Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

5 945 задач
Складністьолімпіадний, 12–16
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-049

Ґратчасті трикутники з обмеженням на площу

Нехай PP — множина точок {(x,y)∣0≤x,y≤25,x,y∈Z}\{(x, y) \mid 0 \leq x, y \leq 25, x, y \in \mathbb{Z}\} а TT — множина трикутників, утворених вибором трьох різних точок із множини PP (повороти, відбиття та паралельні перенесення вважаються різними трикутниками). Обчисліть кількість трикутників із множини TT, площа яких більша за 300.
10–11 класиПлоща трикутника
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-084

Дільники, розбиті на три множини з рівними сумами

Знайдіть найменше натуральне число nn таке, що дільники числа nn можна розбити на три множини з рівними сумами.
10–11 класиСума дільників σ(n)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-050

Середній час досягнення кратного у випадковому процесі

Кароліна починає з числа 11, і щосекунди вона підкидає симетричну монету: якщо випадає герб, вона додає 11 до свого числа, а якщо випадає решка — множить своє число на 22. Обчисліть математичне сподівання кількості секунд, за які її число стане кратним 20212021.
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-051

Корені суми на одиничному колі

Обчисліть кількість комплексних чисел zz, для яких ∣z∣=1|z|=1 і виконується рівність 1+z5+z10+z15+z18+z21+z24+z27=01+z^{5}+z^{10}+z^{15}+z^{18}+z^{21}+z^{24}+z^{27}=0
10–11 класиМногочлени ділення кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-052

Порівну білих і чорних шкарпеток

Роджер спочатку має 20 шкарпеток у шухляді, кожна з яких або біла, або чорна. Він навмання (рівноймовірно) вибирає шкарпетку із шухляди і викидає її. Він повторює цю дію, доки не залишиться порівну білих і чорних шкарпеток. Припустимо, що ймовірність того, що він зупиниться до того, як шкарпетки закінчаться, дорівнює pp. Якщо сума всіх різних можливих значень pp за всіма початковими комбінаціями шкарпеток дорівнює ab\frac{a}{b} для взаємно простих натуральних чисел aa і bb, обчисліть 100a+b100 a+b.
10–11 класиІнші інваріанти
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-053

Трикутник з умовами на кути і середину

У гострокутному трикутнику ABCA B C точка OO — центр описаного кола, а MM — середина сторони BCB C. Нехай PP — єдина точка, для якої ∠BAP=∠CAM\angle B A P = \angle C A M, ∠CAP=∠BAM\angle C A P = \angle B A M і ∠APO=90∘\angle A P O = 90^\circ. Якщо AO=53A O = 53, OM=28O M = 28 і AM=75A M = 75, обчисліть периметр △BPC\triangle B P C.
10–11 класиІнверсія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-089

Рівносторонній трикутник з умовою на кут і довжину

Точка PP лежить всередині рівностороннього трикутника ABCABC так, що ∠BPC=120∘\angle BPC = 120^{\circ} і AP2=BP+CPAP \sqrt{2} = BP + CP. Відношення APAB\frac{AP}{AB} можна записати у вигляді abc\frac{a \sqrt{b}}{c}, де a,b,ca, b, c — цілі числа, cc додатне, bb вільне від квадратів, а НСД(a,c)=1\text{НСД}(a, c) = 1. Знайдіть 100a+10b+c100a + 10b + c.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-055

Оцінка відношення найбільших простих дільників

Нехай f(n)f(n) — найбільший простий дільник числа nn. Оцініть N=⌊104⋅∑n=2106f(n2−1)∑n=2106f(n)⌋.N = \left\lfloor 10^{4} \cdot \frac{\sum_{n=2}^{10^{6}} f\left(n^{2}-1\right)}{\sum_{n=2}^{10^{6}} f(n)} \right\rfloor. Оцінка EE принесе max⁡(0,⌊20−20(∣E−N∣103)1/3⌋)\max \left(0,\left\lfloor 20-20\left(\frac{|E-N|}{10^{3}}\right)^{1 / 3}\right\rfloor\right) балів.
10–11 класиРозподіл простих чисел
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-056

