Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

5 945 задач
Складністьолімпіадний, 12–16
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-029

Добутки чисел з однаковою цілою частиною кореня

Нехай SS — множина натуральних чисел така, що ⌊x⌋=⌊y⌋ для всіх x,y∈S\lfloor\sqrt{x}\rfloor=\lfloor\sqrt{y}\rfloor \text{ для всіх } x, y \in S Доведіть, що якщо x,y,z,t∈Sx, y, z, t \in S, причому (x,y)≠(z,t)(x, y) \neq(z, t) і (x,y)≠(t,z)(x, y) \neq(t, z), то xy≠ztx y \neq z t. (⌊.⌋\lfloor.\rfloor позначає цілу частину.)
9–11 класиЦіла та дробова частини числа
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-050

Середні значення сум послідовних чисел

Нехай a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} — додатні цілі числа. Для кожного k=1,2,…,nk=1,2, \ldots, n позначимо mk=max⁡1≤ℓ≤kak−ℓ+1+ak−ℓ+2+⋯+akℓ.m_{k}=\max _{1 \leq \ell \leq k} \frac{a_{k-\ell+1}+a_{k-\ell+2}+\cdots+a_{k}}{\ell} . Доведіть, що для будь-якого α>0\alpha>0 кількість цілих kk, для яких mk>αm_{k}>\alpha, строго менша за a1+a2+⋯+anα\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{\alpha}.
9–11 класиЖадібний алгоритм
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-027

Перпендикулярність AX і OH для точки X на EF

Нехай ABCABC — трикутник, а D,E,FD, E, F — основи висот з A,B,CA, B, C відповідно. Нехай також HH — ортоцентр трикутника ABCABC, OO — центр його описаного кола, а XX — точка прямої (EF)(EF), для якої XA=XDXA = XD. Доведіть, що прямі (AX)(AX) і (OH)(OH) перпендикулярні.
9–11 класиРадикальна вісь
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-010

Центр кола через чотири точки і пряма перетину кіл

Два кола Γ1\Gamma_{1} і Γ2\Gamma_{2} з центрами O1O_{1} і O2O_{2} перетинаються в точках PP і QQ. Пряма, що проходить через O1O_{1}, перетинає Γ2\Gamma_{2} в точках AA і BB, а пряма, що проходить через O2O_{2}, перетинає Γ1\Gamma_{1} в точках CC і DD. Доведіть, що якщо існує коло, яке проходить через A,B,CA, B, C і DD, то центр цього кола лежить на прямій (PQ)(PQ).
8–10 класиРадикальна вісь
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-051

Спільний простий дільник виразів та чисел n і p-1

Нехай aa, bb, cc, nn — цілі числа, причому n≥2n \geq 2. Нехай pp — просте число, яке ділить a2+ab+b2a^{2}+a b+b^{2} і an+bn+cna^{n}+b^{n}+c^{n}, але не ділить a+b+ca+b+c. Доведіть, що nn і p−1p-1 не є взаємно простими.
9–11 класиПорядок (показник) числа за модул…
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-004

Конкурентність прямих при дотику кіл у трикутнику

Нехай ABCABC — трикутник, а Γ\Gamma — його описане коло. Нехай MM — середина дуги BCBC, яка не містить AA. Коло C\mathscr{C} дотикається до променів [AB),[AC)[AB), [AC) у точках DD і EE відповідно та дотикається зсередини до кола Γ\Gamma у точці FF. Доведіть, що прямі (DE),(BC)(DE), (BC) і (FM)(FM) перетинаються в одній точці.
9–11 класиПроєктивна геометрія
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-011

Числа заданого порядку за відніманням суми цифр

Позначимо через S(k)S(k) суму цифр цілого числа kk. Кажуть, що ціле число aa має порядок nn, якщо існує послідовність цілих чисел a0,a1,…,ana_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n} таких, що an=aa_{n}=a і ai+1=ai−S(ai)a_{i+1}=a_{i}-S\left(a_{i}\right) для всіх i=0,1,…,n−1i=0,1, \ldots, n-1. Доведіть, що для кожного цілого n⩾1n \geqslant 1 існує ціле число bb, яке має порядок nn, але не має порядку n+1n+1.
8–10 класиРозклад по розрядах, десяткові др…2 розв’язки
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-012

