Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

5 945 задач
Складністьолімпіадний, 12–16
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-087

Циклотомічний добуток за модулем 101

Нехай z=e2πi101z = e^{\frac{2\pi i}{101}} і ω=e2πi10\omega = e^{\frac{2\pi i}{10}}. Доведіть, що ∏a=09∏b=0100∏c=0100(ωa+zb+zc)\prod_{a=0}^{9} \prod_{b=0}^{100} \prod_{c=0}^{100} \left(\omega^{a} + z^{b} + z^{c}\right) є цілим числом, і знайдіть (з доведенням) його остачу від ділення на 101101.
10–11 класиМногочлени ділення кола2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-099

Відсоток перемог, що перетинає раціональні значення

Розенкранц зіграв n≤2015n \leq 2015 партій у вікторину й завершив з відсотком перемог (тобто # виграних ігор # зіграних ігор \frac{\# \text{ виграних ігор }}{\# \text{ зіграних ігор }}) kk. Гільденстерн також зіграв декілька партій і має відсоток перемог, менший за kk. Він розуміє, що якщо, зігравши ще декілька партій, його відсоток перемог стане більшим за kk, то мав існувати певний момент часу, коли відсотки перемог Розенкранца й Гільденстерна були точно однаковими. Знайдіть добуток усіх можливих значень kk.
10–11 класиЛінійні діофантові рівняння
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-139

Умовна ймовірність із кольоровими кульками

У Келвіна є мішок із 50 червоними кульками, 50 синіми кульками та 30 жовтими кульками. Відомо, що після того, як він навмання витягнув 65 кульок (без повернення), червоних кульок серед витягнутих виявилося на 5 більше, ніж синіх. Яка ймовірність того, що наступна кулька, яку він витягне, буде червоною?
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-088

Ймовірність хорошого графа на шести вершинах

Граф складається з 6 вершин. Для кожної пари вершин підкидається монета, і ребро, що сполучає ці дві вершини, проводиться тоді й лише тоді, коли випадає герб. Такий граф називається хорошим, якщо, починаючи з будь-якої вершини VV, сполученої принаймні з однією іншою вершиною, можна провести шлях, що починається і закінчується у VV та проходить кожне ребро рівно один раз. Яка ймовірність того, що граф виявиться хорошим?
10–11 класиСтепені вершин
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-089

Сума з рекурентними послідовностями

Послідовності дійсних чисел {ai}i=1∞\{a_{i}\}_{i=1}^{\infty} і {bi}i=1∞\{b_{i}\}_{i=1}^{\infty} задовольняють an+1=(an−1−1)(bn+1)a_{n+1} = (a_{n-1} - 1)(b_{n} + 1) і bn+1=anbn−1−1b_{n+1} = a_{n} b_{n-1} - 1 при n≥2n \geq 2, причому a1=a2=2015a_{1} = a_{2} = 2015 і b1=b2=2013b_{1} = b_{2} = 2013. Обчисліть з доведенням нескінченну суму ∑n=1∞bn(1an+1−1an+3)\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}\left(\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_{n+3}}\right)
10–11 класиСуми послідовностей
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-100

Ітерації функції з фіксованою кінцевою точкою

Нехай NN — кількість функцій ff з {1,2,…,101}→{1,2,…,101}\{1,2, \ldots, 101\} \rightarrow \{1,2, \ldots, 101\} таких, що f101(1)=2f^{101}(1)=2. Знайдіть остачу від ділення NN на 103.
10–11 класиЦиклічні підстановки (метод орбіт)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-090

Сюр'єктивність степеня за модулем

Число nn називається поганим, якщо існує таке ціле число cc, для якого конгруенція xx≡c(modn)x^{x} \equiv c \pmod{n} не має цілих розв'язків відносно xx. Знайдіть кількість поганих цілих чисел між 22 і 4242 включно.
10–11 класиКитайська теорема про остачі
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-020

Нескінченна сума з цілою частиною

Знайдіть ∑k=0∞⌊1+20000004k2⌋\sum_{k=0}^{\infty}\left\lfloor\frac{1+\sqrt{\frac{2000000}{4^{k}}}}{2}\right\rfloor де ⌊x⌋\lfloor x\rfloor позначає найбільше ціле число, менше або рівне xx.
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-028

Запис із одиниць у різних основах як повний квадрат

Знайдіть найменше натуральне число bb таке, що 1111b1111_{b} (1111 в системі числення з основою bb) є повним квадратом. Якщо такого bb не існує, напишіть «Немає розв’язку».
10–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-034

Функціональне рівняння з додатністю та умовою квадрата

Нехай f:Z→Zf: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} — функція така, що для довільних цілих чисел x,yx, y виконується f(x2−3y2)+f(x2+y2)=2(x+y)f(x−y)f\left(x^{2}-3 y^{2}\right)+f\left(x^{2}+y^{2}\right)=2(x+y) f(x-y) Припустимо, що f(n)>0f(n)>0 для всіх n>0n>0 і що f(2015)⋅f(2016)f(2015) \cdot f(2016) є повним квадратом. Знайдіть найменше можливе значення f(1)+f(2)f(1)+f(2).
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-041

