Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

5 945 задач
Складністьолімпіадний, 12–16
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2023-013

Функціональне рівняння на множині без −1

Нехай DD — множина дійсних чисел, крім −1-1. Знайдіть усі функції f:D→Df: D \rightarrow D такі, що для всіх x,y∈Dx, y \in D, які задовольняють x≠0x \neq 0 і y≠−xy \neq -x, виконується рівність (f(f(x))+y)f(yx)+f(f(y))=x(f(f(x)) + y) f\left(\frac{y}{x}\right) + f(f(y)) = x
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2023-012

Мінімальна кількість купок після об'єднання камінців

Нехай nn — натуральне число. Кіміко починає з nn купок камінців, у кожній з яких по одному камінцю. Вона може взяти рівну кількість камінців з двох наявних купок і об'єднати вилучені камінці, щоб створити нову купку. Визначте залежно від nn найменшу кількість непорожніх купок, яка може залишитися в Кіміко наприкінці.
10–11 класиОстача від ділення
Американський запрошувальний математичний іспит (AIME)AIME-2022-007

Мінімізація відношення добутків різних цифр

Нехай aa, bb, cc, dd, ee, ff, gg, hh, ii — різні цілі числа від 11 до 99. Найменше можливе додатне значення виразу a⋅b⋅c−d⋅e⋅fg⋅h⋅i\frac{a \cdot b \cdot c - d \cdot e \cdot f}{g \cdot h \cdot i} можна записати у вигляді mn\frac{m}{n}, де mm і nn — взаємно прості натуральні числа. Знайдіть m+nm+n.
10–11 класиМетод оцінок, що веде до малого п…
Відбірковий тест на BxMO та EGMOBXTST-2022-002

Найбільша кількість покупців з різним походженням риби

На рибному базарі є 10 яток, кожна з яких продає ті самі 10 видів риби. Кожну рибину виловлено або в Північному морі, або в Середземному морі, і в кожній ятці для кожного виду риби є риба лише одного походження. Деяка кількість, скажімо kk, покупців купує рівно по одній рибині в кожній ятці так, що вони отримують рівно по одній рибині кожного виду. Ба більше, для кожної пари покупців існує вид риби, риба якого в цих двох покупців різного походження. Розглянемо всі можливі способи постачання яток за вищенаведеними правилами. Яке найбільше можливе значення kk?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2022-003

Максимальне остаточне значення при операціях на дошці

Нехай n≥2n \geq 2 — ціле число. Спочатку число 11 написано на дошці nn разів. Щохвилини Вішал вибирає два числа, написані на дошці, скажімо aa і bb, стирає їх і записує або a+ba+b, або min⁡{a2,b2}\min \{a^{2}, b^{2}\}. Через n−1n-1 хвилин на дошці залишається одне число. Нехай найбільше можливе значення цього остаточного числа дорівнює f(n)f(n). Доведіть, що 2n/3<f(n)≤3n/32^{n / 3}<f(n) \leq 3^{n / 3}
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2022-004

Розфарбування областей, утворених прямими

Нехай nn — натуральне число. Множина з nn різних прямих розбиває площину на різні (можливо, необмежені) області. Множина прямих називається «гарною», якщо жодні три прямі не перетинаються в одній точці. «Розфарбуванням» називається призначення кожній області двох кольорів так, що перший колір — з множини {A1,A2}\{A_{1}, A_{2}\}, а другий колір — з множини {B1,B2,B3}\{B_{1}, B_{2}, B_{3}\}. Гарна множина прямих називається «розфарбовуваною», якщо існує розфарбування таке, що 1. жоден колір не призначено двом областям, які мають спільне ребро; 2. для кожних i∈{1,2}i \in \{1,2\} і j∈{1,2,3}j \in \{1,2,3\} існує принаймні одна область, якій призначено обидва кольори AiA_{i} і BjB_{j}. Визначте всі nn, для яких кожна гарна конфігурація з nn прямих є розфарбовуваною.
10–11 класиГеометричні розфарбування
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2022-002

