Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

5 945 задач
Складністьолімпіадний, 12–16
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-19-20-091

Промінь TO у трикутнику з кутами 75° і 45°

У трикутнику ABCABC ∠A=75∘\angle A = 75^\circ та ∠C=45∘\angle C = 45^\circ. На сторонах ABAB та BCBC вибрали точки PP і TT відповідно так, що чотирикутник APTCAPTC — вписаний і CT=2APCT = 2AP. Точка OO — центр описаного кола трикутника ABCABC. Промінь TOTO перетинає сторону ACAC у точці KK. Доведіть, що TO=OKTO = OK.
8 класОзнаки подібності
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-19-20-098

Послідовність натуральних чисел до n з нерівністю

Доведіть, що для будь-якого натурального n>1n > 1 існує послідовність натуральних чисел a1⩽a2⩽…⩽am=na_1 \leqslant a_2 \leqslant \ldots \leqslant a_m = n для деякого m>1m > 1 така, що 5(a12+a22+…+am2)−4(a1a2+a2a3+…+am−1am)⩽4n2+12(m+1).5\left(a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_m^2\right) - 4\left(a_1a_2 + a_2a_3 + \ldots + a_{m-1}a_m\right) \leqslant 4n^2 + \frac{1}{2}(m+1).
9 класРетроспективний алгоритм
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-19-20-099

Середини відрізків BP і CQ та центр описаного кола

У трикутнику ABCABC ортоцентр HH — це середина висоти ADAD, точка OO — центр описаного кола трикутника ABCABC. Пряма, що проходить через точку HH перпендикулярно до прямої HOHO, перетинає сторони ABAB та ACAC трикутника ABCABC у точках PP і QQ відповідно. Доведіть, що середини відрізків BPBP, CQCQ і точка OO лежать на одній прямій.
9 класЛанцюжок подібних трикутників
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-19-20-105

Дотик описаних кіл трикутників ABC і XYK

Нехай точки Ha,Hb,HcH_a, H_b, H_c — основи висот, опущених із відповідних вершин трикутника ABCABC, точка HH — ортоцентр цього трикутника, а точка KK симетрична точці HH відносно прямої BCBC. Пряма, що проходить через точку HH паралельно прямій HbHcH_bH_c, перетинає прямі ABAB та ACAC у точках XX та YY. Доведіть, що описані кола трикутників ABCABC та XYKXYK дотикаються.
10 класГомотерія і подібність
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-19-20-106

Нерівність для добутку чисел 2 − a за умови

Для дійсних чисел aa, bb, cc, dd, що задовольняють умову a+b+c+d=a2+b2+c2+d2a+b+c+d=a^2+b^2+c^2+d^2, доведіть нерівність (2−a)(2−b)(2−c)(2−d)⩾1.(2-a)(2-b)(2-c)(2-d)\geqslant 1.
10 класМетод Штурма
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-19-20-112

Поділ учнів на дві групи з обмеженням на друзів

У школі кожен учень дружить не більше ніж з nn учнями цієї школи. Натуральні числа aa та bb такі, що a+b=n−1a + b = n - 1. Доведіть, що учнів можна розділити на дві групи AA та BB таким чином, що кожен учень із групи AA має не більше ніж aa друзів серед учнів групи AA, а кожен учень із групи BB має не більше ніж bb друзів серед учнів групи BB.
11 класНапівінваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-19-20-113

Рівняння (x + y)f(x + y) = (f(f(x) + f(y)))²

Знайдіть усі такі функції f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, що для довільних дійсних x,y∈Rx, y \in \mathbb{R} справджується рівність (x+y)f(x+y)=(f(f(x)+f(y)))2.(x + y)f(x + y) = (f(f(x) + f(y)))^2.
11 класВластивості ін'єктивність або сюр…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-19-20-093

Пари точок з кругами на діаметрах зі спільною точкою

На площині вибрано 2n2n точок. Доведіть, що їх можна розбити на nn пар таким чином: якщо на двох точках із кожної пари побудувати круг як на діаметрі, то в отриманих nn кругах буде деяка спільна точка, не обов’язково серед вибраних.
8 класГеометричні конфігурації точок
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-19-20-094

Цікаві пари з рівністю простих дільників

Пару натуральних чисел (a,b)(a, b) назвемо цікавою, якщо існує таке натуральне nn, що мінімальний простий дільник числа a+na + n дорівнює максимальному простому дільнику числа b+nb + n. Знайдіть усі цікаві пари натуральних чисел.
8 класПрості числа (базові властивості)
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-19-20-095

