Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

5 945 задач
Складністьолімпіадний, 12–16
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-114

Комплексні числа з рівними модулями

Нехай xx, yy і zz — комплексні числа з рівними модулями, які задовольняють x+y+z=−32−i5x + y + z = -\frac{\sqrt{3}}{2} - i \sqrt{5} і xyz=3+i5.xyz = \sqrt{3} + i \sqrt{5}. Якщо x=x1+ix2x = x_1 + i x_2, y=y1+iy2y = y_1 + i y_2 і z=z1+iz2z = z_1 + i z_2 для дійсних x1x_1, x2x_2, y1y_1, y2y_2, z1z_1 і z2z_2, то (x1x2+y1y2+z1z2)2\left(x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2\right)^2 можна записати у вигляді ab\frac{a}{b} для взаємно простих натуральних чисел aa і bb. Обчисліть 100a+b100a + b.
10–11 класиКомплексні числа
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-124

Коло з рівнобедреним прямокутним трикутником

Нехай OO та AA — дві точки на площині, причому OA=30OA = 30, а Γ\Gamma — коло з центром OO радіуса rr. Припустімо, що існують дві точки BB і CC на колі Γ\Gamma такі, що ∠ABC=90∘\angle ABC = 90^{\circ} і AB=BCAB = BC. Обчисліть найменше можливе значення ⌊r⌋\lfloor r \rfloor.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-099

Маршрути без самоперетинів на точках кола

На колі вибрано вісім точок, позначених P1,P2,…,P8P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{8} за годинниковою стрілкою. Маршрутом називається послідовність із принаймні двох точок Pa1,Pa2,…,PanP_{a_{1}}, P_{a_{2}}, \ldots, P_{a_{n}} така, що якби мураха відвідувала ці точки в заданому порядку, починаючи з Pa1P_{a_{1}} і закінчуючи в PanP_{a_{n}}, рухаючись по n−1n-1 прямолінійних відрізках (кожен з яких з'єднує PaiP_{a_{i}} і Pai+1P_{a_{i+1}}), вона ніколи не відвідала б жодну точку двічі й не перетнула б власний шлях. Знайдіть кількість маршрутів.
10–11 класиРекурентний підрахунок2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-026

Найменша множина S з властивістю про цілі частини

Для кожного додатного дійсного числа α\alpha означимо ⌊αN⌋:={⌊αm⌋∣m∈N}\lfloor \alpha \mathbb{N} \rfloor := \{ \lfloor \alpha m \rfloor \mid m \in \mathbb{N} \} Нехай nn — натуральне число. Множина S⊆{1,2,…,n}S \subseteq \{1,2, \ldots, n\} має властивість: для кожного дійсного β>0\beta > 0, якщо S⊆⌊βN⌋, то {1,2,…,n}⊆⌊βN⌋\text{якщо } S \subseteq \lfloor \beta \mathbb{N} \rfloor, \text{ то } \{1,2, \ldots, n\} \subseteq \lfloor \beta \mathbb{N} \rfloor Знайдіть, з доведенням, найменший можливий розмір SS.
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-027

Гра на парність із ходами сумою та добутком

Пол і Сара грають у гру з цілими числами на дошці, першим ходить Пол. Коли черга Пола, він може вибрати будь-які два цілі числа на дошці й замінити їх їхнім добутком; коли черга Сари, вона може вибрати будь-які два цілі числа на дошці й замінити їх їхньою сумою. Гра триває, доки на дошці не залишиться рівно одне ціле число. Пол перемагає, якщо це число непарне, а Сара перемагає, якщо воно парне. Спочатку на дошці є 2021 ціле число, кожне з яких вибрано рівномірно випадково з множини {0,1,2,3,…,2021}\{0,1,2,3, \ldots, 2021\}. За умови, що обидва гравці грають оптимально, ймовірність того, що Пол переможе, дорівнює mn\frac{m}{n}, де m,nm, n — натуральні числа й НСД(m,n)=1\text{НСД}(m, n)=1. Знайдіть остачу від ділення m+nm+n на 1000.
10–11 класиВиграшні та програшні позиції: ан…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-125

Максимальний прямокутний трикутник у дотичних колах

Два кола з радіусами 7171 і 100100 дотикаються ззовні. Обчисліть найбільшу можливу площу прямокутного трикутника, кожна вершина якого лежить принаймні на одному з кіл.
10–11 класиЕкстремальні геометричні конструк…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-135

Заповнення дошки з умовою на квадрати 2×2

Обчисліть кількість способів заповнити кожну клітинку квадратної дошки 8×88 \times 8 однією з літер H,MH, M або TT так, щоб кожен квадрат 2×22 \times 2 у дошці містив літери H,M,M,TH, M, M, T у деякому порядку.
10–11 класиРозбиття на випадки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-028

Реп'юніт 111111 з потрібною кількістю простих дільників

Обчисліть добуток усіх натуральних чисел b≥2b \geq 2, для яких число 111111b111111_{b}, записане в системі числення з основою bb, має рівно bb різних простих дільників.
10–11 класиМетод оцінок, що веде до малого п…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-029

