Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

5 945 задач
Складністьолімпіадний, 12–16
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2022-007

Перестановки з умовами подільності

Скільки існує перестановок (p1,p2,…,p1000)(p_1, p_2, \dots, p_{1000}) множини {1,2,…,1000}\{1, 2, \dots, 1000\} таких, що pip_i кратне ii для кожного 1≤i≤9991 \le i \le 999?
10–11 класиПерестановки
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2022-008

Підмножина без пар дільників

Знайдіть кількість способів вибрати 2525 різних цілих чисел від 11 до 5050 так, щоб жодне з вибраних чисел не було дільником іншого.
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2022-009

Парність суми цифр і подільність суми степенів

Для кожного натурального числа nn визначимо f(n)f(n) так: f(n)={n100(якщо сума цифр n парна),−n100(якщо сума цифр n непарна).f(n) = \begin{cases} n^{100} & \text{(якщо сума цифр $n$ парна)}, \\ -n^{100} & \text{(якщо сума цифр $n$ непарна)}. \end{cases} Нехай S=f(1)+f(2)+⋯+f(10100−1)S = f(1) + f(2) + \dots + f(10^{100} - 1). Знайдіть найбільше невід'ємне ціле число mm таке, що SS ділиться на 5m5^m. (Можна без доведення скористатися тим фактом, що SS відмінне від нуля.)
10–11 класиФормула біном Ньютона
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2022-010

Трикутник з ортоцентром і умовою на описане коло

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник зі сторонами AB=11AB = 11, AC=10AC = 10, ортоцентр позначено через HH, а середину сторони BCBC — через MM. Точка PP всередині трикутника ABCABC лежить на описаному колі трикутника BHCBHC і задовольняє умови ∠ABP=∠CPM\angle ABP = \angle CPM, PM=3PM = 3. Знайдіть довжину BCBC.
10–11 класиТочка перетину висот
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2022-004

Біноміальні коефіцієнти в лінійному рекурентному співвідношенні

Послідовність x1,x2,x3,…x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots задано умовами x1=2022x_{1} = 2022 і xn+1=7xn+5x_{n + 1} = 7x_{n} + 5 для всіх натуральних чисел nn. Знайдіть найбільше натуральне число mm таке, що xn(xn−1)(xn−2)…(xn−m+1)m!\frac{x_{n}(x_{n}-1)(x_{n}-2)\ldots(x_{n}-m+1)}{m!} ніколи не кратне 77 для жодного натурального числа nn.
10–11 класиФакторизація біноміальних коефіці…2 розв’язки
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2022-009

Круговий турнір з різницею у два очки

Круговий турнір — це турнір, у якому кожна команда грає з кожною іншою рівно один раз. У такому турнірі беруть участь п’ять команд, які отримують: 3 очки за перемогу, 1 очко за нічию та 0 очок за поразку. Наприкінці турніру команди посідають місця з першого до останнього відповідно до кількості очок. (а) Чи можливо, щоб наприкінці турніру усі команди мали різну кількість очок, причому кожна команда, крім останньої, мала рівно на два очки більше, ніж наступна за нею команда? (б) Чи можливо це, якщо в турнірі замість п’яти команд буде шість?
10–11 класиПідрахунок двома способами
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2022-010

Рівняння з коренями і раціональним доданком

Знайдіть усі дійсні числа xx такі, що −1<x≤2-1 < x \leq 2 і 2−x+2+2x=x4+1x2+1+x+3x+1.\sqrt{2 - x} + \sqrt{2 + 2x} = \sqrt{\frac{x^{4} + 1}{x^{2} + 1}} + \frac{x + 3}{x + 1}.
10–11 класиНерівність Коші
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2022-002

Непарні степені за модулем степеня двійки

Нехай nn — натуральне число. Доведіть, що числа 11,33,55,…,(2n−1)2n−11^{1}, 3^{3}, 5^{5}, \ldots,\left(2^{n}-1\right)^{2^{n}-1} дають попарно різні остачі при діленні на 2n2^{n}.
10–11 класиМетод математичної індукції
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2022-004

Розфарбування кола з умовою на послідовні групи

Нехай n≥3n \geq 3 — ціле число. Анналена має нескінченно багато коров'ячих дзвіночків кожного з nn різних кольорів. Для цілого числа m≥n+1m \geq n+1 і групи з mm корів, що стоять у колі, вона має пов'язати кожній корові на шию по одному дзвіночку так, щоб будь-яка група з n+1n+1 послідовних корів мала дзвіночки всіх можливих nn кольорів. Доведіть, що існує лише скінченно багато значень mm, для яких це неможливо, та знайдіть найбільше таке mm (виразіть його через nn).
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2022-006