Гра у фарбування комірок дошки 2020×2020

На дошці, що складається з 2020×20202020 \times 2020 комірок (клітинок), Андрій та Олеся грають у гру за такими правилами. Спочатку Олеся вибирає «фінальну комірку», після цього Андрій вибирає «початкову комірку», що не має спільних точок з фінальною. Далі Андрій та Олеся по черзі (розпочинає Андрій з вибраної ним початкової комірки) фарбують комірки дошки в блакитний (Андрій) та жовтий (Олеся) кольори за такими правилами. Кожен своїм черговим ходом має фарбувати клітинку, яка має спільну сторону чи вершину з клітинкою, зафарбованою супротивником на попередньому ході, та яка не була раніше зафарбована в жодний з кольорів. Перемагає той, хто зафарбує своїм ходом фінальну комірку, або той, чий супротивник не зможе зробити за правилами черговий хід. а) Які комірки може вибрати Олеся як фінальні, щоб напевно перемогти, незалежно від того, яку комірку як початкову вибере Андрій? б) Для яких комірок, що їх може вибрати Олеся як фінальні, в Андрія існує можливість вибрати початкову комірку таким чином, щоб перемогти самому?
8 класСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-19-20-101

Описаний чотирикутник і прямі A1A2, C1C2, BD

Нехай чотирикутник ABCDABCD описано навколо кола із центром у точці OO. На променях ABAB, ADAD, CBCB та CDCD відклали рівні відрізки AA1AA_1, AA2AA_2, CC1CC_1 та CC2CC_2, довжина яких більша за довжину будь-якої зі сторін чотирикутника ABCDABCD. Виявилося, що точки A1A_1, A2A_2, C1C_1 та C2C_2 лежать на одному колі із центром у точці OO. Доведіть, що прямі A1A2A_1A_2, C1C2C_1C_2 та BDBD перетинаються в одній точці або паралельні.
9 класДотична кола
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-19-20-102

Попарно сполучені міста з чотирьох країн

Існують 44 країни, у кожній з яких є декілька міст. Між містами будь-яких двох різних країн прокладено не менше ніж 56\frac{5}{6} від загальної можливої кількості доріг між цими країнами. Доведіть, що в кожній країні можна вибрати по такому місту, щоб будь-які два міста із цих чотирьох були сполучені дорогою. Примітка. Між будь-якими двома містами можна прокласти не більше ніж одну дорогу.
9 класПідрахунок двома способами
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-19-20-103

Подільність суми факторіалів на суму факторіалів

Для яких натуральних n>1n > 1 існує множина з попарно різних натуральних чисел (a1,a2,…,an)(a_1, a_2, \ldots, a_n), для яких справджується умова (a1+1)!+(a2+1)!+…+(an+1)!⋮a1!+a2!+…+an!?(a_1+1)!+(a_2+1)!+\ldots+(a_n+1)! \vdots a_1!+a_2!+\ldots+a_n!?
9 класМетод затискання між сусідніми зн…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-19-20-108

Поділ відрізка AT симедіаною трикутника PBC

Дано рівнобедрений трикутник ABCABC з основою ACAC, PP — довільна точка на цій основі, TT — проєкція точки PP на сторону BCBC. У якому відношенні симедіана трикутника PBCPBC, проведена з вершини CC, ділить відрізок ATAT? Примітка. Симедіаною трикутника PBCPBC назвемо відрізок CSCS, S∈BPS \in BP, такий, що промінь CSCS є симетричним променеві медіани CFCF відносно променю бісектриси CLCL.
10 класАнтипаралельні прямі
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-19-20-109

Доміно на шахівниці 8×8 та найменша сума чисел

Шахівницю 8×88 \times 8 розбили на фігурки доміно, тобто на прямокутники 1×21 \times 2 та 2×12 \times 1. На кожній такій фігурці записали число, що дорівнює кількості фігурок доміно, які мають з нею спільний відрізок, без урахування самої фігурки. Якого найменшого значення може набувати сума всіх чисел, записаних на шахівниці?
10 класПідрахунок двома способами
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-19-20-110

Подільність a²+b²+1 на 2ab+1 і точний квадрат

Нехай aa та bb — різні натуральні числа такі, що a2+b2+1⋮2ab+1a^2+b^2+1 \vdots 2ab+1. Доведіть, що вираз 2ab+12ab+1 — точний квадрат цілого числа.
10 класСтрибки Вієта
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-19-20-116

Нескінченно багато розв’язків рівняння з оберненими числами

Для деяких цілих невід’ємних чисел mm, nn рівняння 1x1+1x2+…+1xm−1y1−1y2−…−1yn=577408\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\ldots+\frac{1}{x_m}-\frac{1}{y_1}-\frac{1}{y_2}-\ldots-\frac{1}{y_n}=\frac{577}{408} має нескінченно багато розв’язків у натуральних числах x1,x2,…,xmx_1, x_2, \ldots, x_m, y1,y2,…,yny_1, y_2, \ldots, y_n. Доведіть, що рівняння 1x1+1x2+…+1xk−1y1−1y2−…−1yl=577408\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\ldots+\frac{1}{x_k}-\frac{1}{y_1}-\frac{1}{y_2}-\ldots-\frac{1}{y_l}=\frac{577}{408} має розв’язок у натуральних числах x1,x2,…,xkx_1, x_2, \ldots, x_k, y1,y2,…,yly_1, y_2, \ldots, y_l для деяких цілих невід’ємних k<mk < m та l<nl < n.
11 класМетод математичної індукції
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-19-20-117

