Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

5 945 задач
Складністьолімпіадний, 12–16
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2012-007

Точка перетину прямих KH, EM і BC

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, Γ\Gamma — коло, описане навколо трикутника ABCABC, HH — точка перетину висот трикутника. Нехай KK — деяка точка на колі Γ\Gamma, що лежить з іншого боку від AA відносно BCBC. Точка LL симетрична до KK відносно прямої ABAB, а точка MM симетрична до KK відносно прямої BCBC. Хай також EE — друга точка перетину кола Γ\Gamma з описаним колом трикутника BLMBLM. Доведіть, що прямі KHKH, EMEM та BCBC перетинаються в одній точці.
10–11 класиСиметрія
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2012-004

Існування багатої й талановитої множини цілих чисел

Назвімо множину AA цілих чисел талановитою, якщо кожен елемент цієї множини можна подати як суму деяких двох (не обов'язково різних) чисел, що також належать множині AA. Назвімо множину AA цілих чисел багатою, якщо 00 — єдине ціле число, яке не можна подати як суму елементів деякої скінченної непорожньої підмножини AA. Чи існує множина цілих чисел, що є водночас і багатою, і талановитою?
10–11 класиЧисла Фібоначі
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2012-008

Слово, що стає накопиченим після обміну сусідніх літер

Під «словом» будемо розуміти скінченну послідовність літер деякої абетки. Назвімо слово накопиченим, якщо воно є об’єднанням щонайменше двох однакових менших слів (наприклад, слова́ «абабаб» та «вабваб» накопичені, а слова «абаба» й «аабб» — ні). Доведіть, що якщо після обміну місцями довільних двох сусідніх літер слова воно стає накопиченим, то це слово складається з однакових літер. (Якщо дві сусідні літери слова однакові, їх також можна поміняти місцями — отримане слово збігатиметься з початковим і також має бути накопиченим.)
10–11 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…
Міжнародне математичне змагання (IMC)IMC-2012-040

Кут CFE у прямокутному трикутнику з точками на сторонах

Нехай ABCABC — трикутник, у якому ∠A=90∘\angle A = 90^\circ і ∠B=20∘\angle B = 20^\circ (рис. 5.14). Точки EE та FF відмітили відповідно на сторонах ACAC та ABAB трикутника так, що ∠ABE=10∘\angle ABE = 10^\circ, а ∠ACF=30∘\angle ACF = 30^\circ. Визначте величину кута CFECFE.
7–9 класиОсновна властивість бісектриси
Шорт-лист IMOIMOSL-2012-008

Неперетинні пари з обмеженими сумами

Нехай n≥1n \geq 1 — ціле число. Яка найбільша можлива кількість попарно неперетинних пар елементів множини {1,2,…,n}\{1,2, \ldots, n\} таких, що суми різних пар є різними цілими числами, які не перевищують nn?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист IMOIMOSL-2012-002

Чотири точки на одному колі у вписаному чотирикутнику

Нехай ABCDABCD — вписаний чотирикутник, діагоналі ACAC і BDBD якого перетинаються в точці EE. Продовження сторін ADAD і BCBC за точки AA і BB перетинаються в точці FF. Нехай GG — така точка, що ECGDECGD — паралелограм, а HH — точка, симетрична точці EE відносно прямої ADAD. Доведіть, що точки DD, HH, FF, GG лежать на одному колі.
10–11 класиОзнаки подібності
Шорт-лист IMOIMOSL-2012-003

Паралельні прямі через інцентри та центри описаних кіл

У гострокутному трикутнику ABCA B C точки DD, EE і FF — основи висот, проведених з вершин AA, BB і CC відповідно. Інцентри трикутників AEFA E F і BDFB D F — це I1I_{1} і I2I_{2} відповідно; центри описаних кіл трикутників ACI1A C I_{1} і BCI2B C I_{2} — це O1O_{1} і O2O_{2} відповідно. Доведіть, що прямі I1I2I_{1} I_{2} і O1O2O_{1} O_{2} паралельні.
10–11 класиРадикальна вісь
Шорт-лист IMOIMOSL-2012-009

Максимум трійок у розфарбованій таблиці

У квадратній таблиці 999×999999 \times 999 деякі клітинки білі, а решта — червоні. Нехай TT — кількість трійок (C1,C2,C3)(C_{1}, C_{2}, C_{3}) клітинок, з яких перші дві стоять в одному рядку, а останні дві — в одному стовпці, причому C1C_{1} і C3C_{3} білі, а C2C_{2} червона. Знайдіть найбільше можливе значення TT.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Шорт-лист IMOIMOSL-2012-004

Вписаний чотирикутник з відбиттям точки на бісектрисі

Нехай ABCAB C — трикутник, у якому AB≠ACAB \neq AC, з центром описаного кола OO. Бісектриса ∠BAC\angle BAC перетинає BCBC в точці DD. Нехай EE — точка, симетрична DD відносно середини сторони BCBC. Прямі, які проходять через DD і EE та перпендикулярні до BCBC, перетинають прямі AOAO і ADAD у точках XX і YY відповідно. Доведіть, що чотирикутник BXCYBX CY є вписаним.
10–11 класиСиметрія
Шорт-лист IMOIMOSL-2012-013

