Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

5 945 задач
Складністьолімпіадний, 12–16
Відбіркові тести на IMOTST-2024-013

Паралельні прямі у конфігурації висот трикутника

Нехай △ABC\triangle ABC — гострокутний трикутник такий, що ∣AB∣<∣AC∣|AB| < |AC|, з описаним колом Γ\Gamma з центром OO. Точки DD, EE і FF побудовано як основи висот, проведених відповідно з AA, BB і CC. Точку перетину дотичних до кола Γ\Gamma, проведених через BB і CC, позначимо PP. Пряма, що проходить через PP перпендикулярно до прямої EFEF, перетинає пряму ADAD в точці QQ. Нехай RR — ортогональна проєкція AA на пряму EFEF. Доведіть, що прямі DRDR і OQOQ паралельні.
10–11 класиГомотерія і подібність2 розв’язки
Італійська математична олімпіадаITAMO-2024-013

Нулі в кінці максимального добутку різних чисел

Нехай NN — найбільше число, яке можна отримати як добуток попарно різних додатних цілих чисел, сума яких дорівнює 20242024. Скількома цифрами «0» закінчується десятковий запис числа NN? (A) 9 (B) 10 (C) 12 (D) 13 (E) 14
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2024-015

Площа смуги біля периметра чотирикутника

Опуклий чотирикутник ABCDABCD такий, що AB=14AB = 14, BC=24BC = 24, CD=26CD = 26 і DA=16DA = 16. Його площа дорівнює 360360. Знайдіть площу області площини всередині чотирикутника, утвореної точками, віддаленими не більше ніж на 33 від його периметра. (A) 100100 (B) 120120 (C) 120+9π120 + 9\pi (D) 156156 (E) 200200
10–11 класиВписане коло
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2024-013

Функціональне рівняння з НСК на натуральних числах

Нехай NN позначає множину натуральних чисел. Знайдіть усі функції f:N→Nf : N \to N такі, що рівність НСК(m,f(m+f(n)))=НСК(f(m),f(m)+n)\text{НСК}(m, f(m + f(n))) = \text{НСК}(f(m), f(m) + n) справджується для будь-яких натуральних чисел mm і nn. Тут для натуральних чисел xx і yy через НСК(x,y)\text{НСК}(x, y) позначається їхнє найменше спільне кратне.
10–11 класиНСД та НСК
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2024-004

Мажоритарне зведення ряду камінців

Нехай 0≤n≤550 \le n \le 5^5 — ціле число. Викладіть у ряд nn чорних камінців і 55−n5^5-n білих камінців та повторіть таку операцію 5 разів: поділіть ряд камінців на групи по 5 камінців зліва направо. Для кожної групи замініть 5 камінців у групі на один камінець того кольору, який трапляється серед них частіше. Знайдіть найменше можливе значення nn, для якого єдиний камінець, що залишиться в кінці, завжди буде чорним незалежно від початкового розташування камінців.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2024-006

Коло, дотичне до сторони та описаного кола

Нехай ABCABC — рівнобедрений трикутник, у якому AB=AC=5AB = AC = 5. Нехай DD — точка на стороні ABAB, така, що AD=3AD = 3, а EE — точка на стороні BCBC (відмінна від кінців BB і CC). Нехай ω\omega — коло, яке проходить через EE і дотикається до прямої ABAB у точці BB. Припустимо, що коло ω\omega дотикається до описаного кола трикутника ADEADE. Нехай FF — точка перетину кола ω\omega і прямої AEAE, відмінна від EE. Знайдіть довжину сторони BCBC, якщо CF=10CF = 10.
10–11 класиКола, що дотикаються
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2024-007

Прості числа й цілі числа, що дають повний квадрат

Знайдіть кількість пар (p,a)(p, a) простого числа pp та цілого числа aa таких, що p≥3p \ge 3, 1≤a≤20241 \le a \le 2024, і виконується така умова: a<p4a < p^4 і число ap4+2p3+2p2+1ap^4 + 2p^3 + 2p^2 + 1 є повним квадратом.
10–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2024-010