Мінімальне насичене розміщення прямокутників на дошці

Нехай n∈N∗n \in \mathbb{N}^{*}. Розміщуємо прямокутники 1×n1 \times n і n×1n \times 1 на шаховій дошці 2n×2n2 n \times 2 n так, щоб жодні два прямокутники ніколи не перетиналися і щоб кожен прямокутник покривав рівно nn клітинок. Множина таких прямокутників називається насиченою, якщо неможливо додати прямокутник, не перетнувши вже розміщений прямокутник. Знайдіть найменше kk таке, що існує насичена множина з kk прямокутників.
8–10 класиРозрізання, покриття та замощення
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-013

Чотирикутник зі спільною точкою вписаних кіл

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник. Припустимо, що вписані кола трикутників ABCABC, BCDBCD, CDACDA і DABDAB мають спільну точку. Доведіть, що ABCDABCD — ромб.
8–10 класиВписане коло
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-028

Симетричні точки дотику відносно інцентра і перпендикулярність

Нехай ABCABC — трикутник, D,E,FD, E, F — точки дотику вписаного кола зі сторонами (BC)(BC), (AC)(AC) і (AB)(AB), MM — середина сторони [BC][BC], II — центр вписаного кола трикутника ABCABC. Точки GG і HH симетричні точкам EE і FF відносно II. Позначимо через QQ перетин прямих (BC)(BC) і (GH)(GH). Доведіть, що прямі (IQ)(IQ) і (IM)(IM) перпендикулярні.
9–11 класиПроєктивна геометрія
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-037

Максимальна потужна множина дійсних чисел

Скінченна непорожня множина EE додатних дійсних чисел називається потужною, якщо для будь-яких різних a,b∈Ea, b \in E принаймні одне з чисел aba^{b} і bab^{a} також належить EE. Визначити максимальну кількість елементів, яку може містити потужна множина.
9–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-014

Многокутник із заданими довжинами сторін

Нехай n⩾2n \geqslant 2 і a1,…,an,b1,…,bna_{1}, \ldots, a_{n}, b_{1}, \ldots, b_{n} — додатні дійсні числа. Числа aia_{i} попарно різні, так само як і числа bib_{i}. Припустимо, що aia_{i} можна розбити на дві підмножини з однаковою сумою, і так само для bib_{i}. Доведіть, що існує простий 2n2n-кутник, який має рівно nn горизонтальних сторін і nn вертикальних сторін, причому довжини горизонтальних сторін — це саме aia_{i}, а довжини вертикальних сторін — саме bib_{i}.
8–10 класиЗадачі на побудову (алгоритмічна…
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-015

Конкурентність прямих у конфігурації з дотичними колами

Два кола ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} дотикаються в точці SS, причому ω1\omega_{1} лежить усередині кола ω2\omega_{2}. Нехай OO — центр кола ω1\omega_{1}. Хорда [AB][AB] кола ω2\omega_{2} дотикається до кола ω1\omega_{1} в точці TT. Доведіть, що пряма (AO)(AO), перпендикуляр до прямої (AB)(AB), який проходить через BB, і перпендикуляр до прямої (ST)(ST), який проходить через SS, перетинаються в одній точці.
8–10 класиТеорема Чеви
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-033

Центр описаного кола трикутника на прямій центрів

Нехай ABCABC — трикутник, не рівнобедрений при вершині AA. Позначимо через D,E,FD, E, F точки дотику вписаного кола зі сторонами (BC)(BC), (AC)(AC) і (AB)(AB), а через II — центр вписаного кола трикутника ABCABC. Нехай PP і QQ — перетини прямої (EF)(EF) з описаним колом Ω\Omega трикутника ABCABC. Нарешті, нехай O1O_{1} і O2O_{2} — центри описаних кіл трикутників AIBAIB і AICAIC. Доведіть, що центр описаного кола трикутника DPQDPQ лежить на прямій (O1O2)\left(O_{1}O_{2}\right).
9–11 класиСтепінь точки відносно кола
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-016

