Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

5 945 задач
Складністьолімпіадний, 12–16
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-014

Композиційні пари многочленів над полем

Нехай p>2p > 2 — просте число. Fp[x]\mathbb{F}_p[x] означено як множина всіх многочленів від xx з коефіцієнтами з Fp\mathbb{F}_p (цілих чисел за модулем pp зі звичайними додаванням і відніманням), тож два многочлени рівні тоді й лише тоді, коли коефіцієнти при xkx^k рівні в Fp\mathbb{F}_p для кожного невід'ємного цілого числа kk. Наприклад, (x+2)(2x+3)=2x2+2x+1(x+2)(2x+3) = 2x^2 + 2x + 1 в F5[x]\mathbb{F}_5[x], оскільки відповідні коефіцієнти рівні за модулем 55. Нехай f,g∈Fp[x]f, g \in \mathbb{F}_p[x]. Пару (f,g)(f, g) називають композиційною, якщо f(g(x))≡xp2−xf(g(x)) \equiv x^{p^2} - x в Fp[x]\mathbb{F}_p[x]. Знайдіть з доведенням кількість композиційних пар (у термінах pp).
10–11 класиВластивості коефіцієнтів многочле…2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-015

Корені симетричного многочлена на одиничному колі

Доведіть, що для всіх натуральних чисел nn всі комплексні корені rr многочлена P(x)=(2n)x2n+(2n−1)x2n−1+⋯+(n+1)xn+1+nxn+(n+1)xn−1+⋯+(2n−1)x+2nP(x) = (2 n) x^{2 n} + (2 n-1) x^{2 n-1} + \cdots + (n+1) x^{n+1} + n x^{n} + (n+1) x^{n-1} + \cdots + (2 n-1) x + 2 n лежать на одиничному колі (тобто ∣r∣=1|r|=1).
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-130

Нескінченна сума відношень членів цілочисельної послідовності

Послідовність цілих чисел {ai}i=0∞\{a_{i}\}_{i=0}^{\infty} задовольняє умови a0=3a_{0}=3, a1=4a_{1}=4 та an+2=an+1an+⌈an+12−1an2−1⌉a_{n+2}=a_{n+1} a_{n}+\left\lceil\sqrt{a_{n+1}^{2}-1} \sqrt{a_{n}^{2}-1}\right\rceil при n≥0n \geq 0. Обчисліть суму ∑n=0∞(an+3an+2−an+2an+an+1an+3−anan+1).\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{a_{n+3}}{a_{n+2}}-\frac{a_{n+2}}{a_{n}}+\frac{a_{n+1}}{a_{n+3}}-\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right) .
10–11 класиСтрибки Вієта
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-150

Ґраткові блукання у чотиривимірному просторі з обмеженням суми

Фред — чотиривимірна пухнаста вівця — гуляє у чотиривимірному просторі. Він починає з початку координат. Кожної хвилини він переходить зі свого поточного положення (a1,a2,a3,a4)(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}) у деяке положення (x1,x2,x3,x4)(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) з цілими координатами, що задовольняють (x1−a1)2+(x2−a2)2+(x3−a3)2+(x4−a4)2=4(x_{1}-a_{1})^{2}+(x_{2}-a_{2})^{2}+(x_{3}-a_{3})^{2}+(x_{4}-a_{4})^{2}=4 і ∣(x1+x2+x3+x4)−(a1+a2+a3+a4)∣=2.\left| (x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})-(a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}) \right|=2. Скількома способами Фред може дістатися до (10,10,10,10)(10,10,10,10) рівно за 40 хвилин, якщо йому дозволено проходити через цю точку під час своєї прогулянки?
10–11 класиБієкції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-046

Перестановки сторін рівнокутного шестикутника та різниця площ

Рівнокутний шестикутник має довжини сторін 1,2,3,4,5,61,2,3,4,5,6 у деякому порядку. Знайдіть невід'ємну різницю між найбільшою та найменшою можливою площею цього шестикутника.
10–11 класиРозрізання, склеювання та рівноск…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-048

Розфарбування решітки без цілих відстаней

Боб фарбує точки цілочисельної решітки на координатній площині. Знайдіть кількість способів, якими Боб може пофарбувати п'ять точок із {(x,y)∣1≤x,y≤5}\{(x, y) \mid 1 \leq x, y \leq 5\} у синій колір так, щоб відстань між будь-якими двома синіми точками не була цілим числом.
10–11 класиПерестановки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-053

Цілі значення суми з квадратними коренями

Обчисліть суму всіх натуральних чисел nn, для яких 9n+4n+2−3n+169 \sqrt{n} + 4 \sqrt{n+2} - 3 \sqrt{n+16} є цілим числом.
10–11 класиРаціональні та ірраціональні числа
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-057