Дружні цілі числа з кубічного рівняння

Ціле число aa називається дружнім, якщо рівняння (m2+n)(n2+m)=a(m−n)3(m^{2}+n)(n^{2}+m)=a(m-n)^{3} має розв'язок у натуральних числах. a. Доведіть, що в множині {1,2,…,2012}\{1,2, \ldots, 2012\} є принаймні 500 дружніх цілих чисел. b. З'ясуйте, чи є a=2a=2 дружнім.
10–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Шорт-лист IMOIMOSL-2012-014

Многочлени з радикальною подільністю

Для невід'ємного цілого числа nn означимо rad⁡(n)=1\operatorname{rad}(n)=1, якщо n=0n=0 або n=1n=1, і rad⁡(n)=p1p2⋯pk\operatorname{rad}(n)=p_{1} p_{2} \cdots p_{k}, де p1<p2<⋯<pkp_{1}<p_{2}<\cdots<p_{k} — усі прості дільники числа nn. Знайдіть усі многочлени f(x)f(x) з невід'ємними цілими коефіцієнтами такі, що rad⁡(f(n))\operatorname{rad}(f(n)) ділить rad⁡(f(nrad⁡(n)))\operatorname{rad}\left(f\left(n^{\operatorname{rad}(n)}\right)\right) для кожного невід'ємного цілого числа nn.
10–11 класиТеорема Ейлера2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2012-011

Перестановка фішок із циклічною зміною кольорів

Стовпці та рядки квадратної дошки 3n×3n3n \times 3n пронумеровано числами 1,2,…,3n1, 2, \ldots, 3n. Кожну клітинку (x,y)(x, y) з 1≤x,y≤3n1 \leq x, y \leq 3n пофарбовано у спаржевий, візантійський або цитриновий колір залежно від остачі за модулем 33 числа x+yx+y, яка дорівнює 00, 11 чи 22 відповідно. На кожну клітинку покладено по одній фішці спаржевого, візантійського або цитринового кольору так, що кожного кольору є 3n23n^{2} фішок. Припустимо, що фішки можна переставити так, що кожна фішка переміститься на відстань не більше dd від свого початкового положення, кожна спаржева фішка замінить візантійську фішку, кожна візантійська фішка замінить цитринову фішку, а кожна цитринова фішка замінить спаржеву фішку. Доведіть, що фішки можна переставити так, що кожна фішка переміститься на відстань не більше d+2d+2 від свого початкового положення, і кожна клітинка міститиме фішку того самого кольору, що й клітинка.
10–11 класиКласичні теореми теорії графів
Шорт-лист IMOIMOSL-2012-015

Подільність числа x^{2^n}-1 на лінійний вираз

Нехай xx і yy — натуральні числа. Якщо x2n−1x^{2^{n}}-1 ділиться на 2ny+12^{n} y+1 для кожного натурального числа nn, доведіть, що x=1x=1.
10–11 класиТеорема Евкліда про нескінченніст…
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2012-003

Цілочисельний набір із заданими сумою і добутком

Знайдіть найменше натуральне число nn, для якого існують nn цілих чисел x1,x2,…,xnx_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} (не обов'язково різних) з 1≤xk≤n,1≤k≤n1 \leq x_{k} \leq n, 1 \leq k \leq n, таких, що x1+x2+⋯+xn=n(n+1)2, і x1x2⋯xn=n!x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=\frac{n(n+1)}{2}, \quad \text{ і } \quad x_{1} x_{2} \cdots x_{n}=n! але {x1,x2,…,xn}≠{1,2,…,n}\left\{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right\} \neq\{1,2, \ldots, n\}.
10–11 класиОсновна теорема арифметики
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2012-004

Зростання послідовності розщепленням і стиранням нуля

На дошці написано число 11. Після цього послідовність чисел утворюється так: на кожному кроці кожне число aa на дошці замінюється числами a−1a-1 і a+1a+1; якщо з'являється число 00, його одразу стирають; якщо число трапляється більше ніж один раз, усі його входження залишають на дошці. Таким чином, на дошці буде 11 після 00 кроків; 22 після 11 кроку; 1,31, 3 після 22 кроків; 2,2,42, 2, 4 після 33 кроків і так далі. Скільки чисел буде на дошці після nn кроків?
10–11 класиБієкції2 розв’язки
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2012-001

Подільність 2²ⁿ⁺¹+1 на n без подільності 2ⁿ+1

Доведіть, що є нескінченно багато натуральних значень nn, для яких число 22n+1+12^{2^n+1}+1 ділиться на nn, а 2n+12^n+1 на nn не ділиться.
10–11 класиТеорема Ейлера
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2012-006

