Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

5 945 задач
Складністьолімпіадний, 12–16
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-19-20-028

Два кола дотичні до прямої AB та середина відрізка

Коло kk із центром у точці SS та радіусом rr дотикається до прямої ABAB у точці AA, коло ll із центром у точці TT та радіусом ss дотикається до прямої ABAB у точці BB і перетинає коло kk у точках CC та DD, які є діаметральними для кола kk. Знайдіть величину a=ABa = AB. Доведіть далі, що точка M=AB∩CDM = AB \cap CD є серединою відрізка ABAB.
11 класРадикальна вісь
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-19-20-029

Непарність функції з функціонального рівняння

Нехай функція f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R} задовольняє ∀x,y∈R\forall x, y \in \mathbb{R} умову f(f(x)−y)=x−f(y).f(f(x) - y) = x - f(y). Доведіть, що функція ff — непарна.
11 класБазові підстановки (однакові аргу…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-19-20-033

Два рівні прямокутники в квадраті і відрізок AL

Дано квадрат ABCDABCD зі стороною 1010. На сторонах BCBC та ADAD цього квадрата вибрано відповідно точки EE та FF у такий спосіб, що утворився прямокутник ABEFABEF. Прямокутник KLMNKLMN розташований таким чином, що його вершини KK, LL, MM та NN лежать по одній на відрізках CDCD, DFDF, EFEF та ECEC відповідно. Виявилося, що прямокутники ABEFABEF та KLMNKLMN рівні, при цьому виконується умова AB=MNAB = MN. Знайдіть довжину відрізка ALAL.
7 класКути прямокутного трикутника
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-19-20-044

Заповнення площини однаковими квазіквадратами

Назвемо квазіквадратом фігуру, що складається з квадрата n×nn \times n, до якого зовні приєднано ще один квадратик 1×11 \times 1, що має спільну сторону з одним із квадратиків квадрата n×nn \times n, а також спільну вершину з одним з кутових квадратиків квадрата n×nn \times n. Так, на рис. 2.1 дві верхні фігури є квазіквадратами, а дві нижні — ні. Для яких n⩾3n \geqslant 3 можна однаковими квазіквадратами заповнити всю площину? Квазіквадрати не мають накладатися один на одний, але їх можна повертати та перевертати.
8 класРозрізання, покриття та замощення
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-19-20-045

Числа a + b/c з відношенням не більше двох

Існує nn вибраних попарно різних додатних чисел. Василько виписав на дошці всі можливі числа вигляду a+bca+\frac{b}{c}, де aa, bb, cc — різні числа з вибраних. Чи завжди серед виписаних чисел знайдуться два таких, що відрізняються не більше ніж у 22 рази, якщо: а) n=4n = 4? б) n=3n = 3?
8 класЧислові нерівності
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-19-20-046

Кут WMB при бісектрисі, паралелі та рівності відрізків

Дано трикутник ABCABC, точка OO — центр описаного кола, точка MM — середина сторони BCBC, WW — точка другого перетину бісектриси кута CC із цим колом. Пряма, що паралельна стороні BCBC і проходить через точку WW, перетинає сторону ABAB у точці KK так, що BK=BOBK = BO. Знайдіть величину кута WMBWMB.
8 класДопоміжне коло (перекидання кутів)
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-19-20-056

Люди по колу з різними остачами та добутками

Дано деяке просте число p>2p > 2. По колу стоять NN людей, кожен з яких задумав деяке натуральне число, а потім на папірці написав остачу від ділення свого числа на pp. Далі кожен крадькома подивився на записане на папірці число сусіда праворуч, обчислив добуток свого записаного числа й підглянутого числа сусіда та на своєму папірці написав друге число, що дорівнює остачі від ділення обчисленого добутку на pp. Якого максимального значення може набувати NN, якщо всі перші числа в усіх людей різні, а крім того, у кожної людини на папірці записано два різних числа?
9 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-19-20-057

Покриття площини однаковими квазіквадратами

Назвемо квазіквадратом фігуру, що складається з квадрата n×nn\times n, n⩾4n\geqslant 4, до якого зовні приєднано ще один квадратик 1×11\times1, що має спільну сторону з одним із квадратиків квадрата n×nn\times n. Так, на рис. 2.2 дві перші фігури є квазіквадратами, третя — ні. Чи завжди можна такими однаковими квазіквадратами покрити всю площину? Примітка. Квазіквадрати не можна накладати один на одний, але їх можна повертати та перевертати. Відповідь треба дати для всіх n⩾4n\geqslant 4 та всіх можливих квазіквадратів.
9 класРозрізання, покриття та замощення
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-19-20-058

Спільна точка кіл DXX' для точок X на AC

Нехай точка DD лежить на дузі ACAC описаного кола трикутника ABCABC (AB<BC)(AB < BC), що не містить точку BB. На стороні ACAC вибрано довільну точку XX та точку X′X', для якої ∠ABX=∠CBX′\angle ABX = \angle CBX'. Доведіть, що незалежно від вибору точки XX коло, описане навколо трикутника DXX′DXX', проходить через фіксовану точку, що відмінна від точки DD.
9 класСтепінь точки відносно кола
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-19-20-060