Випадкове блукання зі спадними кроками

Джефф гуляє числовою прямою протягом 40 хвилин, починаючи з точки 0. На nn-й хвилині він підкидає чесну монету. Якщо випадає герб, він проходить 1n\frac{1}{n} у додатному напрямі, а якщо випадає решка — проходить 1n\frac{1}{n} у від'ємному напрямі. Нехай pp — імовірність того, що він ніколи не покине проміжок [−2,2][-2,2]. Оцініть N=⌊104p⌋N=\left\lfloor 10^{4} p\right\rfloor. Оцінка EE отримає max⁡(0,⌊20−20(∣E−N∣160)1/3⌋)\max \left(0,\left\lfloor 20-20\left(\frac{|E-N|}{160}\right)^{1 / 3}\right\rfloor\right) балів.
10–11 класиРозбиття на випадки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-057

Очікувана площа опуклої оболонки випадкових точок решітки

З множини {1,2,3,4,5,6}2\{1,2,3,4,5,6\}^2 рівномірно навмання вибрано множину з 6 різних точок цілочисельної решітки. Нехай AA — математичне сподівання площі опуклої оболонки цих 6 точок. Оцініть N=⌊104A⌋N=\left\lfloor 10^4 A\right\rfloor. Оцінка EE отримає max⁡(0,⌊20−20(∣E−N∣104)1/3⌋)\max \left(0,\left\lfloor 20-20\left(\frac{|E-N|}{10^4}\right)^{1 / 3}\right\rfloor\right) балів.
10–11 класиДискретні набори точок та прямих…
Відбіркові тести на IMOTST-2021-026

Розфарбування вершин правильного 100-кутника

Нехай вершини правильного 100-кутника PP пофарбовано або в червоний, або в синій колір так, що кожен колір трапляється принаймні 24 рази. Доведіть, що існує 24 попарно неперетинні чотирикутники Q1,Q2,…,Q24Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{24}, вершини яких є також вершинами PP, такі, що кожен чотирикутник QiQ_{i} має або одну, або три червоні вершини.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Відбіркові тести на IMOTST-2021-005

Розфарбування покриття доміно за рядками

Нехай mm і nn — натуральні числа, для яких mnmn парне. Єтце збирається покрити дошку m×nm \times n (тобто таку, що складається з mm рядків і nn стовпців) кісточками доміно так, щоб кожна кісточка доміно покривала рівно дві клітинки, кісточки доміно не виступали за межі дошки і не перекривалися, а всі клітинки були покриті кісточкою доміно. Потім Мерлін пофарбує всі кісточки доміно на дошці в червоний або синій колір. Знайдіть найменше невід'ємне ціле число VV (залежне від mm і nn) таке, що Мерлін завжди може забезпечити, щоб у кожному рядку кількість клітинок, покритих червоною кісточкою доміно, і кількість клітинок, покритих синьою кісточкою доміно, відрізнялися щонайбільше на VV, як би Єтце не покрив дошку.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2021-002

Баланс кольорів рядків при замощенні доміно

Нехай mm і nn — натуральні числа, для яких mnmn парне. Єтце збирається покрити дошку m×nm \times n (з mm рядками та nn стовпцями) кісточками доміно так, щоб кожна кісточка доміно покривала рівно дві клітинки, кісточки доміно не виходили за межі дошки й не накладалися одна на одну, а кожна клітинка була покрита кісточкою доміно. Після цього Мерлейн збирається пофарбувати всі кісточки доміно на дошці або в червоний, або в синій колір. Знайдіть найменше невід'ємне ціле число VV (залежне від mm і nn) таке, що Мерлейн завжди може забезпечити, щоб у кожному рядку кількість клітинок, покритих червоною кісточкою доміно, і кількість клітинок, покритих синьою кісточкою доміно, відрізнялися не більш ніж на VV, хоч би як Єтце покрив дошку.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Відбіркові тести на IMOTST-2021-003