Перпендикулярність інцентрів на стороні трикутника

Нехай ABCABC — трикутник, а PP — внутрішня точка сторони BCBC. Нехай I1I_{1} та I2I_{2} — інцентри трикутників APBAPB і APCAPC відповідно. Нехай XX — найближча до AA точка на прямій APAP така, що відрізок XI1XI_{1} перпендикулярний до відрізка XI2XI_{2}. Доведіть, що відстань AXAX не залежить від вибору PP.
10–11 класиВписане коло
Американські математичні змагання 10 (AMC 10)AMC10-2021-027

Рівні кулі, що дотикаються всередині конуса

Усередині прямого кругового конуса, радіус основи якого 55, а висота 1212, розміщено три рівні кулі, кожна радіуса rr. Кожна куля дотикається двох інших куль, а також основи й бічної поверхні конуса. Чому дорівнює rr? (A) 32\frac{3}{2} (B) 90−40311\frac{90 - 40\sqrt{3}}{11} (C) 22 (D) 144−25344\frac{144 - 25\sqrt{3}}{44} (E) 52\frac{5}{2}
8–10 класиОсновна властивість бісектриси
Американські математичні змагання 10 (AMC 10)AMC10-2021-020

Вписані в квадрат прямокутники

Прямокутник зі сторонами 11 і 33, квадрат зі стороною 11 і прямокутник RR вписані в більший квадрат, як показано на рисунку. Суму всіх можливих значень площі прямокутника RR можна записати у вигляді mn\frac{m}{n}, де mm і nn — взаємно прості натуральні числа. Чому дорівнює m+nm + n? (A) 14 (B) 23 (C) 46 (D) 59 (E) 67
8–10 класиЛанцюжок подібних трикутників
Відбірковий тест на BxMO та EGMOBXTST-2021-002

Розподіл каменів між коробками з обмеженою місткістю

Джессі та Тьєрд грають у гру. У Джессі є n≥2n \ge 2 каменів. Є дві коробки: чорна вміщує половину каменів (із округленням униз), а біла — половину каменів (із округленням угору). Джессі та Тьєрд ходять почергово, причому першим ходить Джессі. Своїм ходом Джессі бере новий камінь, пише на ньому додатне дійсне число і кладе його в одну з коробок, яка ще не заповнена. Тьєрд бачить усі числа на каменях у кожній із коробок і може перемістити один камінь на свій вибір до іншої коробки, якщо та інша коробка ще не заповнена, але може й нічого не робити. Гра закінчується, коли обидві коробки заповнені. Якщо сума чисел на каменях у чорній коробці більша за суму чисел на каменях у білій коробці, то перемагає Джессі; інакше перемагає Тьєрд. Визначте для кожного n≥2n \ge 2, хто з них має виграшну стратегію (і наведіть її).
10–11 класиІнші інваріанти
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2021-002

Пари гостей, що спілкуються за круглим столом

На званій вечері є NN господарів і NN гостей, які сидять навколо круглого столу, причому N≥4N \geq 4. Двоє гостей спілкуватимуться між собою, якщо або між ними сидить не більше однієї особи, або між ними сидять рівно двоє людей, принаймні один з яких є господарем. Доведіть, що як би не посадили цих 2N2N людей за стіл, принаймні NN пар гостей спілкуватимуться між собою.
10–11 класиРозбиття на випадки
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2021-003

Нерухомі точки канадських функцій

Функція ff з натуральних чисел у натуральні числа називається канадською, якщо вона задовольняє рівність НСД(f(f(x)),f(x+y))=НСД(x,y)\text{НСД}(f(f(x)), f(x+y)) = \text{НСД}(x, y) для всіх пар натуральних чисел xx і yy. Знайдіть усі натуральні числа mm такі, що f(m)=mf(m) = m для всіх канадських функцій ff.
10–11 класиНСД та НСК
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2021-002

Мінімальна довжина комбі-числа

Ціле число nn називається комбі-числом, якщо кожна пара різних цифр із множини всіх можливих цифр від 00 до 99 трапляється в його записі принаймні один раз як сусідні цифри. Наприклад, у комбі-числі цифри 33 і 55 мають десь стояти поруч. Не має значення, чи вони йдуть у порядку 3535, чи 5353. Домовимося, що комбі-число ніколи не починається з цифри 00. Яка найменша можлива кількість цифр комбі-числа?
10–11 класиШляхи на графах
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2021-016

Збалансований турнір із забороненими четвірками

Розглянемо спортивні турніри з n≥4n \ge 4 командами-учасницями, де кожна пара команд грає між собою щонайбільше один раз. Назвемо такий турнір збалансованим, якщо будь-які чотири команди-учасниці грають між собою рівно три матчі. Отже, не всі команди грають одна проти одної. Визначте найбільше значення nn, для якого існує збалансований турнір з nn командами.
10–11 класиСтепені вершин
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2021-008