Рівні хорди на колі і паралельність AE та CD

На колі вибрано точки AA, BB, CC, DD таким чином, що AB=BC=CDAB = BC = CD. Бісектриси кутів ABDABD та ACDACD перетинаються в точці EE. Знайдіть кут ABCABC, коли відомо, що AE∥CDAE \parallel CD.
9 класЦентральні і вписані кути
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-19-20-072

Математики на відрізку та рукостискання з менеджерами

Менеджери двох компаній перебувають у двох точках на відстані 10001000 м. На відрізку, що їх сполучає, розташовані nn точок, у кожній з яких стоїть математик. Щосекунди кожен з математиків рухається до точки, що є серединою відрізка, який сполучає точку його перебування з найближчою точкою перебування іншого математика або менеджера. Якщо таких точок не одна, то він рухається до однієї з них. Якщо два математики прибувають у спільну точку за описаним алгоритмом, то молодший із двох покидає гру. Доведіть, що за скінченну кількість секунд кожен з математиків, що лишився, може потиснути руку одному з менеджерів. Математик може потиснути руку, якщо перебуватиме на відстані, не більшій ніж 11 м від менеджера.
10 класНапівінваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-19-20-073

Півколо з рівними кутами та перетин дотичних

Нехай Γ\Gamma — півколо з діаметром ABAB. На цьому діаметрі вибрали точку CC, а на півколі — точки DD і EE таким чином, що точка EE опинилася між точками BB і DD. Виявилося, що ∠ACD=∠ECB\angle ACD = \angle ECB. Точку перетину дотичних до кола Γ\Gamma у точках DD та EE позначили через FF. Доведіть, що ∠EFD=∠ACD+∠ECB\angle EFD = \angle ACD + \angle ECB.
10 класДопоміжне коло (перекидання кутів)
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-19-20-081

Перефарбування клітинок квадрата 8×8 від вершини

Дано білий квадрат ABCDABCD завбільшки 8×88 \times 8, що складається із 6464 одиничних квадратиків (клітинок) 1×11 \times 1. За одну дію можна вибрати будь-який: а) квадрат; б) прямокутник, що складається із цілої кількості одиничних квадратиків і містить принаймні одну з вершин квадрата ABCDABCD, та поміняти в ньому колір кожної клітинки на протилежний (білий замінити на чорний і навпаки). Чи можна за допомогою таких дій отримати довільне розфарбування клітинок квадрата ABCDABCD?
11 класПравила суму та добутку
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-19-20-082

Нерівність для a, b, c з умовою на квадрати

Для додатних чисел aa, bb, cc, що задовольняють умову a2+b2+c2+abc=4a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4, доведіть нерівність (4−a2)(4−b2)(4−c2) a2b2c2⩽(2a+bc)(2b+ca)(2c+ab).(4 - a^2)(4 - b^2)(4 - c^2)\,a^2b^2c^2 \leqslant (2a + bc)(2b + ca)(2c + ab).
11 класТригонометричні заміни
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-19-20-050

Опуклий чотирикутник з прямим кутом і подвоєною стороною

Дано опуклий чотирикутник ABCDABCD, у якого ∠CBD=90∘\angle CBD = 90^\circ, ∠BCD=∠CAD\angle BCD = \angle CAD і AD=2BCAD = 2BC. Доведіть, що CA=CDCA = CD.
8 класДопоміжне коло (перекидання кутів)
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-19-20-051

Кількість брехунів за круглим столом

За круглим столом по колу на рівних відстанях сиділи та щось обговорювали 5050 мешканців острова Горласті Пельки. Кожен із них є або лицарем, який завжди каже правду, або брехуном, який щоразу бреше, причому за столом точно є представники обох типів. Під час обговорення кожен сказав, що острів’янин, який сидить точно напроти нього, та обидва сусіди того, хто сидить напроти, не всі належать до одного типу, тобто не всі троє — лицарі та не всі троє — брехуни. Доведіть, що за столом кількість брехунів не менша від 1010, але й не більша за 2525.
8 класПринцип Діріхле (скінченні множин…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-19-20-052

Натуральне число як сума не більше тринадцяти паліндромів

У натуральному числі nn не більше ніж 20202020 цифр. Доведіть, що можна знайти mm таких паліндромів, сума яких дорівнюватиме nn, при цьому m⩽13m \leqslant 13. Примітка. Паліндромом називають число, яке можна однаково прочитати в обох напрямках (зліва направо та справа наліво), наприклад, числа 10011001, 99 та 767767 — паліндроми, а числа 12121212 та 110110 — ні.
8 класРозклад по розрядах, десяткові др…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-19-20-053

