Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

5 945 задач
Складністьолімпіадний, 12–16
Естонська математична олімпіадаESTMO-2024-032

Добутки на триреберних шляхах куба

Усі цілі числа від 11 до 1212 записано на ребрах куба так, що на кожному ребрі є рівно одне число. Два роботи-мурахи стоять в одній вершині куба і хочуть дістатися до вершини, найвіддаленішої від них. Кожна мураха обирає шлях, що складається рівно з трьох ребер куба. Вони перемножують числа на своєму шляху. Добуток чисел на шляху першої мурахи ділиться на 100100, але не ділиться на 200200. Сума цифр добутку чисел на шляху другої мурахи дорівнює 22, а числа 11 немає на її шляху. Знайдіть усі можливі добутки, які може отримати та чи інша мураха.
7 класФункція vₚ(n) та її властивості
Естонська математична олімпіадаESTMO-2024-021

Заміна 4 на 22 і подільність

Знайдіть усі натуральні числа nn, для яких можна замінити цифру 44 цифрами 2222 і отримати число, кратне nn.
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Естонська математична олімпіадаESTMO-2024-024

Утворення квадрата у грі на нескінченній сітці

Марі та Юрі грають у таку гру на нескінченній сітці: вони ходять по черзі, починає Марі, Марі кожним своїм ходом фарбує одну незафарбовану клітинку в червоний колір, Юрі кожним своїм ходом фарбує одну незафарбовану клітинку в синій колір. Якщо центри будь-яких чотирьох клітинок одного кольору утворюють вершини деякого квадрата, то гравець, який фарбує цим кольором, перемагає. Чи має хтось із гравців виграшну стратегію? Якщо так, то яка найменша кількість ходів гарантує перемогу?
10–11 класиВиграшні та програшні позиції: ан…
Естонська математична олімпіадаESTMO-2024-026

Гра з дільниками та несиметричними ходами

Ану та Берт грають кожен з ChatGPT у таку гру. Гра Ану починається з числа 2023!2023! на дошці, гра Берта — з числа 2024!2024! на дошці. Кожен хід складається з двох частин. Спочатку активний гравець ділить число на дошці на один з його складених дільників dd. Потім його суперник має виконати одну з таких дій: (1) помножити число на дошці на будь-який дільник d′d' числа dd, що задовольняє 1<d′<d1 < d' < d; (2) помножити число на дошці на 77; (3) поділити число на дошці на 1010 і помножити результат на 20232023 (цей варіант не можна обирати, якщо результат не є цілим числом). На наступному ході гравці міняються ролями. Гравець, який не може виконати потрібну дію, програє гру. ChatGPT починає обидві гри. Доведіть, що ChatGPT може виграти принаймні одну з ігор.
10–11 класиНапівінваріанти
Естонська математична олімпіадаESTMO-2024-027

Функціональне рівняння на проколотій дійсній прямій

Знайдіть усі функції f:R∖{1}→R∖{0}f: \mathbb{R} \setminus \{1\} \to \mathbb{R} \setminus \{0\}, які задовольняють рівності f(0)=1f(0) = 1 і f(f(xy))=1−1yf(f(x))f(f(xy)) = 1 - \frac{1}{y f(f(x))} для будь-яких дійсних чисел xx і yy таких, що xy≠0, xy≠1xy \neq 0,\ xy \neq 1 і x≠1x \neq 1.
10–11 класиЦиклічні підстановки (метод орбіт)3 розв’язки
Естонська математична олімпіадаESTMO-2024-047

Розсилання інформації в сильно зв’язному орграфі

Дано натуральне число nn. У мережі є nn комп’ютерів, пронумерованих натуральними числами 1,2,…,n1, 2, \dots, n. Комп’ютери з’єднано односторонніми лініями зв’язку так, що інформацію з будь-якого комп’ютера можна надіслати до всіх інших комп’ютерів або безпосередньо, або через інші комп’ютери мережі. Спочатку кожен комп’ютер знає лише свій власний номер. Коли на будь-якому комп’ютері запускають певну процедуру, комп’ютер виводить усі номери комп’ютерів, які він знає, і передає їх усім комп’ютерам, до яких він має прямі лінії. Оператор комп’ютера запускає цю процедуру на будь-яких вибраних комп’ютерах у будь-якій обраній послідовності (можливо, кілька разів на тому самому комп’ютері). Доведіть, що мінімальна загальна кількість запусків процедури, за якої можливо, щоб усі комп’ютери вивели номери всіх комп’ютерів принаймні один раз, не залежить від мережі ліній, а лише від числа nn, і знайдіть цю кількість запусків.
11 класОрієнтовані графи
Естонська математична олімпіадаESTMO-2024-029

Найменше кнопок на 5×5 без сусідства і можливості додати

Знайдіть найменшу кількість кнопок, які можна розставити на клітинках дошки 5×55 \times 5 так, щоб жодні дві кнопки не стояли на одній клітинці чи на клітинках зі спільною стороною (кнопки можуть стояти на клітинках зі спільною вершиною) і щоб до дошки не можна було додати жодної кнопки за тих самих умов.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…3 розв’язки
Естонська математична олімпіадаESTMO-2024-050

