_{k} a_{k}\right|+\left|\sum_{k=1}^{n} x_{k} b_{k}\right| \leqslant 1
10–11 класиЧислові нерівності2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2016-009

Квадрат зі збалансованими рядками, стовпцями й діагоналями

Знайдіть усі натуральні числа nn, для яких клітинки таблиці n×nn \times n можна заповнити так, щоб виконувалися такі властивості: - кожна клітинка може бути однією з II, MM і OO; - у кожному рядку та в кожному стовпці літери II, MM і OO трапляються однакову кількість разів; і - у будь-якій діагоналі, кількість клітинок якої кратна трьом, літери II, MM і OO трапляються однакову кількість разів.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Шорт-лист IMOIMOSL-2016-011

Значення квадратичних часток

Нехай aa — натуральне число, яке не є квадратом. Позначимо через AA множину всіх натуральних чисел kk таких, що k=x2−ax2−y2k = \frac{x^{2} - a}{x^{2} - y^{2}} для деяких цілих чисел xx і yy з x>ax > \sqrt{a}. Позначимо через BB множину всіх натуральних чисел kk таких, що (1) виконується для деяких цілих чисел xx і yy з 0⩽x<a0 \leqslant x < \sqrt{a}. Доведіть, що A=BA = B.
10–11 класиСтрибки Вієта3 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2016-012

Функціональне рівняння з умовою подільності

Позначимо через N\mathbb{N} множину всіх натуральних чисел. Знайдіть усі функції f:N→Nf: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} такі, що для всіх натуральних чисел mm і nn число f(m)+f(n)−mnf(m)+f(n)-m n ненульове і ділить mf(m)+nf(n)m f(m)+n f(n).
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Шорт-лист IMOIMOSL-2016-010

Перебудова ребер графа зі збереженням зв’язності

У місті є n⩾3n \geqslant 3 островів. Спочатку поромна компанія пропонує деякі маршрути між деякими парами островів так, що неможливо поділити острови на дві групи так, щоб жодні два острови з різних груп не були сполучені поромним маршрутом. Щороку поромна компанія закриватиме поромний маршрут між деякими двома островами XX і YY. Водночас, щоб підтримувати обслуговування, компанія відкриватиме нові маршрути за таким правилом: для будь-якого острова, який сполучений поромним маршрутом рівно з одним із XX і YY, додається новий маршрут між цим островом та іншим із XX і YY. Припустімо, що в будь-який момент, якщо ми розіб’ємо всі острови на дві непорожні групи будь-яким способом, то відомо, що поромна компанія через кілька років закриє певний маршрут, що сполучає два острови з цих двох груп. Доведіть, що через кілька років з’явиться острів, який буде сполучений поромними маршрутами з усіма іншими островами.
10–11 класиДвочасткові графи
Шорт-лист IMOIMOSL-2016-001

Нерівність для впорядкованих дійсних послідовностей

Знайдіть найбільше дійсне число aa таке, що для всіх n⩾1n \geqslant 1 і для всіх дійсних чисел x0,x1,…,xnx_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n}, які задовольняють умову 0=x0<x1<x2<⋯<xn0=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{n}, виконується нерівність 1x1−x0+1x2−x1+⋯+1xn−xn−1⩾a(2x1+3x2+⋯+n+1xn)\frac{1}{x_{1}-x_{0}}+\frac{1}{x_{2}-x_{1}}+\cdots+\frac{1}{x_{n}-x_{n-1}} \geqslant a\left(\frac{2}{x_{1}}+\frac{3}{x_{2}}+\cdots+\frac{n+1}{x_{n}}\right)
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського2 розв’язки
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2016-001

Подільність в індексованій цілочисельній послідовності

Знайдіть усі послідовності невід'ємних цілих чисел a1,…,a2016a_{1}, \ldots, a_{2016}, кожне з яких не перевищує 20162016, таких, що i+j∣iai+jaji+j \mid i a_{i}+j a_{j} для всіх i,j∈{1,2,…,2016}i, j \in \{1,2, \ldots, 2016\}.
10–11 класиНСД та НСК

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.