Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

5 945 задач
Складністьолімпіадний, 12–16
Відбірковий тест на BxMO та EGMOBXTST-2020-004

Добутки 100 і 1919 чисел та прості числа

Множина SS, що складається з 20192019 (різних) натуральних чисел, має таку властивість: добуток будь-яких 100100 елементів множини SS є дільником добутку інших 19191919 елементів. Яку найбільшу кількість простих чисел може містити SS?
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2020-002

Трикутник сталої площі в ромбі

У ромб ABCDA B C D вписано коло. Точки PP і QQ рухаються по відрізках AB‾\overline{A B} і AD‾\overline{A D} відповідно так, що PQ‾\overline{P Q} дотикається до кола. Доведіть, що для всіх таких відрізків PQ‾\overline{P Q} площа трикутника CPQC P Q є сталою.
10–11 класиДотична кола2 розв’язки
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2020-003

Чи можна монетами набрати 2020 рівно 2020 способами

Гаманець містить скінченну кількість монет, а номінали всіх монет — різні натуральні числа. Чи можливо, що існує рівно 2020 способів використати монети з гаманця, щоб набрати суму 2020?
10–11 класиКомбінації
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2020-004

Різниці сусідніх точних степенів і дільник 9999

Нехай S={1,4,8,9,16,…}S=\{1,4,8,9,16, \ldots\} — множина точних степенів цілих чисел, тобто чисел вигляду nkn^{k}, де n,kn, k — натуральні числа і k≥2k \geq 2. Запишемо S={a1,a2,a3…}S=\left\{a_{1}, a_{2}, a_{3} \ldots\right\} у порядку зростання, так що a1<a2<a3⋯a_{1}<a_{2}<a_{3} \cdots. Доведіть, що існує нескінченно багато натуральних чисел mm таких, що 99999999 ділить різницю am+1−ama_{m+1}-a_{m}.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2020-005

Мінімальна кількість дружб з умовою на підмножину

На платформі соціальної мережі зареєстровано 19 99819\,998 людей; кожні двоє з них або дружать, або ні. Для будь-якої групи з 99999999 людей серед них є принаймні 99999999 пар, які дружать. Яка найменша кількість дружніх стосунків, тобто найменша кількість пар людей, які дружать, має бути серед 19 99819\,998 людей?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2020-017

Різні остачі в круговій послідовності

Сто брауні (дівчат-скаутів) сидять у великому колі навколо багаття. У кожної брауні є принаймні один каштан, і жодні дві брауні не мають однакової кількості каштанів. Кожна брауні ділить кількість своїх каштанів на кількість каштанів своєї сусідки справа і записує остачу на зеленому папірці. Кожна брауні також ділить свою кількість на кількість каштанів своєї сусідки зліва і записує остачу на червоному папірці. Наприклад, якщо в Ані 2323 каштани, а в її сусідки справа Брег’є 55, то Аня пише 33 на своєму зеленому папірці, а Брег’є пише 55 на своєму червоному папірці. Якщо кількість різних остач на 100100 зелених папірцях дорівнює 22, то яка найменша можлива кількість різних остач на 100100 червоних папірцях?
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2020-016

Ряди монет з умовами віддаленості

Розглянемо ряди з 20202020 монет. Кожна монета має номінал 11, 22 або 33. Між двома монетами номіналом 11 є принаймні одна інша монета. Між двома монетами номіналом 22 є принаймні дві інші монети. Між двома монетами номіналом 33 є принаймні три інші монети. Скільки існує різних рядів з 20202020 монет, які задовольняють ці умови?
10–11 класиКонструкція через періодичність
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2020-005

Ітеративне вилучення повних квадратів

Сабіна має дуже велику колекцію мушель. Вона вирішує віддати частину своєї колекції сестрі. Першого дня вона викладає в ряд усі свої мушлі. Вона забирає мушлі, які стоять на місцях з номерами, що є повними квадратами (першу, четверту, дев'яту, шістнадцяту тощо), і віддає їх сестрі. Другого дня вона знову викладає в ряд мушлі, що залишилися. Знову вона забирає мушлі, які стоять на місцях з номерами, що є повними квадратами, і віддає їх сестрі. Вона повторює цей процес щодня. 27-й день — перший день, коли в неї залишається менше ніж 1000 мушель. 28-го дня в неї залишається кількість мушель, що є повним квадратом, удесяте. Якими є можливі кількості мушель, які Сабіна могла мати на самому початку?
10–11 класиРетроспективний алгоритм
Естонська математична олімпіадаESTMO-2020-005

Довжини сторін чотирикутника і порівняння кутів

a. Дано опуклий чотирикутник ABCDABCD, у якому AD<ABAD < AB і CD<CBCD < CB. Чи правда, що внутрішній кут при BB завжди менший за внутрішній кут при DD? b. Те саме запитання для неопуклого чотирикутника.
10 класІнші нерівності в геометрії
Естонська математична олімпіадаESTMO-2020-006