Фіксована точка перетину від проєкцій на дотичні

Нехай Γ\Gamma — коло з центром OO, а (d)(d) — пряма, що не перетинає Γ\Gamma. Позначимо через PP ортогональну проєкцію OO на (d)(d). Нехай QQ — змінна точка на прямій (d)(d), а (t1)\left(t_{1}\right) і (t2)\left(t_{2}\right) — дотичні до кола Γ\Gamma, що проходять через QQ. Позначимо через AA і BB ортогональні проєкції PP на (t1)\left(t_{1}\right) і (t2)\left(t_{2}\right). Доведіть, що точка перетину (AB)(AB) і (OP)(OP) залишається нерухомою, коли QQ змінюється.
8–10 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-071

Скінченність нерівності з функціями Ейлера та кількістю дільників

Нехай SS — множина натуральних чисел nn, для яких виконується нерівність ϕ(n)⋅τ(n)≥n33\phi(n) \cdot \tau(n) \geq \sqrt{\frac{n^{3}}{3}} де ϕ(n)\phi(n) — кількість натуральних чисел k≤nk \leq n, взаємно простих із nn, а τ(n)\tau(n) — кількість додатних дільників числа nn. Доведіть, що SS скінченна.
10–11 класиФункція Ейлера φ(n)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-134

Випадкове прибирання камінців за модулем 5

Алісі Царіні нудно, і вона грається з купкою камінців. Спочатку в купці 20152015 камінців. У кожному раунді, якщо в купці NN камінців, вона забирає kk з них, де 1≤k≤N1 \leq k \leq N, причому кожне можливе kk має однакову ймовірність. Аліса Царіна продовжує, доки в купці не залишиться жодного камінця. Нехай pp — ймовірність того, що кількість камінців, які залишилися в купці після кожного раунду, кратна 55. Якщо pp має вигляд 5a⋅31b⋅cd5^{a} \cdot 31^{b} \cdot \frac{c}{d}, де a,ba, b — цілі числа, а c,dc, d — натуральні числа, взаємно прості з 5⋅315 \cdot 31, знайдіть a+ba+b.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-114

Послідовності з умовою суми за модулем

Обчисліть кількість послідовностей цілих чисел (a1,…,a200)\left(a_{1}, \ldots, a_{200}\right) таких, що виконуються такі умови. - 0≤a1<a2<⋯<a200≤2020 \leq a_{1}<a_{2}<\cdots<a_{200} \leq 202. - Існує натуральне число NN з такою властивістю: для кожного індексу i∈{1,…,200}i \in\{1, \ldots, 200\} існує індекс j∈{1,…,200}j \in\{1, \ldots, 200\} такий, що ai+aj−Na_{i}+a_{j}-N ділиться на 203203.
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-079

Розбиття цілих чисел без степеневих трійок

Назвемо множину натуральних чисел хорошою, якщо її можна розбити на дві множини SS і TT так, що не існує трьох елементів a,b,c∈Sa, b, c \in S, для яких ab=ca^{b}=c, і не існує трьох елементів a,b,c∈Ta, b, c \in T, для яких ab=ca^{b}=c (aa і bb не обов’язково різні). Знайдіть найменше натуральне число nn таке, що множина {2,3,4,…,n}\{2,3,4, \ldots, n\} не є хорошою.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-104

