Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

5 945 задач
Складністьолімпіадний, 12–16
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2019-050

Підмножина без простих різниць

Нехай AA — підмножина множини {1,2,3,…,2019}\{1,2,3, \ldots, 2019\}, яка має властивість, що різниця між будь-якими двома її елементами не є простим числом. Яка найбільша можлива кількість елементів множини AA?
10–11 класиПрості числа (базові властивості)
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2019-052

Перші цифри степенів

а) Відомо, що десятковий запис числа 520185^{2018} має 1411 цифр і починається з 3 (найлівіша ненульова цифра — 3). Для скількох цілих 1≤n≤20171 \leq n \leq 2017 число 5n5^{n} починається з 1? б) Цілі числа 4524^{52} і 5525^{52} обидва починаються з цифри 2. Якщо десяткові записи степенів 4n4^{n} і 5n5^{n}, де n>0n>0 — ціле число, починаються з тієї самої цифри dd, які можливі значення цієї цифри?
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2019-060

Найменша кількість авіакомпаній для трійок рейсів 2019 міст

У певній країні є рівно 20192019 міст, і між будь-якими двома з них існує рівно один прямий рейс, який виконує певна авіакомпанія, тобто для міст AA і BB або існує рейс з AA до BB, або рейс з BB до AA. Знайдіть найменшу кількість авіакомпаній, які працюють у країні, якщо відомо, що прямі рейси між будь-якими трьома різними містами виконують різні компанії.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2019-062

Ланцюжок перемог у шаховому турнірі

Двадцять гравців взяли участь у шаховому турнірі. Кожен гравець зіграв з кожним іншим гравцем рівно один раз, і кожна партія закінчилася перемогою одного з гравців або нічиєю. У цьому турнірі помітили, що для кожної партії, яка закінчилася нічиєю, кожен з решти 18 гравців переміг принаймні одного з двох гравців, які в ній брали участь. Відомо також, що принаймні дві партії закінчилися нічиєю. Покажіть, що можна позначити гравців через P1,P2,…,P20P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{20} так, щоб гравець PkP_{k} виграв у гравця Pk+1P_{k+1} для кожного k∈{1,2,3,…,19}k \in\{1,2,3, \ldots, 19\}.
10–11 класиШляхи на графах
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2019-005

Підмножина простих чисел із властивістю замкненості

Нехай P\mathbb{P} — множина всіх простих чисел, а MM — підмножина P\mathbb{P}, яка має принаймні три елементи. Припустимо, що для кожного натурального числа k≥1k \geq 1 і для кожної підмножини A={p1,p2,…,pk}A=\{p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{k}\} множини MM такої, що A≠MA \neq M, усі прості дільники числа p1⋅p2⋅…⋅pk−1p_{1} \cdot p_{2} \cdot \ldots \cdot p_{k}-1 містяться в MM. Доведіть, що M=PM=\mathbb{P}.
10–11 класиМала теорема Ферма
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2019-010

Мінімальна кількість ходів для перенесення каменів

Нехай nn — натуральне число. В ряд стоїть n+1n+1 миски, пронумеровані зліва направо числами 0,1,…,n0, 1, \ldots, n. На початку в мисці 00 лежить nn каменів, а в інших мисках каменів немає. Сізіф хоче перемістити ці nn каменів у миску nn. Для цього Сізіф кожним ходом пересуває рівно один камінь з миски ii, в якій є kk каменів, щонайбільше на kk мисок праворуч, тобто в миску з номером, не більшим за k+ik+i. Нехай TT — мінімальна кількість ходів, потрібна Сізіфу, щоб перемістити всі камені в миску nn. Доведіть, що виконується: T≥⌈n1⌉+⌈n2⌉+…+⌈nn⌉T \geq \left\lceil \frac{n}{1} \right\rceil + \left\lceil \frac{n}{2} \right\rceil + \ldots + \left\lceil \frac{n}{n} \right\rceil
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2019-011

Перерозподіл цукерок у колі дітей

Група дітей сидить у колі. На початку кожна дитина має парну кількість цукерок. На кожному кроці кожна дитина повинна віддати половину своїх цукерок дитині праворуч від себе. Якщо після кроку в дитини виявиться непарна кількість цукерок, вихователь дарує їй ще одну цукерку. Доведіть, що через скінченну кількість кроків у всіх дітей буде порівну цукерок.
10–11 класиНапівінваріанти2 розв’язки
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2019-012

Неможливість функціонального рівняння на цілих числах

Доведіть, що не існує функції f:Z→Zf: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} такої, що для всіх цілих чисел m,nm, n виконується: f(m+f(n))=f(m)−nf(m+f(n))=f(m)-n
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2019-013