Паліндромна сума числа та його обернення

Число називається паліндромом, якщо запис його цифр у зворотному порядку дає те саме число. Для цілого n>1n > 1 скільки існує nn-цифрових натуральних чисел таких, що при додаванні до числа, отриманого записом його цифр у зворотному порядку, результат є паліндромом?
11 класРозклад по розрядах, десяткові др…
Естонська математична олімпіадаESTMO-2024-051

Кругова розстановка із взаємно простими через одне

Знайдіть усі натуральні числа nn, для яких можна записати всі натуральні числа від 11 до nn у деякому порядку по колу, кожне рівно один раз, так, щоб кожне число було взаємно простим із числом, що розташоване на два місця далі від нього.
11 класНСД та НСК
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2024-031

Гра типу Нім на шахівниці

Гра відбувається на шаховій дошці розміру n×nn \times n. На початку на кожній клітинці є 99 камінців. По черзі Емерік і Бенуа вибирають рядок або стовпець і забирають по одному камінцю з кожної клітинки вибраного рядка або стовпця. Вони можуть вибрати рядок або стовпець лише якщо на кожній його клітинці є принаймні один камінець. Гравець, який першим не може зробити хід, програє партію. Емерік ходить першим. Знайдіть усі nn, для яких Бенуа має виграшну стратегію.
8–10 класиІнші інваріанти
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2024-036

Монотонність послідовності найменших спільних кратних

Знайдіть усі цілі числа nn з такою властивістю: якщо покласти ak=НСК(k,k+1,…,k+n−1)a_{k} = \text{НСК}(k, k+1, \ldots, k+n-1), то послідовність (ak)(a_{k}) є зростаючою.
8–10 класиНСД та НСК
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2024-022

Різні набори курсів учнів після вилучення курсу

У школі є nn курсів і nn учнів. Учні записані на кілька курсів так, що жодні два різні учні ніколи не мають точно однакового набору курсів. Доведіть, що можна вилучити один курс так, щоб жодна пара учнів не опинилася з точно однаковим набором курсів.
8–10 класиМетод математичної індукції2 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2024-002

Замощення доміно з непересічним розрізом

Визначте найбільше парне ціле число nn, що має таку властивість: незалежно від способу замощення сітки n×nn \times n доміно, існує лінія, яка розрізає дошку на дві непорожні частини і не перетинає жодного доміно.
8–10 класиРозрізання, покриття та замощення
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2024-040

Показниково-квадратична сума як куб простого числа

Знайдіть усі цілі числа xx такі, що 2x+x2+252^{x}+x^{2}+25 є кубом простого числа.
8–10 класиМетод затискання між сусідніми зн…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2024-004

Виграшні позиції у грі з розбиттям камінців

Алін та Ельза грають у таку гру. Вони мають 100 камінців, які на початку гри розділяють на дві купки (не обов'язково однакового розміру). Потім по черзі, починаючи з Алін, вони виконують такий хід: вибирають купку, потім додатне ціле число, не більше за половину розміру вибраної купки, і забирають цю кількість камінців з купки. Гравчиня, яка першою не може виконати хід, програє. Визначте всі початкові конфігурації, за яких Ельза має виграшну стратегію.
8–10 класиВиграшні та програшні позиції: ан…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2024-003

Рівновіддалена точка на хорді вписаного кола

Нехай ABCABC — трикутник, ω\omega — його вписане коло, а DD, EE і FF — точки дотику кола ω\omega зі сторонами BCBC, CACA і ABAB відповідно. Перпендикуляр до (BC)(BC) у точці CC перетинає пряму (EF)(EF) у точці MM, а перпендикуляр до (BC)(BC) у точці BB перетинає пряму (EF)(EF) у точці NN. Пряма (DM)(DM) вдруге перетинає ω\omega у точці PP, а пряма (DN)(DN) вдруге перетинає ω\omega у точці QQ. Доведіть, що DP=DQDP = DQ.
8–10 класиСиметрія
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2024-041

Нерівність для зважених сум дійсних чисел

Нехай n⩾1n \geqslant 1 — натуральне число, а x1,…,xnx_{1}, \ldots, x_{n} — невід'ємні дійсні числа. Доведіть, що (x11+x22+…+xnn)(1⋅x1+2⋅x2+…+n⋅xn)⩽(n+1)24n(x1+x2+…+xn)2\left(\frac{x_{1}}{1}+\frac{x_{2}}{2}+\ldots+\frac{x_{n}}{n}\right)\left(1 \cdot x_{1}+2 \cdot x_{2}+\ldots+n \cdot x_{n}\right) \leqslant \frac{(n+1)^{2}}{4 n}\left(x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}\right)^{2} Знайдіть випадки рівності.
8–10 класиНерівність Коші
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2024-042