Гра на дошці з максимізацією червоної області

Розглянемо сітку 4×44 \times 4 з клітинок. Азірафаель і Кроулі грають на цій сітці в гру, ходячи по черзі, причому першим ходить Азірафаель. Своїм ходом Азірафаель може пофарбувати будь-яку незафарбовану клітинку в червоний колір, а своїм ходом Кроулі може пофарбувати будь-яку незафарбовану клітинку в синій колір. Гра закінчується, коли всі клітинки зафарбовано, а результатом Азірафаеля є площа найбільшої замкненої області, яка повністю червона. Якщо Азірафаель прагне максимізувати свій результат, Кроулі прагне його мінімізувати, і обидва гравці грають оптимально, яким буде результат Азірафаеля?
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-081

Мінімальна кількість стрибків для невідомої послідовності

Жабеня Келвін намагається перестрибнути через річку. На річці є 10 лататтів, і він мусить стрибати по них у певному порядку (цей порядок Келвінові невідомий). Якщо Келвін у будь-який момент стрибне не на те латаття, його буде відкинуто назад на вихідний берег річки, і йому доведеться починати все спочатку. Якщо вважати Келвіна нескінченно розумним, яка найменша кількість стрибків йому потрібна, щоб гарантовано дістатися іншого берега?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-117

Максимум квадратичної косинусної послідовності

Нехай (a1,a2,a3,a4)(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}) — послідовність із 4 дійсних чисел, яка задовольняє такі дві умови: - a3=a2+a1a_{3} = a_{2} + a_{1} і a4=a3+a2a_{4} = a_{3} + a_{2}; - існують дійсні числа a,b,ca, b, c такі, що an2+bn+c=cos⁡(an)a n^{2} + b n + c = \cos(a_{n}) для всіх n∈{1,2,3,4}n \in \{1,2,3,4\}. Обчисліть найбільше можливе значення cos⁡(a1)−cos⁡(a4)\cos(a_{1}) - \cos(a_{4}) для всіх таких послідовностей (a1,a2,a3,a4)(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}).
10–11 класиПеретворення тригонометричних вир…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-083

Поліноміальне наближення комплекснозначних функцій

Нехай f:[0,1]→Cf:[0,1] \rightarrow \mathbb{C} — непостійна комплекснозначна функція на дійсному проміжку [0,1][0,1]. Доведіть, що існує ϵ>0\epsilon>0 (яке може залежати від ff) таке, що для довільного многочлена PP з комплексними коефіцієнтами існує комплексне число zz з ∣z∣≤1|z| \leq 1 таке, що ∣f(∣z∣)−P(z)∣≥ϵ|f(|z|)-P(z)| \geq \epsilon.
10–11 класиМногочлени ділення кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-118

Квадратичні лишки за модулем x²+1 та 35

Знайдіть кількість впорядкованих пар цілих чисел (a,b)∈{1,2,…,35}2(a, b) \in \{1,2, \ldots, 35\}^2 (не обов’язково різних), таких, що ax+ba x+b є «квадратичним лишком за модулем x2+1x^2+1 і 35», тобто існує многочлен f(x)f(x) з цілими коефіцієнтами, для якого виконується будь-яка з таких еквівалентних умов: - існують многочлени P,QP, Q з цілими коефіцієнтами такі, що f(x)2−(ax+b)=(x2+1)P(x)+35Q(x)f(x)^2-(a x+b)=\left(x^2+1\right) P(x)+35 Q(x); - або, більш концептуально, остача від ділення (многочлена) f(x)2−(ax+b)f(x)^2-(a x+b) на (многочлен) x2+1x^2+1 є многочленом з (цілими) коефіцієнтами, кожен з яких ділиться на 35.
10–11 класиКвадратичні лишки і символ Лежанд…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-119

Многочлени, що діляться на великий степінь

Нехай N=302015N = 30^{2015}. Знайдіть кількість впорядкованих четвірок цілих чисел (A,B,C,D)∈{1,2,…,N}4(A, B, C, D) \in \{1, 2, \ldots, N\}^4 (не обов’язково різних), таких, що для кожного цілого числа nn число An3+Bn2+2Cn+DA n^3 + B n^2 + 2 C n + D ділиться на NN.
10–11 класиІнші класи многочленів

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.