Лінійна оцінка монотонної функції з одноколірною адитивністю

Кожне натуральне число пофарбували в червоний або в синій колір. Функція f:N→Nf : \mathbb{N} \to \mathbb{N} має такі властивості: — якщо x⩽yx \leqslant y, то f(x)⩽f(y)f(x) \leqslant f(y); — якщо натуральні числа xx, yy і zz (не обов'язково різні) пофарбовано в один колір, а x+y=zx + y = z, то f(x)+f(y)=f(z)f(x) + f(y) = f(z). Доведіть, що існує додатне число aa таке, що для всіх натуральних xx справджується нерівність f(x)⩽axf(x) \leqslant ax.
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2012-005

Точка перетину медіан і описане коло трикутника PQR

У трикутнику ABCABC через DD, EE та FF позначили середини сторін BCBC, CACA та ABAB відповідно. Коло, описане навколо трикутника BCFBCF, та пряма BEBE вдруге перетинаються у точці PP, а коло, описане навколо трикутника ABEABE, та пряма ADAD вдруге перетинаються у точці QQ. Прямі DPDP та FQFQ перетинаються в точці RR. Доведіть, що точка перетину медіан трикутника ABCABC лежить на описаному колі трикутника PQRPQR.
10–11 класиЗастосування тригонометрії
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2012-002

Прямокутник 3x1 з трьома різними кольорами у таблиці nxn

Усі комірки квадратної таблиці n×nn \times n, n⩾3n \geqslant 3, пофарбували в один з [(n+2)23]\left[\dfrac{(n+2)^2}{3}\right] кольорів, причому в кожен колір пофарбували хоча б одну комірку. Доведіть, що в таблиці знайдеться прямокутник 3×13\times1 чи 1×31\times3, клітинки якого розфарбовано у три різні кольори.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2012-003

Кола через вершини трикутника, дотичні до вписаного кола

Точки II та OO — центри відповідно вписаного та описаного кіл трикутника ABCABC. Нехай ωA\omega_A — коло, що проходить через точки BB й CC, а також дотикається до вписаного кола трикутника ABCABC. Кола ωB\omega_B та ωC\omega_C визначимо аналогічно. Нехай також A′A' — відмінна від AA точка перетину кіл ωB\omega_B та ωC\omega_C, B′B' і C′C' — точки, визначені в аналогічний спосіб. Доведіть, що прямі AA′AA', BB′BB' і CC′CC' перетинаються в одній точці і ця точка належить прямій IOIO.
10–11 класиРадикальна вісь
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2011-014

Вписаний чотирикутник проєкцій і подібні трикутники на сторонах

Нехай EE — внутрішня точка опуклого чотирикутника ABCDABCD. Нехай FF, GG, HH і II — точки, що лежать по інший бік прямих ABAB, BCBC, CDCD і DADA відповідно, ніж чотирикутник, такі, що △ABF∼△DCE\triangle ABF \sim \triangle DCE, △BCG∼△ADE\triangle BCG \sim \triangle ADE, △CDH∼△BAE\triangle CDH \sim \triangle BAE і △DAI∼△CBE\triangle DAI \sim \triangle CBE. Нехай PP, QQ, RR і SS — проєкції точки EE на прямі ABAB, BCBC, CDCD і DADA відповідно. Доведіть, що якщо чотирикутник PQRSPQRS є вписаним, то EF⋅CD=EG⋅DA=EH⋅AB=EI⋅BC.EF \cdot CD = EG \cdot DA = EH \cdot AB = EI \cdot BC.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2011-002

Кубічне функціональне рівняння

Знайдіть усі функції f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} такі, що f(x+f(y))−f(x)=(x+f(y))3−x3f(x + f(y)) - f(x) = (x + f(y))^3 - x^3 для всіх x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2011-029

Рівнобедрені трикутники на ґратці з діагоналями

Квадратна сітка 2011×20112011 \times 2011 поділена на трикутники діагоналями клітинок. Яка загальна кількість рівнобедрених трикутників у фігурі?
10–11 класиРозбиття на випадки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2011-030

Гра НСД з пороговим відношенням купок

Айно і Вяйно починають грати у гру GCD(m,nm, n), де mm і nn — натуральні числа. На початку на столі лежать дві купки камінців, одна — з mm камінцями, а друга — з nn камінцями. Гравець, який має хід, забирає певну кількість камінців з однієї купки. Ця кількість кратна кількості камінців у другій купці. Айно починає, і гравці ходять по черзі, доки одна з купок не стане порожньою. Хто спорожнить купку, той перемагає. Доведіть, що існує таке α>1\alpha > 1, що якщо mm і nn — натуральні числа, для яких m>αnm > \alpha n, то Айно має виграшну стратегію у грі GCD(m,nm, n), а якщо αn>m>n\alpha n > m > n, то її має Вяйно.
10–11 класиВиграшні та програшні позиції: ан…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2011-043

Цифри числа з мінімальним відношенням до суми цифр

Для довільного натурального числа nn позначимо через N(n)N(n) кількість цифр числа nn, а через S(n)S(n) — суму цифр числа nn. (Вважаємо, що числа не починаються з нуля.) Які цифри можуть зустрічатися в натуральному числі nn, якщо nS(n)<mS(m)\frac{n}{S(n)} < \frac{m}{S(m)} для всіх інших mm, таких, що N(m)=N(n)N(m) = N(n)?
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.