Цілі середні значення столітніх множин

Множина, яка складається щонайменше з двох різних натуральних чисел, називається столітньою, якщо її найбільший елемент дорівнює 100100. Розглядатимемо середнє арифметичне всіх чисел столітньої множини, яке називатимемо середнім цієї множини. Наприклад, середнє столітньої множини {1,2,20,100}\{1, 2, 20, 100\} дорівнює 1234\frac{123}{4}, а середнє столітньої множини {74,90,100}\{74, 90, 100\} дорівнює 8888. Визначте всі цілі числа, які можуть траплятися як середнє деякої столітньої множини.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-028

Факторіали на одиницю більші за добуток

Знайдіть усі натуральні числа aa, bb і cc, для яких існують натуральні числа xx, yy і zz такі, що x!=ab+1x! = a b + 1, y!=bc+1y! = b c + 1 і z!=ca+1z! = c a + 1. Зауваження: Для будь-якого натурального числа nn число n!n! позначає добуток 1×2×⋯×n1 \times 2 \times \cdots \times n.
8–10 класиМіркування за модулем
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-001

Перша цифра степенів двійки з частотою не більше n/17

Для довільного цілого k⩾0k \geqslant 0 позначимо через aka_{k} першу цифру числа 2k2^{k}, записаного в десятковій системі. Наприклад, a5=3a_{5}=3 — перша цифра числа 25=322^{5}=32. Нехай n⩾1n \geqslant 1 — ціле число. Доведіть, що серед цифр від 1 до 9 є така, що вона дорівнює щонайбільше n/17n / 17 з nn цифр a0,a1,a2,…,an−1a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n-1}.
9–11 класиПідрахунок двома способами3 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-002

Бісектриса кута в паралелограмі з центроїдом

Нехай ABCDABCD — паралелограм, а GG — точка перетину медіан трикутника ABDABD. Нехай PP і QQ — точки прямої (BD)(BD) такі, що прямі (GP)(GP) і (PC)(PC) перпендикулярні, а прямі (GQ)(GQ) і (QC)(QC) перпендикулярні. Доведіть, що пряма (AG)(AG) є бісектрисою кута PAQ^\widehat{PAQ}.
9–11 класиТеорема про тризуб
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-003

Найменше число з трьома дільниками із сумою 2022

Кажуть, що ціле число n⩾1n \geqslant 1 є ніппонським, якщо воно має три дільники d1,d2d_{1}, d_{2} і d3d_{3} такі, що 1⩽d1<d2<d31 \leqslant d_{1}<d_{2}<d_{3} і d1+d2+d3=2022d_{1}+d_{2}+d_{3}=2022. Яке найменше ніппонське ціле число?
9–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-041

Послідовні числа із заданими найбільшими простими дільниками

Нехай pp і qq — два різні прості числа, такі, що p<2qp < 2q і q<2pq < 2p. Доведіть, що існують два послідовні цілі числа, одне з яких має pp як найбільший простий дільник, а інше має qq як найбільший простий дільник.
8–10 класиЛінійні діофантові рівняння
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-042

Конкурентність прямих у паралелограмі з колами

Нехай ABCDABCD — паралелограм такий, що AC=BCAC = BC. Нехай PP — точка на продовженні відрізка [AB][AB] за точку BB. Нехай QQ — точка перетину, відмінна від DD, відрізка [PD][PD] з описаним колом трикутника ACDACD. Нехай далі RR — точка перетину, відмінна від PP, відрізка [PC][PC] з описаним колом трикутника APQAPQ. Доведіть, що прямі (AQ)(AQ), (BR)(BR) і (CD)(CD) перетинаються в одній точці.
8–10 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-043