Гра зі стиранням взаємно простих чисел на дошці

Петрик та Василь грають у гру із записаними на дошці числами. Розпочинає Петрик. За один хід гравець вибирає два взаємно простих числа, витирає їх та записує замість них їхню суму. Той, хто не зможе зробити хід, програє. Хто переможе за правильної гри, якщо із самого початку на дошці записано: а) 20192019 цифр 11; б) 20202020 цифр 11?
8 класСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-19-20-064

Трійки натуральних чисел з рівністю a+b+c²=abc

Знайдіть усі трійки натуральних чисел (a, b, c)(a,\ b,\ c), що задовольняють рівність a+b+c2=abc.a+b+c^2=abc.
9 класМетод затискання між сусідніми зн…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-19-20-065

Найбільше n з різними числами b і зростаючими a

Для якого найбільшого значення nn існують цілі числа a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n та b1,b2,…,bnb_1, b_2, \ldots, b_n, що задовольняють такі умови: 1) усі числа b1,b2,…,bnb_1, b_2, \ldots, b_n попарно різні та належать проміжку [0;99][0; 99]; 2) 1⩽a1<a2<…<an⩽1001 \leqslant a_1 < a_2 < \ldots < a_n \leqslant 100; 3) для кожного ii, 1⩽i⩽n1 \leqslant i \leqslant n, справджується одна з рівностей: bi=ai−ib_i = a_i - i або bi=ai−i+nb_i = a_i - i + n?
9 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-19-20-076

Пари чисел з взаємними останніми цифрами квадратів і кубів

а) Для яких натуральних ll існує пара натуральних чисел (m,n)(m, n), які мають не більше ніж ll цифр і різні останні цифри та для яких виконуються такі умови: останні ll цифр числа m2m^2 утворюють число nn і аналогічно останні ll цифр числа n2n^2 утворюють число mm (з відкиданням нулів, якщо вони йдуть першими серед останніх ll цифр)? б) Для яких натуральних ll існує пара натуральних чисел (m,n)(m, n), які мають не більше ніж ll цифр і різні останні цифри та для яких виконуються такі умови: останні ll цифр числа m3m^3 утворюють число nn і аналогічно останні ll цифр числа n3n^3 утворюють число mm (з відкиданням нулів, якщо вони йдуть першими серед останніх ll цифр).
10 класКонструкція за індукцією
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-19-20-077

Числа по колу та три сусідні одиниці

По колу написано 299299 цифр 00 та одну цифру 11. Дозволено робити такі ходи з написаними по колу числами: - від кожного числа відняти суму сусідніх із ним чисел; - вибрати два числа, між якими розташовано рівно два інших числа, та збільшити обидва на 11 або зменшити обидва на 11. Чи можна за скінченну кількість зазначених дій отримати таке розташування чисел, за якого матимемо три сусідніх числа 11, а решту чисел — 00?
10 класІнші інваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-19-20-085

Паралелограм на сторонах трикутника та рівність кутів

На меншій дузі BCBC описаного кола гострокутного трикутника ABCABC вибрали точку PP. Точки RR і SS на сторонах ABAB і ACAC відповідно вибрали таким чином, що CPRSCPRS — паралелограм. Точка TT на дузі ACAC описаного кола трикутника ABCABC така, що BT∥CPBT \parallel CP. Доведіть, що ∠TSC=∠BAC\angle TSC = \angle BAC.
11 класДопоміжне коло (перекидання кутів)
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-19-20-086

Найменша і найбільша кількість брехунів за круглим столом

За круглим столом на рівних відстанях сиділи та щось обговорювали декілька мешканців острова Горласті Пельки. Кожен із них є або лицарем, який завжди каже правду, або брехуном, який щоразу бреше, причому за столом точно є представники кожного типу. Під час обговорення кожний сказав, що острів’янин, який сидить точно напроти нього, та обидва сусіди того, хто сидить напроти, не всі належать до одного типу, тобто не всі троє є лицарями та не всі троє є брехунами. Яка найменша та найбільша кількість брехунів може бути за таких умов за столом, де сидять: а) 20202020 мешканців острова; б) 600600 мешканців острова?
11 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-19-20-087

Сто людей на вечірці та вихід за сигналами гонгу

На вечірку прийшли 100100 людей, деякі з яких були раніше знайомі (якщо А знайомий з Б, то й навпаки). Протягом вечірки нових знайомств не відбулося. Гонг на вечірці пролунав 100100 разів. Після першого сигналу гонгу всі ті, хто не мав жодного знайомого серед присутніх, покинули вечірку. Після другого сигналу вечірку покинули всі ті, хто мав рівно одну знайому людину серед тих присутніх, хто лишився після першого виходу людей. Після kk-го сигналу гонгу вечірку покинули ті, хто серед присутніх на цей момент мав рівно k−1k - 1 знайомого. На завершення вечірки залишилося рівно nn людей із присутніх. Знайдіть усі можливі значення nn.
11 класСтепені вершин

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.