Тріангуляції з діагоналями найменшої довжини

Знайдіть усі натуральні числа nn, для яких можна вибрати n−3n-3 діагоналей правильного nn-кутника, які не перетинаються і розбивають nn-кутник на трикутники так, щоб кожна вибрана діагональ була стороною найменшої довжини в деякому трикутнику.
10 класМетричні співвідношення в колі
Естонська математична олімпіадаESTMO-2020-010

Інцентр і трикутник найбільшої площі

Чотирикутник ABCDABCD має вписане коло з центром II. Діагоналі ACAC і BDBD перетинаються в точці PP. Відомо, що II лежить усередині трикутника PABPAB (а не на його стороні). Доведіть, що площа трикутника PABPAB більша за площу кожного з трикутників PBCPBC, PCDPCD і PDAPDA.
11 класВідношення площ трикутників
Естонська математична олімпіадаESTMO-2020-016

Максимальна сума неперетинних діагоналей

Нехай nn — натуральне число, n≥3n \ge 3. У правильному nn-кутнику проведено максимальну множину діагоналей, жодні дві з яких не перетинаються всередині nn-кутника. Кожну діагональ позначено числом сторін nn-кутника між кінцями діагоналі вздовж найкоротшого шляху. Знайдіть максимальне значення суми позначок. Відповідь: n2−94\frac{n^2-9}{4} для непарного nn, n2−84\frac{n^2-8}{4} для парного nn.
11 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2020-012

Гра зі зсувом трьох фішок на смужці

Дано цілі числа aa, bb, cc і nn такі, що 1≤a<b<c≤n1 \le a < b < c \le n. Юку і Міку грають у таку гру на смужці розміру 1×n1 \times n: на початку клітинки з номерами aa, bb, cc містять по одній фішці, причому клітинки пронумеровано справа наліво послідовними цілими числами, починаючи з 11. Своїм ходом кожен гравець вибирає одну з цих трьох фішок і зсуває її на одну або більше клітинок праворуч. Однак заборонено ставити фішку на клітинку, що містить іншу фішку, або перестрибувати через таку клітинку; також не можна виводити фішку за межі смужки. Гравці ходять по черзі, причому першим ходить Юку. Гравець, який не може зробити хід, програє. Який гравець може виграти незалежно від гри суперника?
8–10 класиВиграшні та програшні позиції: ан…
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2020-015

Сума дробів з округленої послідовності

Нехай nn — натуральне число. Дійсні числа a1,a2,…,a2na_1, a_2, \dots, a_{2n} задовольняють такі умови: (1) Для кожного i=1,2,…,2n−1i = 1, 2, \dots, 2n - 1 виконується 0<ai+1−ai≤10 < a_{i+1} - a_i \le 1; (2) Округлення чисел a1,a2,…,a2na_1, a_2, \dots, a_{2n} до найближчого цілого (числа, рівновіддалені від двох найближчих цілих, округлюють угору) дає попарно різні додатні цілі числа. Числа a1,a2,…,a2na_1, a_2, \dots, a_{2n} розставлено чисельниками і знаменниками nn дробів. Доведіть, що сума отриманих дробів більша за n4\frac{n}{4}.
10–11 класиЧислові нерівності3 розв’язки
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2020-016

Спільна точка прямих у правильному п'ятикутнику

Коло cc з центром AA проходить через вершини BB і EE правильного п'ятикутника ABCDEABCDE. Пряма BCBC перетинає коло cc вдруге в точці FF. Точку GG на колі cc вибрано так, що FB=FGFB = FG і B≠GB \neq G. Доведіть, що прямі ABAB, EFEF і DGDG перетинаються в одній точці.
10–11 класиОзнаки подібності2 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-044

Шоколадки за розрізання розфарбованої дошки

Дошка розміром 20×2020 \times 20 поділена на 400 одиничних клітинок розміром 1×11 \times 1. Клара фарбує кожну клітинку в білий або в чорний колір, після чого Ізабель розрізає дошку на прямокутники, сторони яких містяться в сітці дошки. Кожен із цих прямокутників має містити не більше 2 чорних клітинок, і за кожен вирізаний прямокутник, що містить 0 або 1 чорну клітинку, вона дає Кларі одну шоколадку. Ізабель вибирає своє розрізання так, щоб дати Кларі якомога менше шоколадок, а Клара вибирає своє початкове розфарбування так, щоб отримати від Ізабель якомога більше шоколадок. Скільки шоколадок Ізабель дасть Кларі?
9–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-027

Гра на подільність з факторіалом

Повертаючись потягом з EGMOnd an Zee, Клара та Едвіга грають у таку гру. Спочатку ціле число n=1×2×⋯×20n=1 \times 2 \times \cdots \times 20 записане на аркуші паперу. Потім, по черзі, починаючи з Клари, гравчині замінюють ціле число nn одним із чисел kn/10k n / 10, де kk — ціле число від 1 до 9 включно. Перша гравчиня, яка запише число, що не є цілим, програє, а її суперниця виграє. Клара та Едвіга — дві грізні гравчині, тож грають оптимально. Яка з них виграє?
8–10 класиВиграшні та програшні позиції: ан…2 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-043