Найбільше не $n$-розфарбовне коло

Нехай mm і nn — цілі числа такі, що m>n⩾3m > n \geqslant 3. Моргана розташувала mm фішок по колу і збирається пофарбувати їх, використовуючи nn різних кольорів. Вона хоче, щоб серед будь-яких n+1n+1 послідовних фішок завжди була принаймні одна фішка кожного з nn кольорів. Якщо вона може цього досягти, то кажуть, що ціле число mm є nn-розфарбовним. Доведіть, що для будь-якого цілого n⩾3n \geqslant 3 існує лише скінченна ненульова кількість цілих чисел mm, які не є nn-розфарбовними, і знайдіть найбільше ціле число mm, яке не є nn-розфарбовним.
8–10 класиКонструкція через періодичність
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-005

Сума дійсних чисел із симетричною умовою

Нехай x,y,zx, y, z — додатні дійсні числа такі, що x+yz=y+zx=z+xy=2x+\frac{y}{z}=y+\frac{z}{x}=z+\frac{x}{y}=2 Знайдіть усі можливі значення, яких може набувати число x+y+zx+y+z.
8–10 класиНерівність Коші
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-052

Мінімальна сума цілих частин для перестановки

Перестановкою цілих чисел від 11 до 20222022 називається послідовність σ=(σ1,…,σ2022)\sigma = (\sigma_{1}, \ldots, \sigma_{2022}) така, що кожен елемент множини {1,…,2022}\{1, \ldots, 2022\} збігається рівно з одним членом σi\sigma_{i}. Яке найменше можливе значення може набувати сума ⌊a11⌋+⌊a22⌋+…+⌊a20222022⌋\left\lfloor\frac{a_{1}}{1}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{a_{2}}{2}\right\rfloor+\ldots+\left\lfloor\frac{a_{2022}}{2022}\right\rfloor коли цілі числа a1,a2,…,a2022a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2022} утворюють перестановку цілих чисел від 11 до 20222022?
10–11 класиМетод математичної індукції
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-021

Трикутники з трьох кольорів між n цвяхами

Нехай n⩾1n \geqslant 1 — натуральне число. На стіні забито nn цвяхів. Кожна пара цвяхів з'єднана мотузкою, пофарбованою в один з nn кольорів. Кажуть, що стіна пофарбована, якщо для будь-якої трійки попарно різних кольорів a,b,ca, b, c існують три цвяхи такі, що три мотузки, які їх з'єднують, мають кольори a,ba, b і cc. - Чи існує пофарбована стіна для n=6n=6? - Чи існує пофарбована стіна для n=7n=7?
8–10 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-054

Мінімальні блокувальні множини на сітці

Нехай n⩾2n \geqslant 2 — ціле число. Жаба пересувається по дошці з 3n×3n3n \times 3n клітинок, стрибаючи щоразу з клітинки на клітинку, розташовану безпосередньо вище або безпосередньо праворуч. Вона хоче дістатися з лівого нижнього кута, позначеного SS, до правого верхнього кута, позначеного FF. На жаль, деякі клітинки заміновані, і якщо жаба стрибне на таку клітинку, вона залишиться там у пастці. Кажуть, що множина замінованих клітинок є блокувальною, якщо вона заважає жабі дістатися з клітинки SS до клітинки FF. Кажуть також, що блокувальна множина є мінімальною, якщо щойно ми знімаємо міну з однієї з клітинок цієї множини, наша множина перестає бути блокувальною. Наприклад, чорні клітинки на дошці нижче утворюють мінімальну блокувальну множину. a) Доведіть, що існує мінімальна блокувальна множина, яка містить принаймні 3n(n−1)3n(n-1) клітинок. b) Доведіть, що будь-яка мінімальна блокувальна множина містить не більше 3n23n^{2} клітинок.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…2 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-024

Дотичні до кола і рівність кутів

Нехай Γ\Gamma — коло, а PP — точка поза колом Γ\Gamma. Дотичні до кола Γ\Gamma, проведені з PP, дотикаються до кола Γ\Gamma в точках AA і BB. Нехай KK — точка на відрізку [AB][AB], відмінна від AA і BB. Описане коло трикутника PBKPBK перетинає коло Γ\Gamma повторно в точці TT. Нехай P′P' — точка, симетрична точці PP відносно точки AA. Доведіть, що PBT^=P′KA^\widehat{\mathrm{PBT}} = \widehat{\mathrm{P}'\mathrm{KA}}.
8–10 класиЦентральні і вписані кути
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-025