Функціональне рівняння із симетричною сумою

Нехай R\mathbb{R} — множина дійсних чисел. Нехай f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} — функція така, що для всіх дійсних чисел xx і yy виконується f(x2)+f(y2)=f(x+y)2−2xyf\left(x^{2}\right)+f\left(y^{2}\right)=f(x+y)^{2}-2 x y Нехай S=∑n=−20192019f(n)S=\sum_{n=-2019}^{2019} f(n). Визначте кількість можливих значень SS.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-065

Ліфт із марковським процесом і послідовні підйоми

На поверсі 00 дивного на вигляд будинку ви заходите в ліфт, який має лише одну кнопку. Ви двічі натискаєте кнопку й опиняєтеся на поверсі 11. Після цього щоразу, коли ви натискаєте кнопку, ви піднімаєтеся на один поверх з ймовірністю XY\frac{X}{Y}, де XX — ваш поточний поверх, а YY — загальна кількість попередніх натискань кнопки (без урахування поточного); інакше ліфт стоїть на місці. Знайдіть математичне сподівання кількості пар послідовних натискань між третім і 100100-м натисканням включно, у яких обидва натискання піднімають вас на один поверх.
10–11 класиМетод математичної індукції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-068

Підмножини із сумами, що не діляться на 20

Визначте кількість підмножин SS множини {1,2,…,1000}\{1,2, \ldots, 1000\}, які задовольняють такі умови: - SS має 19 елементів, і - сума елементів будь-якої непорожньої підмножини множини SS не ділиться на 20.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-072

Рівність НСК і НСД для дільників

Нехай SS — множина всіх додатних дільників числа 60006000. Яка ймовірність того, що випадкова четвірка (a,b,c,d)∈S4(a, b, c, d) \in S^{4} задовольняє НСК(НСД(a,b),НСД(c,d))=НСД(НСК(a,b),НСК(c,d))?\text{НСК}(\text{НСД}(a, b), \text{НСД}(c, d)) = \text{НСД}(\text{НСК}(a, b), \text{НСК}(c, d))?
10–11 класиНСД та НСК
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-073

Кути в правильному п’ятикутнику

Нехай PP — точка всередині правильного п’ятикутника ABCDEA B C D E така, що ∠PAB=48∘\angle P A B = 48^{\circ} і ∠PDC=42∘\angle P D C = 42^{\circ}. Знайдіть ∠BPC\angle B P C у градусах.
10–11 класиРівнобедрений та рівносторонній т…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-074

Вписаний чотирикутник з основ висот і центроїда

У гострокутному △ABC\triangle ABC з центроїдом GG маємо AB=22AB = 22 і AC=19AC = 19. Нехай EE і FF — основи висот з BB і CC на ACAC і ABAB відповідно. Нехай G′G' — образ GG при симетрії відносно прямої BCBC. Якщо EE, FF, GG і G′G' лежать на одному колі, обчисліть довжину сторони BCBC.
10–11 класиТочка перетину медіан
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-075

Максимізація добутку площ нерівних прямокутників

Дошку 5×55 \times 5 з одиничних квадратиків розбито на 55 попарно нерівних прямокутників зі сторонами на лініях сітки. Знайдіть найбільше можливе значення добутку їхніх площ.
10–11 класиНерівність Коші
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-078

Площа проєкції восьмої частини сфери

Розглянемо восьму частину сфери {(x,y,z)∣x,y,z≥0,x2+y2+z2=1}\{(x, y, z) \mid x, y, z \geq 0, x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\}. Чому дорівнює площа її проєкції на площину x+y+z=1x+y+z=1?
10–11 класиВекторний метод
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-081

Стабілізація останніх двох цифр степенів

Скільки натуральних чисел 2≤a≤1012 \leq a \leq 101 мають таку властивість: існує натуральне число NN, для якого останні дві цифри десяткового запису числа a2na^{2^{n}} однакові для всіх n≥Nn \geq N?
10–11 класиСтепені за модулем. Періодичність…2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-085

Цілочисельна функція з обмеженими приростами

Функція f:Z→Zf: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} задовольняє f(0)=0f(0)=0 і ∣f((n+1)2k)−f(n2k)∣≤1\left|f\left((n+1) 2^{k}\right)-f\left(n 2^{k}\right)\right| \leq 1 для всіх цілих k≥0k \geq 0 і nn. Чому дорівнює найбільше можливе значення f(2019)f(2019)?
10–11 класиШляхи на графах
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-089