Функція з трикутниками та найменша сума значень

Нехай NN — множина натуральних чисел. Функція f:N→Nf: N \to N задовольняє умову f(34)=2024f(34) = 2024, і для будь-яких натуральних чисел a,b,ca, b, c існує трикутник зі сторонами a+f(b)a+f(b), b+f(c)b+f(c), c+f(a)c+f(a). Знайдіть найменше можливе значення f(100)+f(101)+⋯+f(199)f(100) + f(101) + \dots + f(199) за цих умов. Зауважимо, що три точки, які лежать на одній прямій, не утворюють трикутника.
10–11 класиМетод допоміжних функцій: g(x) =…
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2024-001

Знакозмінна сума з цілими частинами

Нехай aa, bb, cc, dd — попарно взаємно прості додатні непарні числа. Для натурального nn покладемо f(n)=⌊na⌋+⌊nb⌋+⌊nc⌋+⌊nd⌋.f(n) = \lfloor \frac{n}{a} \rfloor + \lfloor \frac{n}{b} \rfloor + \lfloor \frac{n}{c} \rfloor + \lfloor \frac{n}{d} \rfloor. Доведіть, що ∑n=1abcd(−1)f(n)=1.\sum_{n=1}^{abcd} (-1)^{f(n)} = 1.
10–11 класиКитайська теорема про остачі
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2024-002

Оптимальний вибір цукерок з обмеженнями на коробки

Нехай n(≥2)n (\ge 2) — натуральне число. Аліса розкладає 2n2n цукерок у 4n4n коробок B1,B2,…,B4nB_1, B_2, \dots, B_{4n}. Подивившись, скільки цукерок Аліса поклала в кожну коробку, Боб вибирає 2n2n коробок Bk1,Bk2,…,Bk2nB_{k_1}, B_{k_2}, \dots, B_{k_{2n}} із 4n4n коробок, які задовольняють таку умову, і забирає всі цукерки з вибраних коробок. ki−ki−1∈{1,3} для кожного i=1,2,…,2n, і k2n=4n. (k0=0)k_i - k_{i-1} \in \{1, 3\} \text{ для кожного } i = 1, 2, \dots, 2n, \text{ і } k_{2n} = 4n.\ (k_0 = 0) Аліса забирає всі цукерки з 2n2n коробок, які Боб не вибрав. Якщо Аліса і Боб дотримуються своїх найкращих стратегій, щоб взяти якомога більше цукерок, скільки цукерок зможе взяти Аліса?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2024-005

Найбільше значення знакозмінної суми перестановки

Нехай n(≥4)n (\ge 4) — натуральне число, а a1,a2,…,ana_1, a_2, \dots, a_n — попарно різні натуральні числа, не більші за nn. Знайдіть найбільше значення ∑i=1n∣ai−ai+1+ai+2−ai+3∣.\sum_{i=1}^{n} |a_i - a_{i+1} + a_{i+2} - a_{i+3}|. (an+i=aia_{n+i} = a_i для i=1,2,3i = 1, 2, 3)
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2024-006

Межа подільності частки Ферма

Покажіть, що існує додатне ціле число KK таке, що для будь-якого простого числа p>Kp > K кількість цілих чисел 1≤a≤p1 \le a \le p таких, що ap−1−1a^{p-1} - 1 ділиться на p2p^2, менша або дорівнює p22024\frac{p}{2^{2024}}.
10–11 класиКількість дільників τ(n)
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2024-007

Трапецієподібні числа з точок

Точкова трапеція складається з кількох рядів точок так, що кожен ряд містить на одну точку більше, ніж ряд безпосередньо над ним (крім верхнього ряду). Наприклад, ось точкова трапеція з 15 точок, у якій 3 ряди і 4 точки у верхньому ряді. Натуральне число nn називається трапецієподібним числом, якщо існує точкова трапеція, що складається рівно з nn точок, з принаймні двома рядами і принаймні двома точками у верхньому ряді. Скільки існує трапецієподібних чисел, менших за 100?
10–11 класиАрифметична прогресія2 розв’язки
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2024-011