Мінімальна кількість ходів до 2021

На дошці написано число 11. Хід полягає в тому, що число на дошці стирають і замінюють його подвоєним числом або числом на один меншим. Наприклад, 11 можна замінити на 22 (подвоєння) або 00 (на один менше), а якщо на дошці 55, то його можна замінити на 1010 або 44. Яка найменша кількість ходів потрібна, щоб написати на дошці число 20212021? A) 1414 B) 1515 C) 1616 D) 1717 E) 1818
10–11 класиРетроспективний алгоритм
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-003

Опуклий п'ятикутник з прямими кутами

Нехай ABCDEA B C D E — опуклий п'ятикутник такий, що ABE^=ACE^=ADE^=90∘\widehat{A B E}=\widehat{A C E}=\widehat{A D E}=90^{\circ} і BC=CDB C=C D. Нарешті, нехай KK — точка на промені [AB)[A B) така, що AK=ADA K=A D, а LL — точка на промені [ED)[E D) така, що EL=BEE L=B E. Доведіть, що точки B,D,KB, D, K і LL належать одному колу з центром CC.
8–10 класиТеорема про тризуб
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-025

Бісектриси в паралелограмі

Нехай ABCDABCD — паралелограм. Внутрішня бісектриса кута BAC^\widehat{BAC} перетинає відрізок [BC][BC] у точці EE, а його зовнішня бісектриса перетинає пряму (CD)(CD) у точці FF. Нехай MM — середина відрізка [AE][AE]. Доведіть, що прямі (EF)(EF) і (BM)(BM) паралельні.
9–11 класиОсновна властивість бісектриси4 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-011

Справедливі програми повторення

Для підготовки до останнього тесту POFM року Жан-Батист і Марі-Одиль зібрали 100 математичних задач і беруться за складання програми повторення. Протягом 100 днів, які відділяють їх від тесту POFM, кожен має опрацьовувати по одній задачі на день. Позначимо через xx кількість задач, які Жан-Батист опрацював строго раніше за Марі-Одиль, а через yy кількість задач, які Марі-Одиль опрацювала строго раніше за Жан-Батиста. Нарешті, кажемо, що програма повторення є справедливою, якщо x=yx=y. Доведіть, що існує принаймні 100!×(250+(50!)2)100!\times\left(2^{50}+(50!)^{2}\right) справедливих програм.
8–10 класиПерестановки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-013

Перпендикулярність із бісектрисами кутів у трикутнику

Нехай ABCABC — трикутник такий, що 90∘>ABC^>BCA^90^{\circ} > \widehat{ABC} > \widehat{BCA}. Нехай DD — точка на відрізку [BC][BC] така, що 2DAC^=ABC^−BCA^2 \widehat{DAC} = \widehat{ABC} - \widehat{BCA}. Позначимо через EE точку перетину, відмінну від AA, прямої (AB)(AB) з описаним колом ACDACD, а через PP — точку перетину прямої (AB)(AB) з бісектрисою кута BDE^\widehat{BDE}. Аналогічно позначимо через FF точку перетину, відмінну від AA, прямої (AC)(AC) з описаним колом ABDABD, а через QQ — точку перетину прямої (AC)(AC) з бісектрисою кута CDF^\widehat{CDF}. Доведіть, що прямі (AB)(AB) і (PQ)(PQ) перпендикулярні.
8–10 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-014

Показникове рівняння зі степенями простих чисел

Знайдіть усі трійки натуральних чисел (a,b,c)(a, b, c) такі, що 2021a+4=3b×5c2021^{a}+4=3^{b} \times 5^{c}
8–10 класиМетод факторизації (розкладання н…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-015

Опуклий многокутник з рівним поділом кутів

Нехай P1P2…P2021P_{1} P_{2} \ldots P_{2021} — опуклий многокутник з 2021 вершиною такий, що для кожної вершини PiP_{i} 2018 діагоналей, що виходять з PiP_{i}, ділять кут P^i\widehat{P}_{i} на 2019 рівних кутів. Доведіть, що P1P2…P2021P_{1} P_{2} \ldots P_{2021} — правильний многокутник, тобто многокутник, у якого всі кути мають однакову величину, а всі сторони мають однакову довжину.
8–10 класиЛінійні рекурентні послідовності
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-017

Симетричні точки A і кола що дотикаються

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник, у якого кути при BB і при DD тупі, а кути при AA і при CC рівні між собою. Нехай EE і FF — точки, симетричні до AA відносно прямих (BC)(BC) і (CD)(CD). Нехай KK і LL — точки перетину прямої (BD)(BD) з прямими (AE)(AE) і (AF)(AF). Доведіть, що описані кола трикутників BEKBEK і DFLDFL дотикаються одне до одного.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.