Циклічні точки в побудові з паралелограмом

Нехай ABCDABCD — паралелограм. Пряма dd, що проходить через CC, перетинає прямі (AB)(AB) і (AD)(AD) відповідно в точках XX і YY. Дотичні в точках XX і YY до описаного кола трикутника AXYAXY перетинаються в точці TT, а пряма (CT)(CT) повторно перетинає описане коло трикутника CDYCDY в точці PP. Доведіть, що точки A,B,DA, B, D і PP лежать на одному колі.
9–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-027

Множини з n розбиттями на частини з рівною сумою

Нехай nn — невід’ємне ціле число. Скінченну множину цілих чисел назвемо nn-збалансованою, якщо існує рівно nn способів розбити її на дві підмножини з однаковою сумою. Наприклад, множина {1,3,4,5,6,7}\{1,3,4,5,6,7\} є 2-збалансованою, оскільки єдині способи розбити її на дві підмножини з однаковою сумою — це розбити її на {1,3,4,5}\{1,3,4,5\} і {6,7}\{6,7\} або ж на {1,5,7}\{1,5,7\} і {3,4,6}\{3,4,6\}. Знайдіть усі цілі числа n⩾0n \geqslant 0, для яких існує nn-збалансована множина.
9–11 класиМетод оцінок, що веде до малого п…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-014

Коло дільників з простими відношеннями

Кажуть, що два цілі числа a,b∈N⋆a, b \in \mathbb{N}^{\star} пов'язані, якщо існує просте число pp таке, що a=pba = p b або b=pab = p a. Знайти всі цілі числа n⩾1n \geqslant 1, які мають таку властивість: можна записати всі додатні дільники числа nn (1 і nn включно) рівно по одному разу по колу так, щоб кожен дільник був пов'язаний з кожним зі своїх двох сусідів?
10–11 класиПарність і непарність
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-006

Фіксована точка рухомих хорд

Нехай ABCABC — трикутник, у якому AB<ACAB < AC. Нехай ω\omega — коло, що проходить через BB і CC, причому точка AA лежить усередині кола ω\omega. Нехай XX і YY — точки кола ω\omega такі, що BXA^=AYC^\widehat{BX A} = \widehat{A Y C}. Припустимо, що XX і CC лежать по різні боки від прямої (AB)(AB) і що YY і BB лежать по різні боки від прямої (AC)(AC). Доведіть, що коли XX і YY змінюються на колі ω\omega, пряма (XY)(XY) проходить через фіксовану точку.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола2 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-018

Вкладання нормованих послідовностей у відрізок

Дійсна послідовність a1,…,aka_{1}, \ldots, a_{k} вкладається у відрізок [b,c][b, c], якщо існують дійсні числа x0,…,xkx_{0}, \ldots, x_{k} з [b,c][b, c] такі, що ∣xi−xi−1∣=ai\left|x_{i}-x_{i-1}\right|=a_{i} для k⩾i⩾1k \geqslant i \geqslant 1. Послідовність називається нормованою, якщо всі її члени не перевищують 1. 1) Доведіть, що для будь-якого цілого n⩾1n \geqslant 1 кожна нормована послідовність довжини 2n+12n+1 вкладається у відрізок [0,2−12n][0, 2-\frac{1}{2^{n}}]. 2) Доведіть, що для будь-якого цілого n⩾1n \geqslant 1 існує нормована послідовність довжини 4n+34 n+3, яка не вкладається у відрізок [0,2−12n][0,2-\frac{1}{2^{n}}].
10–11 класиМетод математичної індукції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-001

Нескінченний добуток із факторіальними показниками

Чи є ∏k=0∞(1−12022k!)\prod_{k=0}^{\infty}\left(1-\frac{1}{2022^{k!}}\right) раціональним?
10–11 класиСистеми числення

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.