Дотичні до вписаного кола та відображені відрізки

Нехай ω\omega — вписане коло різностороннього трикутника ABCABC. Нехай ω\omega дотикається до сторін ABAB і ACAC у точках XX і YY. Нехай X′X' і Y′Y' — точки на відрізках ABAB і ACAC відповідно такі, що AX′=XBAX' = XB і AY′=YCAY' = YC. Нехай пряма CX′CX' перетинає ω\omega у точках P,QP, Q так, що PP ближча до CC, ніж QQ. Також нехай RR — точка перетину прямих CX′CX' і BY′BY'. Доведіть, що CP=RX′CP = RX'.
10–11 класиГомотерія і подібність
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2024-012

Розфарбування решітки без прямокутників

Деякі з 80960 точок цілочисельної решітки 40×202440 \times 2024 пофарбовано в червоний колір. Відомо, що жодні чотири червоні точки решітки не є вершинами прямокутника зі сторонами, паралельними осям решітки. Яка найбільша можлива кількість червоних точок у решітці?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбірковий тест на BxMO та EGMOBXTST-2023-001

Набрані бали дорівнюють кількості помилок

Нехай n≥1n \ge 1 — ціле число. Рубен складає тест із nn запитань. Кожне запитання цього тесту оцінюється в різну кількість балів. Перше запитання оцінюється в 11 бал, друге запитання — у 22, третє — у 33 і так далі аж до останнього запитання, яке оцінюється в nn балів. На кожне запитання можна відповісти або правильно, або неправильно. Тобто за відповідь на запитання можна отримати або всі бали, у які оцінюється запитання, або жодного з них. Нехай f(n)f(n) — кількість способів скласти тест так, щоб кількість набраних балів дорівнювала кількості запитань, на які він відповів неправильно. Чи існує нескінченно багато пар (a,b)(a, b), де a<ba < b і f(a)=f(b)f(a) = f(b)?
10–11 класиБієкції
Відбірковий тест на BxMO та EGMOBXTST-2023-002

Перестановки без нерухомих точок із заданим порядком

Ми граємо в гру «музичні стільці» з nn стільцями, пронумерованими від 11 до nn. Ви прикріплюєте nn листочків з номерами від 11 до nn до стільців так, щоб номер на листочку не збігався з номером стільця, до якого його прикріплено. На кожен стілець сідає по одному гравцю. Щоразу, коли ви плескаєте в долоні, кожен гравець дивиться на номер на листочку, прикріпленому до його поточного місця, і пересідає на місце з цим номером. Доведіть, що для будь-якого mm, яке не є степенем простого числа і задовольняє 1<m≤n1 < m \le n, можна прикріпити листочки до місць так, щоб після mm плескань усі вперше повернулися на стільці, з яких вони починали.
10–11 класиПерестановки
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2023-003

Нерівність із висотами й колом дев’яти точок

Гострокутний трикутник — це трикутник, у якого всі кути менші за 90∘90^{\circ} (90∘90^{\circ} — прямий кут). Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з висотами ADAD, BEBE і CFCF, що перетинаються в точці HH. Коло, яке проходить через точки DD, EE і FF, перетинає ADAD, BEBE і CFCF повторно в точках XX, YY і ZZ відповідно. Доведіть таку нерівність: AHDX+BHEY+CHFZ≥3\frac{AH}{DX} + \frac{BH}{EY} + \frac{CH}{FZ} \geq 3
10–11 класиКоло Ейлера (коло 9 точок)
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2023-004