Числа у вершинах правильного n-кутника з симетричним середнім

У вершинах правильного nn-кутника A1A2…AnA_1A_2\ldots A_n, n⩾6n \geqslant 6, із центром у точці OO треба розставити натуральні числа a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n, не всі однакові, таким чином, щоб для кожної вершини AiA_i існували такі дві вершини AkA_k та AlA_l, симетричні відносно прямої OAiOA_i, що для чисел у цих вершинах справджувалася б рівність ai=12(ak+al)a_i = \frac{1}{2}(a_k + a_l). Для яких n⩾6n \geqslant 6 це можна зробити?
11 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-18-19-002

Рівнобічна трапеція, коло з центром на основі і паралелограм

У рівнобічній трапеції ABCDABCD точка OO — середина основи ADAD. Коло із центром у точці OO та радіусом BOBO дотикається до прямої ABAB. Нехай відрізок ACAC перетинає це коло в точці K≠CK \neq C, а точка MM така, що чотирикутник ABCMABCM — паралелограм. Описане коло трикутника CDMCDM перетинає відрізок ACAC у точці L≠CL \neq C. Доведіть, що AK=CLAK = CL.
8 класДотична кола
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-18-19-004

Гра з простими числами та виграшною стратегією

Том і Джеррі грають у гру, що складається із чотирьох кроків. Крок 1. Том записує зліва направо в рядок через кому деякі 20152015 попарно різних простих чисел у порядку зростання. Добуток PP цих чисел є результатом Тома. Крок 2. Джеррі нижче записує натуральне число QQ. Крок 3. Том проводить вертикальну риску між деякими двома простими числами, записаними ним на кроці 11, та обчислює добуток TT усіх чисел, що опинилися ліворуч від риски. Крок 4. Джеррі отримує свій результат як суму D=T+QD = T + Q. Якщо результати Тома та Джеррі мають НСД, більший за 11, то перемагає Том, інакше — перемагає Джеррі. Хто з них має виграшну стратегію?
8 класКитайська теорема про остачі
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-18-19-019

Максимальна кількість гострокутних трикутників з 2n+1 прямих

На площині накреслено 2n+12n + 1 пряму, жодні дві з них не паралельні та не перпендикулярні. Яка максимальна кількість гострокутних трикутників утворилася при цьому?
10 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-18-19-020

Модуль l для степенів mᵐ, nⁿ і модуля k

Нехай число kk — натуральне. Доведіть, що існує натуральне число ll з такою властивістю: якщо nn та mm — натуральні числа, взаємно прості із числом ll, та mm≡nn(modl)m^m \equiv n^n \pmod{l}, то m≡n(modk)m \equiv n \pmod{k}.
10 класТеорема Ейлера
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-18-19-015

Обхід вершин многокутника стрибками на 2 і -3

Нехай P1P2…PnP_1P_2\ldots P_n — правильний многокутник. Блоха стрибає по вершинах цього многокутника за такими правилами: з вершини PkP_k вона може стрибнути або у вершину Pk+2P_{k+2}, або у вершину Pk−3P_{k-3} (з урахуванням циклічності нумерації). Визначте всі ті значення n⩾3n \geqslant 3, при яких блоха може розпочати стрибки з вершини P1P_1, зробити рівно nn стрибків таким чином, щоб побувати в усіх вершинах многокутника та повернутися у вершину P1P_1.
9 класАрифметика остач (базові властиво…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-18-19-016

Максимальна кількість послідовних членів з НСД більшим за 1

У послідовності натуральних чисел a0,a1,a2,…a_0, a_1, a_2, \ldots, де члени послідовності визначаються таким чином: an=n6−2017a_n = n^6 - 2017, якщо n⋮7n \vdots 7, та an=17(n6−2017)a_n = \frac{1}{7}(n^6 - 2017) інакше. Визначте максимальну кількість послідовних членів послідовності, для яких НСД більший за 1.
9 класНСД та НСК
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-18-19-021

Рівність відрізків RB і RC у трикутнику

У трикутнику ABCABC із центром II вписаного кола середини сторін BCBC, CACA, ABAB позначено через MaM_a, MbM_b, McM_c відповідно, а основи висот — через HaH_a, HbH_b, HcH_c відповідно. Позначимо через lbl_b пряму, що дотикається до описаного кола трикутника ABCABC у точці BB, через lb′l_b' — симетричний образ прямої lbl_b відносно прямої BIBI. Визначимо точки: Pb=MaMc∩lbP_b = M_aM_c \cap l_b та Qb=HaHc∩lb′Q_b = H_aH_c \cap l_b'. Аналогічно визначаємо елементи lcl_c, lc′l_c', PcP_c та QcQ_c. Нехай R=PbQb∩PcQcR = P_bQ_b \cap P_cQ_c. Доведіть, що RB=RCRB = RC.
10 класРадикальна вісь

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.