Порядок за модулем і функція Ейлера

Для натуральних чисел aa і bb, таких, що aa взаємно просте з bb, визначимо ord⁡b(a)\operatorname{ord}_{b}(a) як найменше натуральне число kk таке, що b∣ak−1b \mid a^{k}-1, а φ(a)\varphi(a) — як кількість натуральних чисел, не більших за aa, які взаємно прості з aa. Знайдіть найменше натуральне число nn таке, що ord⁡n(m)<φ(n)10\operatorname{ord}_{n}(m)<\frac{\varphi(n)}{10} для всіх натуральних чисел mm, взаємно простих з nn.
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-091

Підрахунок многочленів із коренем 4

Многочлен PP з цілими коефіцієнтами називається хитрим, якщо число 44 є його коренем. Многочлен називається kk-крихітним, якщо його степінь не перевищує 77, а цілі коефіцієнти містяться між −k-k і kk включно. Многочлен називається майже хитрим, якщо він є сумою хитрого многочлена і 11-крихітного многочлена. Нехай NN — кількість майже хитрих 77-крихітних многочленів. Оцініть NN. Оцінка EE принесе ⌊20min⁡(NE,EN)4⌋\left\lfloor 20 \min \left(\frac{N}{E}, \frac{E}{N}\right)^{4}\right\rfloor балів.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-092

Перехід річки за випадково розкиданим камінням

Ви намагаєтеся перетнути річку завширшки 400 футів. Ви можете стрибнути не більш ніж на 4 фути, але маєте багато каміння, яке можна кидати в річку. Ви припините кидати каміння й перейдете річку, щойно покладеного каміння стане достатньо, щоб це зробити. Кидати вмієте прямо, але відстань оцінюєте погано, тож кожен камінь опиняється розміщеним рівномірно випадково вздовж ширини річки. Оцініть математичне сподівання кількості NN каменів, які доведеться кинути, перш ніж ви зможете перебратися через річку. Оцінка EE принесе ⌊20min⁡(NE,EN)3⌋\left\lfloor 20 \min \left(\frac{N}{E}, \frac{E}{N}\right)^{3}\right\rfloor балів.
10–11 класиФормула включення-виключення
Відбіркові тести на IMOTST-2019-003

Однакова кількість дільників у кратних

Знайдіть усі пари (a,b)(a, b) натуральних чисел, для яких існує натуральне число nn таке, що кількість дільників чисел nan a і nbn b однакова.
10–11 класиКількість дільників τ(n)
Відбіркові тести на IMOTST-2019-034

Розбиття монет з обмеженнями на масу

Пірат хоче поділити скарб, що складається з 1000 золотих монет, кожна з яких важить принаймні 1 г, а разом — рівно 2 кг, на дві частини, маси яких відрізняються від 1 кг не більше ніж на 1 г. Доведіть, що це можливо.
10–11 класиМетод математичної індукції
Відбіркові тести на IMOTST-2019-004

Розподіл учнів із взаємними найкращими друзями

У середній школі в кожному класі непарна кількість учнів. Крім того, кожен учень має найкращого друга (можливо, з іншого класу). Кожен є найкращим другом свого найкращого друга. Під час подорожі містами кожен учень їде до Рима або до Парижа. Доведіть, що учнів можна розподілити між двома напрямками так, щоб (i) кожен учень їхав у подорож разом зі своїм найкращим другом; (ii) для кожного класу модуль різниці між кількістю учнів, які їдуть до Рима, і кількістю учнів, які їдуть до Парижа, дорівнював 1.
10–11 класиШляхи на графах
Відбіркові тести на IMOTST-2019-005

Чотири точки на одному колі та дотичне коло

У вписаному чотирикутнику ABCDA B C D нехай EE — точка перетину діагоналей. Пряма через EE, відмінна від ACA C або BDB D, перетинає ABA B у точці PP та BCB C у точці QQ. Коло, яке дотикається до прямої PQP Q у точці EE і проходить через DD, перетинає описане коло чотирикутника ABCDA B C D ще раз у точці RR. Доведіть, що точки B,P,RB, P, R і QQ лежать на одному колі.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2019-001

Паралельні прямі з висот і описаного кола

Нехай ABCABC — трикутник, а DD, EE і FF — основи висот, проведених з вершин AA, BB і CC відповідно. Нехай HH — ортоцентр трикутника ABCABC. Відрізки EFEF і ADAD перетинаються в точці GG. Нехай KK — точка описаного кола трикутника ABCABC, діаметрально протилежна точці AA. Пряма AKAK перетинає BCBC в точці MM. Доведіть, що прямі GMGM і HKHK паралельні.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.