Образи множин дільників під дією многочлена

Нехай f(x)f(x) — неконстантний многочлен із цілими коефіцієнтами такий, що f(1)≠1f(1) \neq 1. Для натурального числа nn позначимо через divs⁡(n)\operatorname{divs}(n) множину додатних дільників числа nn. Натуральне число mm є ff-крутим, якщо існує натуральне число nn, для якого f[divs⁡(m)]=divs⁡(n)f[\operatorname{divs}(m)]=\operatorname{divs}(n) Доведіть, що для будь-якого такого ff існує лише скінченна кількість ff-крутих чисел. (Позначення f[S]f[S] для деякої множини SS означає множину {f(s):s∈S}\{f(s): s \in S\}.)
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2023-005

Найбільша незалежна множина за обмеження на розріз

У країні з nn містами є кілька двосторонніх доріг, що сполучають певні пари міст. Хтось помітив, що як би не поділити країну на дві частини, між цими двома частинами буде не більше ніж knk n доріг (де kk — фіксоване натуральне число). Яке найбільше ціле число mm (виражене через nn і kk) таке, що гарантовано існує множина з mm міст, жодні два з яких не сполучені дорогою безпосередньо?
10–11 класиСтепені вершин
Нідерландська юніорська математична олімпіадаDJMO-2023-011

Множина із властивістю замкненості відносно різниці

В Ікрама є велика миска з маленькими кульками. На кожній кульці написано натуральне число. Якщо він навмання витягає три кульки з миски й бере різницю між найбільшим і найменшим числами на цих трьох кульках, то виявляється, що результат завжди також є на одній із кульок у мисці (або на одній із трьох кульок, які він щойно витягнув). Він завжди повертає кульки назад у миску. Ікрам точно знає, що в мисці є кульки з числами 33, 66 і 20232023. Щонайменше скільки кульок є в мисці?
7–9 класиОстача від ділення
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2023-003

Число із заданою різницею з крабом

Крабом натурального числа називається число, яке дістанемо, записавши його цифри у зворотному порядку. Наприклад, краб числа 82678267 дорівнює 76287628, а краб числа 1562015620 дорівнює 26512651 (оскільки початковий нуль завжди відкидається). Яке найменше натуральне число nn таке, що nn мінус краб числа nn дорівнює 1234567812345678?
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-042

Гра з розфарбуванням і максимізація одноколірних пар

Анна і Батіст грають у таку гру. На початку гри перед ними лежать 2022 білі клітинки, пронумеровані від 1 до 2022. Потім, по черзі, починаючи з Анни, вони вибирають білу клітинку і фарбують її в колір за власним вибором: або в червоний, або в синій. Гра закінчується через 2022 ходи, тобто в момент, коли остання біла клітинка буде зафарбована. Рахунок Анни тоді дорівнює кількості цілих чисел a⩽2019a \leqslant 2019 таких, що обидві клітинки з номерами aa і a+3a+3 одного кольору. Анна хоче отримати якомога більший рахунок; Батіст хоче, щоб рахунок Анни був якомога меншим. Який найбільший рахунок Анна може собі гарантувати незалежно від ходів, які обере Батіст?
8–10 класиЖадібний алгоритм
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-045

Завершення адитивного процесу з коробками

Аліса розставила 200 коробок у своїй вітальні. Кожна коробка містить папірець, на якому вона написала натуральне число; 200 чисел не обов'язково різні. Щохвилини, поки це можливо, Аліса виконує дію такого вигляду: вона вибирає три коробки, що містять числа a,ba, b і cc такі, що a+b=ca+b=c, а також довільно вибирає ціле число k⩾2k \geqslant 2; потім вона замінює число cc на число k×ck \times c. Якщо вона більше не може виконати таку дію, вона зупиняється остаточно. Доведіть, що, якими б не були початкова ситуація та вибори Аліси, вона буде змушена зупинитися в певний момент.
8–10 класиНапівінваріанти
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-050

Рівняння n² = 17x⁴ - 32x²y² + 41y⁴

Знайдіть усі трійки цілих чисел (x,y,n)(x, y, n) таких, що n2=17x4−32x2y2+41y4n^{2}=17 x^{4}-32 x^{2} y^{2}+41 y^{4}.
8–10 класиМетод нескінченного спуску

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.