Трикутник зі співвідношенням кутів і точкою всередині

Нехай ABCABC — трикутник, у якому ∠CAB=2⋅∠ABC\angle CAB = 2 \cdot \angle ABC. Припустимо, що існує точка DD всередині трикутника ABCABC така, що AD=BDAD = BD і CD=ACCD = AC. Доведіть, що ∠ACB=3⋅∠DCB\angle ACB = 3 \cdot \angle DCB.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2018-001

Середини фішок і степені двійки

Розглянемо розташування фішок на площині, не обов'язково в різних точках. Дозволено виконувати послідовність ходів такого виду: вибрати пару фішок у точках AA і BB та перемістити обидві до середини відрізка з кінцями в точках AA і BB. Кажемо, що розташування з nn фішок є стягуваним, якщо після скінченної кількості ходів можна зібрати всі nn фішок в одній точці. Доведіть, що кожне розташування з nn фішок є стягуваним тоді й лише тоді, коли nn є степенем двійки.
10–11 класиІнші інваріанти
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2018-003

Кругове розташування просто-пов'язаних дільників

Два додатні цілі числа aa і bb називаються «пов'язаними через просте число», якщо a=pba = p b або b=pab = p a для деякого простого числа pp. Знайдіть усі додатні цілі числа nn, такі, що nn має щонайменше три дільники, і всі дільники можуть бути розташовані без повторень по колу так, що будь-які два сусідні дільники пов'язані через просте число. Зауважимо, що 11 і nn також вважаються дільниками.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2018-004

Сума значень многочлена та його значення в останній точці

Знайдіть усі многочлени p(x)p(x) з дійсними коефіцієнтами, які мають таку властивість: існує многочлен q(x)q(x) з дійсними коефіцієнтами такий, що p(1)+p(2)+p(3)+⋯+p(n)=p(n)q(n)p(1)+p(2)+p(3)+\cdots+p(n)=p(n) q(n) для всіх додатних цілих чисел nn.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-031

Рівність синусів кутів у гострокутному трикутнику

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, а PP — точка всередині трикутника ABCABC. Нехай DD — середина відрізка [PC][PC], EE — точка перетину прямих (AP)(AP) і (BC)(BC), а QQ — точка перетину прямих (BP)(BP) і (DE)(DE). Доведіть, що якщо кути PAC^\widehat{PAC} і PCB^\widehat{PCB} рівні, то sin⁡(BCQ^)=sin⁡(BAP^)\sin (\widehat{BCQ}) = \sin (\widehat{BAP}).
9–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-038

Мультиплікативна функція на раціональних числах з обмеженням

Знайти всі можливі значення f(2018)f(2018), де ff — функція з Q\mathbb{Q} в R+\mathbb{R}_{+}, що задовольняє три такі умови: - f(2)=1/2f(2)=1 / 2; - для будь-якого раціонального xx, якщо f(x)⩽1f(x) \leqslant 1, то f(x+1)⩽1f(x+1) \leqslant 1; - f(xy)=f(x)f(y)f(x y)=f(x) f(y) для будь-яких раціональних xx і yy.
9–11 класиВластивості монотонності або обме…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-034

Олімпійські числа та четверті степені

Ціле число kk називається олімпійським, якщо існують чотири цілі числа a,b,ca, b, c і dd, усі взаємно прості з kk, такі, що kk ділить a4+b4+c4+d4a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}. Нехай nn — довільне ціле число. Доведіть, що число n2−2n^{2}-2 є олімпійським.
9–11 класиПорядок (показник) числа за модул…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-009

Гострокутний трикутник з обмеженої послідовності

Знайдіть усі цілі числа n⩾3n \geqslant 3 такі, що якщо a1,…,ana_{1}, \ldots, a_{n} — додатні дійсні числа, для яких max⁡(a1,…,an)⩽n⋅min⁡(a1,…,an)\max \left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right) \leqslant n \cdot \min \left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right), то серед цих чисел обов’язково знайдуться три, які є довжинами сторін гострокутного трикутника, тобто трикутника, усі три кути якого строго гострі.
10–11 класиЧисла Фібоначі
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-019

Розміщення одиничних дисків у прямокутнику

Чи можна розмістити 601 диск радіуса 11 у прямокутній коробці розміру 4×6004 \times 600 так, щоб жодні два диски не накладалися (проте вони можуть дотикатися)?
9–11 класиПокриття, пакування, фарбування
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-029

Рекурентне співвідношення з умовою квадратного кореня

Знайти всі дійсні числа aa такі, що існує нескінченна послідовність додатних дійсних чисел x0,x1,x2,x3,…x_{0}, x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots, яка для кожного nn задовольняє рівність xn+2=axn+1−xn.x_{n+2}=\sqrt{a x_{n+1}-x_{n}} .
9–11 класиПослідовності (інші властивості)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-023