Рівні відрізки на прямій через перетин дотичних кіл

Нехай Γ\Gamma — описане коло трикутника ABCABC, а DD — точка на відрізку BCBC. Коло, що проходить через BB і DD та дотикається до кола Γ\Gamma, і коло, що проходить через CC і DD та дотикається до кола Γ\Gamma, перетинаються в точці E≠DE \neq D. Пряма DEDE перетинає Γ\Gamma у двох точках, XX і YY. Доведіть, що ∣EX∣=∣EY∣|EX| = |EY|.
10–11 класиКола, що дотикаються
Відбіркові тести на IMOTST-2021-030

Сума ділить симетричну суму добутків

Знайдіть усі цілі числа s≥4s \ge 4, для яких існують натуральні числа a,b,c,da, b, c, d такі, що s=a+b+c+ds = a+b+c+d і ss ділить abc+abd+acd+bcdabc + abd + acd + bcd.
10–11 класиМіркування за модулем
Відбіркові тести на IMOTST-2021-029

Рівнобедрений трикутник з прямими кутами і колінеарними точками

У рівнобедреному трикутнику ABCABC з BC‾=CA‾\overline{BC}=\overline{CA} нехай DD — внутрішня точка сторони ABAB, для якої AD‾<DB‾\overline{AD}<\overline{DB}. Далі нехай PP і QQ — внутрішні точки сторін BCBC та CACA відповідно, такі, що ∠DPB=∠AQD=90∘\angle DPB=\angle AQD=90^{\circ}. Серединний перпендикуляр до відрізка PQPQ перетинає CQCQ у точці EE, а описані кола трикутників ABCABC і QPCQPC перетинаються, крім CC, ще в одній точці FF. Доведіть: якщо P,EP, E і FF колінеарні, то ∠ACB=90∘\angle ACB=90^{\circ}.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2021-007

Гра з розміщенням пішаків на дошці

Прікл і Стінг грають у гру на дошці m×nm \times n, де mm і nn — натуральні числа. Вони ходять по черзі, причому першим ходить Прікл. Прікл своїм ходом повинен поставити пішака на клітинку, на якій пішака ще немає. Стінг своїм ходом також повинен поставити пішака на клітинку, на якій пішака ще немає, але додатково його пішак повинен стояти на клітинці, сусідній до клітинки, на яку Прікл поставив свого пішака попереднім ходом. Стінг виграє, щойно вся дошка буде повністю заповнена пішаками. Прікл виграє, якщо Стінг не може поставити пішака своїм ходом, тоді як на дошці залишається принаймні одна порожня клітинка. Визначте для всіх пар (m,n)(m, n) натуральних чисел, хто з Прікла та Стінга має виграшну стратегію.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Відбіркові тести на IMOTST-2021-011

Виграшна стратегія гри на прямокутній дошці

Стекел і Прік грають у гру на дошці m×nm \times n, де mm і nn — натуральні числа. Вони ходять по черзі, причому починає Стекел. Своїм ходом Стекел ставить пішака на клітинку, де ще немає пішака. Прік своїм ходом робить те саме, але його пішак завжди має потрапляти на клітинку, що спільною стороною межує з клітинкою, куди Стекел щойно поставив пішака своїм попереднім ходом. Прік перемагає, якщо вся дошка заповниться пішаками. Стекел перемагає, якщо Прік своїм ходом уже не може поставити пішака, хоча на дошці ще є принаймні одна порожня клітинка. Визначте для всіх пар (m,n)(m, n), хто має виграшну стратегію.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Відбіркові тести на IMOTST-2021-009

Попарні суми та вирази x² + y² + 6xy

Знайдіть усі четвірки (x1,x2,x3,x4)(x_1, x_2, x_3, x_4) дійсних чисел, які є розв’язками такої системи з шести рівнянь: \begin{align*} x_1 + x_2 &= x_3^2 + x_4^2 + 6x_3x_4, \\ x_1 + x_3 &= x_2^2 + x_4^2 + 6x_2x_4, \\ x_1 + x_4 &= x_2^2 + x_3^2 + 6x_2x_3, \\ x_2 + x_3 &= x_1^2 + x_4^2 + 6x_1x_4, \\ x_2 + x_4 &= x_1^2 + x_3^2 + 6x_1x_3, \\ x_3 + x_4 &= x_1^2 + x_2^2 + 6x_1x_2. \end{align*}
10–11 класиСиметричні системи рівнянь
Відбіркові тести на IMOTST-2021-010

Острови, мости та умова подільності

Для кожного простого pp десь у мультивсесвіті існує королівство, що складається з pp островів, пронумерованих від 11 до pp, з мостом між будь-якою парою з них. Коли Яна відвідує королівство, через коронавірусні обмеження вона мусить дотримуватися такого правила: безпосередньо після відвідування острова mm вона може перейти на острів nn лише тоді, коли p∣(m2−n+1)(n2−m+1)p \mid (m^{2}-n+1)(n^{2}-m+1) Доведіть, що існує нескінченно багато таких королівств, що Яна не може в такий спосіб дістатися до кожного острова.
10–11 класиЗв’язність
Відбіркові тести на IMOTST-2021-027

Дотичні кола у конструкції з паралелограмом

Нехай ABCDABCD — опуклий паралелограм з гострим кутом при AA. Точки, симетричні AA відносно прямих BCBC і CDCD, позначимо PP і QQ відповідно. Крім того, пряма BDBD перетинає відрізки AP‾\overline{AP} і AQ‾\overline{AQ} у внутрішніх точках RR і SS відповідно. Доведіть, що описані кола трикутників BRPBRP і DQSDQS дотикаються.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2021-014

Відбиття центра описаного кола на сторону

Нехай ABCABC — гострокутний нерівнобедрений трикутник з ортоцентром HH. Нехай OO — центр описаного кола трикутника ABCABC, а KK — центр описаного кола трикутника AHOAHO. Доведіть, що образ точки KK при симетрії відносно прямої OHOH лежить на прямій BCBC.
10–11 класиСиметрія
Відбіркові тести на IMOTST-2021-017

Відбиття центра описаного кола відносно прямої Ейлера

Нехай ABCABC — гострокутний нерівнобедрений трикутник з ортоцентром HH. Нехай OO — центр описаного кола трикутника ABCABC, а KK — центр описаного кола трикутника AHOAHO. Доведіть, що відбиття точки KK відносно прямої OHOH лежить на прямій BCBC.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Відбіркові тести на IMOTST-2021-018

Замощення доміно з максимальним покриттям

На прямокутній дошці, що складається з m×nm \times n клітинок (m,n≥3m, n \ge 3), розміщено доміно (плитки 2×12 \times 1 або 1×21 \times 2), які не перекриваються одне з одним. Кожне доміно покриває рівно дві клітинки дошки. Припустімо, що доміно розміщено так, що на дошку не можна покласти жодного додаткового доміно, і не всі чотири кутові клітинки дошки є порожніми. Доведіть, що принаймні 23\frac{2}{3} клітинок дошки покрито доміно.
10–11 класиБієкції
Відбіркові тести на IMOTST-2021-020

Максимальне покриття дошки доміно

На прямокутній дошці розміром m×nm \times n клітинок (m,n≥3m, n \geq 3) лежать доміно (2×12 \times 1 або 1×21 \times 2-плитки), які не перекриваються і не виступають за межі дошки. Кожне доміно покриває рівно дві клітинки дошки. Припустимо, що покриття доміно має властивість, що жодне додаткове доміно вже не можна покласти на дошку, і що чотири кутові клітинки дошки не всі порожні. Доведіть, що принаймні 23\frac{2}{3} клітинок дошки покрито доміно.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.