Сицилійська послідовність, що досягає одиниці

Послідовність (un)n⩾0\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 0} натуральних чисел називається сицилійською, якщо un+1∈{un/2,un/3,2un+1,3un+1}u_{n+1} \in\left\{u_{n} / 2, u_{n} / 3, 2 u_{n}+1, 3 u_{n}+1\right\} для всіх n⩾0n \geqslant 0. Доведіть, що для будь-якого натурального числа k⩾1k \geqslant 1 існує сицилійська послідовність (un)n⩾0\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 0} і ціле число ℓ⩾0\ell \geqslant 0 такі, що u0=ku_{0}=k і uℓ=1u_{\ell}=1.
9–11 класиМетод нескінченного спуску
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-048

Вкладеність n-додатних функцій

Нехай nn — натуральне число, відмінне від нуля. Кажуть, що функція f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} є nn-додатною, якщо для всіх дійсних x1,…,xnx_{1}, \ldots, x_{n} таких, що x1+…+xn=0x_{1}+\ldots+x_{n}=0, виконується f(x1)+…+f(xn)⩾0f\left(x_{1}\right)+\ldots+f\left(x_{n}\right) \geqslant 0. a) Чи кожна 2020-додатна функція обов'язково є 1010-додатною? b) Чи кожна 1010-додатна функція обов'язково є 2020-додатною?
8–10 класиКонструктивна побудова функції
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-045

Рівні відрізки AX, AY, AD і дотик кіл

Нехай ABCABC — трикутник з гострими кутами, а DD — основа висоти, проведеної з вершини AA. Нехай XX і YY — дві точки описаного кола трикутника ABCABC такі, що AX=AY=ADAX = AY = AD, і такі, що BB і XX містяться по один бік від прямої (AD)(AD). Нехай EE — точка перетину прямих (BX)(BX) і (CY)(CY). Нарешті, нехай FF — точка перетину, відмінна від EE, прямої (DE)(DE) з описаним колом трикутника EXYEXY. Доведіть, що описані кола трикутників BCFBCF і EXYEXY дотикаються.
9–11 класиІнверсія2 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-033

Турнір і місто з не більше ніж однією вихідною дорогою

У країні чудес є nn міст. Кожна пара міст сполучена дорогою з одностороннім рухом, яка виходить з одного з двох міст і приходить до іншого. Щоб розібратися, Аліса запитує Червового короля: у кожному запитанні Аліса вибирає пару міст, а Червовий король каже їй, яке місто є початком дороги, що сполучає ці два міста. Доведіть, що за 5n5 n запитань або менше Аліса може дізнатися, чи існує місто, з якого виходить не більше однієї дороги.
8–10 класиСтепені вершин
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-037

Дотичні та паралель через перетини кіл

Нехай ABCABC — трикутник, а Γ\Gamma — коло, що проходить через AA. Припустимо, що Γ\Gamma повторно перетинає відрізки [AB][AB] та [AC][AC] у двох точках, які позначимо відповідно DD та EE, і перетинає відрізок [BC][BC] у двох точках, які позначимо FF та GG, так що FF лежить між BB та GG. Нехай TT — точка перетину дотичної в FF до описаного кола трикутника BDFBDF та дотичної в GG до описаного кола трикутника CEGCEG. Доведіть, що якщо точки AA та TT різні, то прямі (AT)(AT) та (BC)(BC) паралельні.
10–11 класиДотична кола
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-023

Послідовність НСД з унікальними значеннями

Нехай a0,a1,a2,…a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots — послідовність натуральних чисел, а b0,b1,b2,…b_{0}, b_{1}, b_{2}, \ldots — послідовність така, що bn=НСД(an,an+1)b_{n}=\text{НСД}\left(a_{n}, a_{n+1}\right) для всіх цілих n⩾0n \geqslant 0. Чи можливо, що кожне натуральне число дорівнює рівно одному з членів b0,b1,b2,…b_{0}, b_{1}, b_{2}, \ldots?
10–11 класиНСД та НСК
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-021

Перерозподіл камінців у п'яти купках

У 5 купках міститься відповідно 402402, 403403, 404404, 405405 і 406406 камінців. Дозволена лише така операція: взяти 44 камінці з купки, в якій є принаймні 44 камінці, і покласти по одному в кожну з інших купок. Яка найбільша кількість камінців може опинитися в одній купці?
8–10 класиОстача від ділення
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-049

Цілочисельні розв'язки показникового діофантового рівняння

Знайти всі трійки (x,y,z)(x, y, z) невід'ємних цілих чисел, що задовольняють рівняння: 2x+3y=z22^{x} + 3^{y} = z^{2}
8–10 класиМетод факторизації (розкладання н…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.