Подільність тричлена і сума за дільниками

Нехай NN — найменше натуральне число, для якого x2+x+1ділить166−∑d∣N,d>0xdx^{2}+x+1 \quad \text{ділить} \quad 166-\sum_{d \mid N, d>0} x^{d} Знайдіть остачу від ділення NN на 10001000.
10–11 класиМногочлени ділення кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-136

Шляхи на решітці, що обмежують область під прямою

Шлях угору-вправо між двома точками цілочисельної решітки PP і QQ — це шлях з PP до QQ, який складається з кроків довжини 1: або вгору, або вправо. Скільки існує шляхів угору-вправо з (0,0)(0,0) до (7,7)(7,7), які при зображенні на площині разом із прямою y=x−2.021y = x - 2.021 обмежують рівно одну обмежену область під цією прямою?
10–11 класиБієкції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-100

Вписаний п'ятикутник з рівними хордами

ABCDEABCDE — опуклий вписаний п'ятикутник, причому AC=BD=CEAC = BD = CE. Діагоналі ACAC і BDBD перетинаються в точці XX, а діагоналі BDBD і CECE перетинаються в точці YY. Якщо AX=6AX = 6, XY=4XY = 4 і YE=7YE = 7, то площа п'ятикутника ABCDEABCDE може бути записана у вигляді abc\frac{a \sqrt{b}}{c}, де a,b,ca, b, c — цілі числа, cc додатне, bb вільне від квадратів, а НСД(a,c)=1\text{НСД}(a, c) = 1. Знайдіть 100a+10b+c100a + 10b + c.
10–11 класиВідношення площ трикутників
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-116

Монічний кубічний многочлен з непарною симетрією

Нехай ff — монічний многочлен третього степеня, такий, що f(x)+f(−x)=0f(x)+f(-x)=0 для всіх дійсних чисел xx. Для всіх дійсних чисел yy визначимо g(y)g(y) як кількість різних дійсних розв'язків xx рівняння f(f(x))=yf(f(x))=y. Припустімо, що множина можливих значень g(y)g(y) для всіх дійсних чисел yy — це в точності {1,5,9}\{1,5,9\}. Обчисліть суму всіх можливих значень f(10)f(10).
10–11 класиМногочлени третього степеня
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-126

Трапеція з перетином діагоналі й описаного кола

Нехай ABCDABCD — трапеція з AB∥CDAB \parallel CD і AD=BDAD = BD. Нехай MM — середина сторони ABAB, а P≠CP \neq C — друга точка перетину описаного кола △BCD\triangle BCD з діагоналлю ACAC. Припустимо, що BC=27BC = 27, CD=25CD = 25 і AP=10AP = 10. Якщо MP=abMP = \frac{a}{b} для взаємно простих натуральних чисел aa і bb, обчисліть 100a+b100a + b.
10–11 класиКоло і подібність2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-137

Несиметрична монета і три орли поспіль

Джуд раз за разом підкидає монету. Якщо він уже підкинув nn орлів, то монета падає орлом з імовірністю 1n+2\frac{1}{n+2} і решкою з імовірністю n+1n+2\frac{n+1}{n+2}. Якщо Джуд підкидає монету необмежено довго, нехай pp — імовірність того, що в деякий момент випадуть 3 орли поспіль. Обчисліть ⌊180p⌋\lfloor 180 p\rfloor.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-107

Рівносторонній трикутник у вкладених квадратах

Нехай nn — відповідь до цієї задачі. Нехай квадрат ABCDABCD має довжину сторони 33. Побудовано конгруентні квадрати EHGFEHGF і IHJKIHJK, що не перекриваються, зі стороною n6\frac{n}{6} так, що точки AA, CC і HH лежать на одній прямій, EE лежить на стороні BCBC, а II лежить на стороні CDCD. Відомо, що AJGAJG — рівносторонній трикутник. Тоді площа трикутника AJGAJG дорівнює a+bca + b \sqrt{c}, де aa, bb, cc — натуральні числа, причому cc не ділиться на квадрат жодного простого числа. Знайдіть a+b+ca + b + c.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-127

Радіус описаного кола за хордою та відношенням

Гострокутний трикутник ABCABC вписано в коло Γ\Gamma. Нехай MM — середина сторони BCBC. Точки PP і QQ лежать на колі Γ\Gamma так, що ∠APM=90∘\angle APM = 90^{\circ} і Q≠AQ \neq A лежить на прямій AMAM. Відрізки PQPQ і BCBC перетинаються в точці SS. Припустімо, що BS=1BS = 1, CS=3CS = 3, PQ=8737PQ = 8 \sqrt{\frac{7}{37}}, а радіус кола Γ\Gamma дорівнює rr. Якщо суму всіх можливих значень r2r^2 можна записати як ab\frac{a}{b} для взаємно простих натуральних чисел aa і bb, обчисліть 100a+b100a + b.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-033

Максимізація добутку при фіксованій сумі

Нехай a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} — послідовність різних натуральних чисел така, що a1+a2+⋯+an=2021a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=2021 і добуток a1a2⋯ana_{1} a_{2} \cdots a_{n} є найбільшим можливим. Якщо M=a1a2⋯anM=a_{1} a_{2} \cdots a_{n}, обчисліть найбільше натуральне число kk таке, що 2k∣M2^{k} \mid M.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-040

Рекурсивно задана функція та значення f(1000, 3²⁰²¹)

Нехай f:Z2→Zf: \mathbb{Z}^2 \rightarrow \mathbb{Z} — функція така, що для всіх натуральних чисел aa і bb, f(a,b)={b якщо a>bf(2a,b) якщо a≤b і f(2a,b)<af(2a,b)−a інакше f(a, b)= \begin{cases}b & \text{ якщо } a>b \\ f(2 a, b) & \text{ якщо } a \leq b \text{ і } f(2 a, b)<a \\ f(2 a, b)-a & \text{ інакше }\end{cases} Обчисліть f(1000,32021)f\left(1000,3^{2021}\right).
10–11 класиОстачі від великих степенів
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-041

Рівність AY = XY на дотичній до вписаного кола

У трикутнику ABCA B C довжини сторін AB=19A B=19, BC=20B C=20 і CA=21C A=21. Точки XX і YY вибрано на сторонах ABA B і ACA C відповідно так, що AY=XYA Y = X Y і XYX Y дотикається до вписаного кола △ABC\triangle A B C. Якщо довжину відрізка AXA X можна записати як ab\frac{a}{b}, де aa і bb — взаємно прості натуральні числа, обчисліть 100a+b100 a + b.
10–11 класиЗовнівписане коло
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-077

Ферзі, що атакують один одного на шаховій дошці

На шаховій дошці ферзь атакує кожне поле, до якого він може дістатися зі свого поточного поля ходом уздовж рядка, стовпця або діагоналі, не проходячи через інше поле, зайняте шаховою фігурою. Знайдіть кількість способів, якими три нерозрізнювані ферзі можна розмістити на шаховій дошці 8×88 \times 8 так, щоб кожен ферзь атакував обох інших.
10–11 класиРозбиття на випадки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-044

Визначення попарно взаємно простих чисел запитами добутків

Боб знає, що Аліса має 20212021 таємних натуральних чисел x1,…,x2021x_{1}, \ldots, x_{2021}, які є попарно взаємно простими. Боб хоче дізнатися числа Аліси. Йому дозволено вибрати множину S⊆{1,2,…,2021}S \subseteq \{1,2, \ldots, 2021\} і запитати в неї добуток чисел xix_{i} для всіх i∈Si \in S. Аліса мусить правдиво відповідати на кожен запит Боба, а Боб може використовувати попередні відповіді Аліси для вибору наступного запиту. Обчисліть найменшу кількість запитів, потрібну Бобу, щоб гарантовано визначити кожне з чисел Аліси.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-045

Проєкції еліпсоїда з екстремальними площами

Нехай EE — тривимірний еліпсоїд. Для площини pp нехай E(p)E(p) — проєкція еліпсоїда EE на площину pp. Найменша і найбільша площі E(p)E(p) дорівнюють 9π9 \pi та 25π25 \pi, а також існує така площина pp, що E(p)E(p) є кругом площі 16π16 \pi. Якщо VV — об'єм еліпсоїда EE, обчисліть V/πV / \pi.
10–11 класиЕкстремальні геометричні конструк…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-046

Строго зростаюча функція з квадратичною рекурсією

Нехай f:N→Nf: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} — строго зростаюча функція така, що f(1)=1f(1)=1 і f(2n)f(2n+1)=9f(n)2+3f(n)f(2 n) f(2 n+1)=9 f(n)^2+3 f(n) для всіх n∈Nn \in \mathbb{N}. Обчисліть f(137)f(137).
10–11 класиМетод математичної індукції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-047

Математичне сподівання периметра перерізу куба

Нехай PP — точка, обрана навмання рівномірно в кубі [0,1]3[0,1]^3. Площина, паралельна до площини x+y+z=0x+y+z=0, що проходить через PP, перетинає куб у двовимірній області R\mathcal{R}. Нехай tt — математичне сподівання периметра області R\mathcal{R}. Якщо t2t^2 можна записати у вигляді ab\frac{a}{b}, де aa і bb — взаємно прості натуральні числа, обчисліть 100a+b100a+b.
10–11 класиГомотерія і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-048

Добутки підмножин за модулем 100

Нехай nn — натуральне число. Клаудіо має nn карток, кожна позначена різним числом від 11 до nn. Він бере підмножину цих карток і перемножує числа, написані на картках. Він зауважує, що для будь-якого натурального числа mm можна вибрати деяку підмножину карток так, щоб різниця між їхнім добутком і mm ділилася на 100100. Знайдіть найменше можливе значення nn.
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.