Остання цифра в рекурентній послідовності

Визначимо послідовність ai,ja_{i, j} цілих чисел таку, що a1,n=nna_{1, n} = n^{n} для n≥1n \geq 1 і ai,j=ai−1,j+ai−1,j+1a_{i, j} = a_{i-1, j} + a_{i-1, j+1} для всіх i,j≥1i, j \geq 1. Знайдіть останню (десяткову) цифру числа a128,1a_{128,1}.
10–11 класиВластивості біноміальних коефіціє…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-052

Очікуване значення остачі біноміального коефіцієнта за модулем 3

Нехай aa, bb — цілі числа, вибрані незалежно й рівномірно випадково з множини {0,1,2,…,80}\{0,1,2, \ldots, 80\}. Обчисліть математичне сподівання остачі від ділення біноміального коефіцієнта (ab)=a!b!(a−b)!\binom{a}{b}=\frac{a!}{b!(a-b)!} на 33. (Тут (00)=1\binom{0}{0}=1, а (ab)=0\binom{a}{b}=0, коли a<ba<b.)
10–11 класиФакторизація біноміальних коефіці…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-055

Точки дотику вписаного кола та умова перпендикулярності

Нехай ABCABC — трикутник, вписане коло якого має центр II і дотикається до сторін BC‾\overline{BC}, CA‾\overline{CA}, AB‾\overline{AB} у точках D,E,FD, E, F. Позначимо через XX середину більшої дуги BAC^\widehat{BAC} описаного кола трикутника ABCABC. Нехай PP — точка на прямій XIXI така, що DP‾⊥EF‾\overline{DP} \perp \overline{EF}. Відомо, що AB=14AB=14, AC=15AC=15 і BC=13BC=13. Обчисліть довжину відрізка DPDP.
10–11 класиІнверсія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-057

Сума квадратів коренів многочлена

Знайдіть суму квадратів усіх різних комплексних чисел xx, що задовольняють рівняння 0=4x10−7x9+5x8−8x7+12x6−12x5+12x4−8x3+5x2−7x+40 = 4 x^{10} - 7 x^{9} + 5 x^{8} - 8 x^{7} + 12 x^{6} - 12 x^{5} + 12 x^{4} - 8 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x + 4
10–11 класиМногочлени ділення кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-060

Покриття непарних остач за модулем 1024 степеневими циклами

Назвемо степеневим циклом множину SS, що складається з невід'ємних цілих степенів цілого числа aa, тобто S={1,a,a2,…}S = \{1, a, a^{2}, \ldots\} для деякого цілого числа aa. Яка найменша кількість степеневих циклів потрібна, щоб для будь-якого непарного цілого числа nn існувало ціле число kk в одному зі степеневих циклів таке, що n≡k(mod1024)n \equiv k \pmod{1024}?
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-061

Нескінченна сума об'ємів конусів

Заможний король наказав ковалю виготовити йому великий келих, внутрішня порожнина якого — конус висоти 99 дюймів з діаметром основи 66 дюймів (тобто отвір у верхній частині келиха має діаметр 66 дюймів). На одному зі своїх численних бенкетів він наказує наповнити кухоль ущерть журавлинним соком. Для кожного натурального числа nn король енергійно розмішує напій і робить ковток так, щоб висота рідини, що залишилася в келиху після ковтка, зменшилася на 1n2\frac{1}{n^{2}} дюйма. Невдовзі після цього, поки король відволікся, придворний блазень доливає чистий сойлент у келих, доки той знову не стане повним. Король робить ковтки рівно щохвилини, причому перший ковток — рівно за хвилину після початку бенкету. З плином часу кількість соку, випита королем (у кубічних дюймах), наближається до числа rr. Знайдіть rr.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-062

Числа у вигляді виразу зі стелею та добутком

Знайдіть суму всіх натуральних чисел n≤2015n \leq 2015, які можна подати у вигляді ⌈x2⌉+y+xy\left\lceil\frac{x}{2}\right\rceil + y + x y, де xx і yy — натуральні числа.
10–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-063

Чотири точки з двома відстанями

Скільки існує способів розмістити чотири точки на площині так, щоб множина попарних відстаней між точками складалася рівно з 2 елементів? (Дві конфігурації вважаються однаковими, якщо одну можна отримати з іншої за допомогою повороту та масштабування.)
10–11 класиГеометричні конфігурації точок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-065

Зважений підрахунок для квадратичної форми

Для цілого числа nn нехай f(n)f(n) позначає кількість пар цілих чисел (x,y)(x, y) таких, що x2+xy+y2=nx^{2}+x y+y^{2}=n. