Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

5 945 задач
Складністьолімпіадний, 12–16
Відбіркові тести на IMOTST-2021-019

Трикутник зі сторонами, помноженими на степені

Знайдіть усі натуральні числа nn з такою властивістю: для кожної трійки (a,b,c)(a, b, c) додатних дійсних чисел існує трійка (k,ℓ,m)(k, \ell, m) невід’ємних цілих чисел така, що ank,bnℓ,cnman^k, bn^\ell, cn^m є довжинами сторін (невиродженого) трикутника.
10–11 класиЖадібний алгоритм
Відбіркові тести на IMOTST-2021-022

Числа з квадратною сумою дільників

Назвемо натуральне число дивакуватим, якщо сума його додатних дільників є квадратом. Доведіть, що існує нескінченно багато дивакуватих чисел.
10–11 класиСума дільників σ(n)
Відбіркові тести на IMOTST-2021-023

Многочлени з умовою про зсунуті корені

Знайдіть усі многочлени PP з дійсними коефіцієнтами без кратних коренів, такі, що для будь-якого комплексного числа zz рівність zP(z)=1z P(z)=1 виконується тоді й лише тоді, коли P(z−1)P(z+1)=0P(z-1) P(z+1)=0.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Відбіркові тести на IMOTST-2021-024

Факторіали, що діляться на квадрат плюс один

Доведіть, що існує нескінченно багато натуральних чисел nn таких, що n2+1∣n!n^{2}+1 \mid n!
10–11 класиМетод факторизації (розкладання н…2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2021-025

Парні функції з функціональним рівнянням

Знайдіть усі парні функції g:R→Rg: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, для яких існує функція f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} така, що для всіх x,y∈Rx, y \in \mathbb{R} g(f(x)+y)=g(x)+g(y)+yf(x+f(x))g(f(x)+y)=g(x)+g(y)+y f(x+f(x))
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2021-017

Носії нулів серед кратних квадратів

Натуральне число mm називається носієм нулів, якщо існує натуральне число kk таке, що - kk — повний квадрат, - kk кратне mm, - десятковий запис числа kk містить принаймні 2021 цифру 0, але остання цифра (крайня справа) відмінна від 0. Знайдіть усі натуральні числа — носії нулів.
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2021-019

Вартові, що охороняють точки сітки

Сітка складається з n×nn \times n точок, де nn — натуральне число. У деяких із цих точок розміщено по вартовому. Кожен вартовий вибирає два взаємно перпендикулярні напрями (серед напрямів рядків і стовпців сітки) і охороняє всі точки, що лежать у вибраних напрямах. Кожен вартовий охороняє також клітину, яку займає, а вартові, що стоять на краю, залежно від вибраних напрямів можуть дивитися й у порожнечу. Наприклад, на рисунку нижче, що відповідає розміщенню 5 вартових у сітці 4×44 \times 4, вартові в A,B,C,D,EA, B, C, D, E охороняють відповідно 1,3,4,5,71,3,4,5,7 точок; точки DD та EE охороняються лише одним вартовим, точка CC охороняється 2 вартовими, точки A,BA, B та FF охороняються 3 вартовими. a) Доведіть, що можна розмістити 12 вартових у сітці 4×44 \times 4 так, щоб кожна точка сітки охоронялася не більше ніж 2 вартовими. b) Нехай S(n)S(n) — найбільша кількість вартових, яку можна розмістити в сітці n×nn \times n так, щоб кожна точка сітки охоронялася не більше ніж 2 вартовими. Доведіть, що 3n≤S(n)≤4n3 n \leq S(n) \leq 4 n для всіх n≥3n \geq 3.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2021-020

Найбільша і найменша піратська сума одиничних дробів

Для двох дробів a/ba / b і c/dc / d визначимо їхню піратську суму як ab⋄cd=a+cb+d\frac{a}{b} \diamond \frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d} при цьому мається на увазі, що обидва початкові дроби нескоротні (тобто максимально спрощені), а також отриманий результат потім скорочується до нескоротного вигляду. Так, наприклад, піратська сума дробів 2/72 / 7 і 4/54 / 5 дорівнює 1/21 / 2. Нехай задано ціле число n≥3n \geq 3. Спочатку на дошці написано дроби 11,12,13,…,1n\frac{1}{1}, \quad \frac{1}{2}, \quad \frac{1}{3}, \ldots, \quad \frac{1}{n} Кожним ходом ми вибираємо два дроби, написані на дошці, витираємо їх, а на їхнє місце пишемо їхню піратську суму. Продовжуємо так само, доки на дошці не залишиться лише один дріб. Визначте залежно від nn найбільше та найменше можливі значення цього останнього дробу.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2021-021

Описані кола і перпендикулярні чевіани

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, нехай MM — середина сторони BCBC, а HH — основа висоти, проведеної з BB. Позначимо через QQ центр описаного кола трикутника ABMABM, а через XX — перетин висоти BHBH із серединним перпендикуляром до сторони BCBC. Доведіть, що такі два твердження рівносильні: (i) описане коло трикутника ACMACM, описане коло трикутника AXHAXH і пряма CQCQ проходять через одну точку; (ii) прямі BQBQ і CQCQ перпендикулярні.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Італійська математична олімпіадаITAMO-2021-013

Подільність суми степенів двійки

Визначте кількість впорядкованих трійок (a,b,c)(a, b, c) невід'ємних цілих чисел таких, що кожне з чисел 2a2^{a}, 2b2^{b}, 2c2^{c} менше від 1000010000 і число 2a+2b+2c2^{a}+2^{b}+2^{c} є дільником числа 8a+8b+8c8^{a}+8^{b}+8^{c}. (A) 14 (B) 50 (C) 53 (D) 72 (E) 86
10–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2021-014

Мінімізація площі в рівносторонньому трикутнику

Нехай ABCABC — рівносторонній трикутник з одиничною стороною, а PP — точка, розташована по інший бік від прямої ABAB, ніж точка CC, і така, що кут APB^\widehat{APB} дорівнює 60∘60^{\circ}. Припустимо, що бісектриса кута APB‾\overline{APB} перетинає відрізки ABAB і ACAC у точках XX і YY відповідно. Яке найменше можливе значення площі трикутника AXYAXY? (A) 133\frac{1}{3 \sqrt{3}} (B) 123\frac{1}{2 \sqrt{3}} (C) 312\frac{\sqrt{3}}{12} (D) 38\frac{\sqrt{3}}{8} (E) Жоден із попередніх.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2021-003

Замощення коробки 2×2×4 блоками з чотирьох кубиків

Як показано на рисунку нижче, існує чотири типи блоків, утворених із чотирьох кубиків зі стороною один. Скількома способами можна покласти чотири блоки цих типів у прямокутну коробку 2×2×42 \times 2 \times 4 так, щоб вони не виступали назовні? Зауважимо, що можна використовувати кілька блоків одного типу, а блоки можна обертати. Крім того, способи, які збігаються між собою при обертанні коробки, вважаємо різними.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2021-004

Взаємно проста послідовність зі зсунутим аргументом

Для кожного натурального числа nn нехай f(n)f(n) — найменше натуральне число таке, що f(n)f(n) взаємно просте з nn, а f(n)+1f(n) + 1 взаємно просте з n+1n + 1. Скільки різних цілих чисел міститься в множині {f(1),f(2),…,f(1010)}\{f(1), f(2), \dots, f(10^{10})\}?
10–11 класиПрості числа (базові властивості)
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2021-007

Заповнення таблиці з сумою 8 у квадратах 2 на 2

Нехай AA — кількість способів заповнити кожну клітинку таблиці 2021×20212021 \times 2021 одним із чисел 11, 22 або 33 так, щоб сума чисел у будь-якому квадраті 2×22 \times 2 таблиці дорівнювала 88. Знайдіть остачу від ділення AA на 100100.
10–11 класиБієкції
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2021-008

Відношення у вписаному чотирикутнику з рівністю кутів

У трикутнику ABCABC точки DD і EE лежать на сторонах ABAB і ACAC відповідно. Нехай DD, BB, CC, EE лежать на одному колі, а точка PP лежить всередині чотирикутника DBCEDBCE, причому ∠BDP=∠BPC=∠PEC\angle BDP = \angle BPC = \angle PEC. Обчисліть BPCP\frac{BP}{CP}, якщо AB=9AB = 9, AC=11AC = 11, DP=1DP = 1 і EP=3EP = 3.
10–11 класиЛанцюжок подібних трикутників
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2021-009

Дільники різниці сум для четвірок

Для всіх четвірок (x,y,z,w)(x, y, z, w) з цілих чисел 1≤x,y,z,w≤10001 \le x, y, z, w \le 1000 просумуємо найбільше значення з чисел xy+zwxy + zw, xz+ywxz + yw, xw+yzxw + yz і позначимо цю суму через MM. Аналогічно, для всіх четвірок (x,y,z,w)(x, y, z, w) з цілих чисел 1≤x,y,z,w≤10001 \le x, y, z, w \le 1000 просумуємо найменше значення з чисел xy+zwxy + zw, xz+ywxz + yw, xw+yzxw + yz і позначимо цю суму через mm. Знайдіть кількість додатних дільників числа M−mM - m.
10–11 класиСуми послідовностей
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2021-008

Кути у конструкції з дотичним колом

Нехай ABAB — хорда кола Γ\Gamma. Нехай OO — центр кола, яке дотикається до хорди ABAB у точці CC і внутрішньо дотикається до кола Γ\Gamma у точці PP. Точка CC лежить між AA і BB. Нехай описане коло трикутника POCPOC перетинає Γ\Gamma у різних точках PP і QQ. Доведіть, що ∠AQP=∠CQB\angle AQP = \angle CQB.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2021-009

Цілі розв'язки діофантового рівняння п'ятого степеня

Знайдіть усі пари цілих чисел x,yx, y такі, що y5+2xy=x2+2y4.y^{5} + 2x y = x^{2} + 2y^{4}.
10–11 класиМетод факторизації (розкладання н…2 розв’язки
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2021-009

Кругова розсадка з обмеженнями на відстань

Нехай n≥4n \geq 4 і k,d≥2k, d \geq 2 — натуральні числа, для яких k⋅d≤nk \cdot d \leq n. nn учасників Математичної олімпіади сидять за круглим столом і чекають на Патріка. Коли Патрік з'являється, ситуація йому зовсім не подобається, оскільки правил соціального дистанціювання не дотримано. Тож він вибирає kk з nn учасників, яким дозволено залишитися, а всіх інших випроваджує з кімнати так, щоб між будь-якими двома з kk учасників, що залишилися, було щонайменше d−1d-1 вільних місць. Скількома способами Патрік може це зробити, якщо вважати, що спочатку всі місця були зайняті?
10–11 класиБієкції
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2021-003

Скінченні множини, замкнені відносно виразу з квадратами

Знайдіть усі скінченні множини SS натуральних чисел, які містять принаймні два елементи, такі, що якщо m>nm > n — два елементи множини SS, то n2m−n\frac{n^{2}}{m-n} також є елементом множини SS.
10–11 класиЧислові нерівності
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2021-004

Ітерована функція з обмеженим зсувом

Нехай N\mathbb{N} — множина натуральних чисел. Нехай f:N→Nf: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} — функція така, що для кожного n∈Nn \in \mathbb{N} f(n)−n<2021 і f(f(⋯f(f⏟f(n)(n))⋯ ))=nf(n)-n<2021 \text{ і } \underbrace{f(f(\cdots f(f}_{f(n)}(n)) \cdots))=n Доведіть, що f(n)=nf(n)=n для нескінченно багатьох n∈Nn \in \mathbb{N}.
10–11 класиЦиклічні підстановки (метод орбіт)
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2021-006

Рівнобедрений трикутник з обчисленням кутів

Нехай ABCABC — трикутник із AB=ACAB = AC і ∠BAC=20∘\angle BAC = 20^{\circ}. Нехай DD — точка на стороні ABAB така, що ∠BCD=70∘\angle BCD = 70^{\circ}. Нехай EE — точка на стороні ACAC така, що ∠CBE=60∘\angle CBE = 60^{\circ}. Знайдіть величину кута ∠CDE\angle CDE.
10–11 класиРівнобедрений та рівносторонній т…2 розв’язки
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2020-005

Згинання трикутників для рівномірної товщини

Розглянемо аркуш паперу у формі рівностороннього трикутника, зі згинами вздовж штрихових ліній, як на малюнку нижче ліворуч. Якщо загнути кожен із трьох кутів уздовж штрихових ліній, утвориться нова фігура рівномірної товщини у чотири шари, як на малюнку нижче праворуч. Число в кожній області позначає товщину цієї області (у шарах паперу). Ми щойно побачили один приклад того, як плоску фігуру можна скласти у фігуру з рівномірною товщиною. У цій задачі потрібно навести кілька інших прикладів. У кожному випадку можна згинати вздовж будь-яких ліній. Частини, що згинаються, можуть бути як рівними, так і нерівними. Припустімо, що папір можна згинати будь-яку кількість разів без розривів і без того, щоб він став занадто товстим для згинання. За потреби можна скористатися будь-яким із таких інструментів: - чарівною лінійкою, за допомогою якої можна провести пряму через будь-які дві задані точки, а також поділити будь-який відрізок на будь-яку кількість рівних частин; і - прямокутним косинцем, за допомогою якого можна опускати перпендикуляри з точок на прямі та будувати перпендикуляри до прямих у точках, що лежать на них. За цих правил: a) Покажіть, як скласти рівносторонній трикутник у фігуру з рівномірною товщиною у 3 шари. b) Покажіть, як скласти трикутник з кутами 30∘30^{\circ}, 60∘60^{\circ}, 90∘90^{\circ} у фігуру з рівномірною товщиною у 3 шари. c) Доведіть, що будь-який трикутник можна скласти у фігуру з рівномірною товщиною у 2020 шарів.
10–11 класиРозрізання, склеювання та рівноск…
Відбірковий тест на BxMO та EGMOBXTST-2020-002

Коло відображень основи висоти у трикутнику

У гострокутному трикутнику ABCABC основу висоти з AA позначено DD. Нехай D1D_1 і D2D_2 — образи точки DD при симетрії відносно прямих ABAB і ACAC відповідно. Перетин прямої BCBC і прямої через D1D_1, паралельної до ABAB, позначено E1E_1. Перетин прямої BCBC і прямої через D2D_2, паралельної до ACAC, позначено E2E_2. Доведіть, що D1,D2,E1D_1, D_2, E_1 і E2E_2 лежать на колі, центр якого лежить на описаному колі △ABC\triangle ABC.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбірковий тест на BxMO та EGMOBXTST-2020-003

Симетрія хорд кола та рівнобедрений трикутник

На колі з центром MM є три різні точки AA, BB і CC такі, що ∣AB∣=∣BC∣|AB| = |BC|. Точка DD лежить усередині кола так, що △BCD\triangle BCD є рівностороннім. Другу точку перетину прямої ADAD з колом позначено FF. Доведіть, що ∣FD∣=∣FM∣|FD| = |FM|.
10–11 класиЦентральні і вписані кути

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.