Остачі степенів за модулем степенів простого числа

Знайдіть усі пари (a,p)(a, p) натуральних чисел, де pp просте, такі, що для будь-якої пари (m,n)(m, n) натуральних чисел остача від евклідового ділення a2na^{2^{n}} на pnp^{n} є ненульовою і збігається з остачею від евклідового ділення a2ma^{2^{m}} на pmp^{m}.
8–10 класиЛема про підняття показника (LTE-…2 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2024-021

Покриття пар великими підмножинами

Нехай NN — натуральне число. Припустимо, що існують чотири підмножини A1A_{1}, A2A_{2}, A3A_{3} і A4A_{4} множини {1,…,N}\{1, \ldots, N\}, кожна потужності 500500, і припустимо, що для будь-яких x,yx, y з {1,…,N}\{1, \ldots, N\} існує індекс ii такий, що xx і yy містяться в AiA_{i}. Знайдіть найбільше можливе значення NN.
8–10 класиДвочасткові графи
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2024-043

Цілочислова послідовність із лічильною властивістю

Нехай cc — невід'ємне ціле число. Знайдіть усі послідовності натуральних чисел a1,a2,…a_{1}, a_{2}, \ldots такі, що для кожного натурального числа nn число ana_{n} дорівнює кількості цілих чисел ii, для яких виконується ai⩽an+1+ca_{i} \leqslant a_{n+1}+c.
8–10 класиПослідовності (інші властивості)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2024-044

Обмін фруктами з умовою парності

Маємо a+ba + b мисок, вишикуваних у ряд. Перші aa мисок містять по яблуку, а останні bb мисок містять по груші. Операція полягає в переміщенні яблука з миски ii до миски i+1i+1 і груші з миски jj до миски j−1j-1, де ii і jj — такі цілі числа, що i−ji-j — парне (миска може містити кілька фруктів). Потрібно дійти до кінцевої ситуації, де перші bb мисок містять по груші, а останні aa мисок містять по яблуку. Доведіть, що це можливо тоді й лише тоді, коли abab — парне.
8–10 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2024-046

Мінімальна кількість прямих для перетину променів

Нехай kk — натуральне число, а PP — точка площини. Знайдіть найменше ціле число nn з такою властивістю: можна провести nn прямих, що не проходять через PP, так, що кожен промінь з початком у точці PP перетинає принаймні kk прямих.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2024-013

Сортування кольорових фішок обмінами

Нехай k⩾1k \geqslant 1 — ціле число. Розглянемо 4k4k фішок, з яких 2k2k червоних і 2k2k синіх. Послідовність цих 4k4k фішок можна перетворити в іншу послідовність одним ходом, що полягає в обміні певної кількості (можливо, однієї) послідовних червоних фішок на таку саму кількість послідовних синіх фішок. Наприклад, одним ходом можна перейти від rbbbrrrb до rrrbrbbb, де rr позначає червону фішку, а bb позначає синю фішку. Знайти найменше число nn (як функцію від kk) таке, що, починаючи з будь-якої початкової послідовності з 4k4k фішок, потрібно не більше ніж nn ходів, щоб досягти стану, в якому перші 2k2k фішок — червоні.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2024-005

Мінімальне число значень для відновлення многочлена

Еміль придумав вправу для Бенуа. Він повідомляє йому, що таємно вибрав монічний многочлен PP степеня 20232023 з цілими коефіцієнтами, тобто вигляду P(X)=X2023+a2022X2022+a2021X2021+…+a1X+a0P(X) = X^{2023} + a_{2022} X^{2022} + a_{2021} X^{2021} + \ldots + a_{1} X + a_{0} де a0,a1,…,a2022a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{2022} — цілі числа. Він дає Бенуа kk цілих чисел n1,n2,…,nkn_{1}, n_{2}, \ldots, n_{k}, де kk — натуральне число, а також значення добутку P(n1)P(n2)…P(nk)P\left(n_{1}\right) P\left(n_{2}\right) \ldots P\left(n_{k}\right). Маючи ці відомості, Бенуа має спробувати відновити многочлен PP. Знайти найменше ціле kk таке, що Еміль може знайти PP і n1,…,nkn_{1}, \ldots, n_{k}, щоб гарантувати, що єдиним многочленом, який узгоджується з відомостями, наданими Бенуа, буде PP.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2024-048

Відбиття зовнівписаного центра і сума кутів

Нехай ABCABC — трикутник і нехай JJ — центр його AA-зовнівписаного кола. Нехай KK — точка, симетрична точці JJ відносно відрізка [BC][BC]. Нехай EE і FF — точки на прямих (BJ)(BJ) і (CJ)(CJ) такі, що EAB^=CAF^=90∘\widehat{EAB} = \widehat{CAF} = 90^{\circ}. Доведіть, що FKE^+FJE^=180∘\widehat{FKE} + \widehat{FJE} = 180^{\circ}.
10–11 класиПоворотна гомотетія

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.