Факторіал як значення функції Ейлера

Нехай nn — натуральне число. Доведіть, що існує натуральне число mm таке, що n!=φ(m)n! = \varphi(m), де φ\varphi — функція Ейлера. (Нагадаємо, що якщо m=p1α1⋯pkαkm = p_{1}^{\alpha_{1}} \cdots p_{k}^{\alpha_{k}} де p1,…,pkp_{1}, \ldots, p_{k} — попарно різні прості числа, то φ(m)=m(1−1p1)⋯(1−1pk)\varphi(m) = m \left(1 - \frac{1}{p_{1}}\right) \cdots \left(1 - \frac{1}{p_{k}}\right).)
9–11 класиФункція Ейлера φ(n)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-024

Подвоєння рядків і віднімання у стовпцях до нулів

Розглянемо таблицю розміру 2018×20182018 \times 2018, у кожній клітинці якої міститься відмінне від нуля натуральне число. Ноемі змінює ці числа на свій розсуд, застосовуючи такі операції: ▹\triangleright вибрати рядок, а потім помножити на 2 всі числа, що містяться в цьому рядку; ▹\triangleright вибрати стовпець, а потім відняти 1 від усіх чисел, що містяться в цьому стовпці. Доведіть, що, застосовуючи ці операції, Ноемі може домогтися того, щоб отримати таблицю, у кожній клітинці якої міститься число 0.
9–11 класиКонструкція за індукцією
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-002

Значення параметра, за яких третій рядок міститься в четвертому

Нехай qq — дійсне число. Маргарет написала 10 попарно різних дійсних чисел в одному рядку. Потім вона додає три рядки так: ▹\triangleright у 2-й2^{\text{-й}} рядку вона записує всі числа виду a−ba-b, де aa і bb — два дійсні числа (не обов’язково різні) з 1-й1^{\text{-й}} рядка; ▹\triangleright у 3-й3^{\text{-й}} рядку вона записує всі числа виду qabq a b, де aa і bb — два дійсні числа (не обов’язково різні) з 2-й2^{\text{-й}} рядка; ▹\triangleright у 4-й4^{\text{-й}} рядку вона записує всі числа виду a2+b2−c2−d2a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}, де a,b,ca, b, c і dd — дійсні числа (не обов’язково різні) з 2-й2^{\text{-й}} рядка. Знайти всі дійсні qq такі, що, якими б не були 10 чисел, записаних у 1-й1^{\text{-й}} рядку, кожне число з 3-й3^{\text{-й}} рядка також є у 4-й4^{\text{-й}} рядку.
8–10 класиНаближення дійсних чисел і оцінки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-030

Запити про зв'язність невідомого графа

У країні є 64 міста. Деякі пари міст з'єднані дорогами, але Боб не знає, які саме (дороги не перетинаються, але можуть проходити одна над одною; крім того, дорогами можна рухатися в обох напрямках). Аліса ж досконало знає мережу. Боб може вибрати довільну пару міст і запитати в Аліси, чи з'єднані вони безпосередньо дорогою. Мета Боба — визначити, чи можна дістатися з будь-якого міста до будь-якого іншого (можливо, скориставшись кількома послідовними дорогами). Покажіть, що не існує жодного алгоритму (тобто жодної стратегії залежно від послідовних відповідей Аліси), який дозволив би йому дізнатися це напевно менш ніж за 2016 запитань.
9–11 класиЗв’язність
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-026

Подання 2ⁿ у вигляді 7x²+y²

Нехай n⩾3n \geqslant 3 — натуральне число, доведіть, що існують цілі числа xx і yy такі, що 7x2+y2=2n7 x^{2} + y^{2} = 2^{n}.
9–11 класиМетод математичної індукції
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-025

Сума підмножини, що ділиться на 1024

Доведіть, що серед 20482048 цілих чисел завжди можна знайти 10241024 таких, сума яких ділиться на 10241024.
9–11 класиМетод математичної індукції
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-003

Зростання в нескінченному орграфі з перевагою вихідного степеня

Нехай GG — нескінченний орієнтований граф, кожна вершина якого має скінченний степінь. Припустимо, що для кожної вершини ss вхідний степінь вершини ss строго менший за вихідний степінь вершини ss. Нехай vv — вершина графа GG. Для кожного цілого n⩾1n \geqslant 1 через VnV_{n} позначимо кількість вершин, яких можна досягти з vv, пройшовши не більше ніж nn ребер, враховуючи саму вершину vv. Яке найменше можливе значення VnV_{n}?
8–10 класиПідрахунок двома способами

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.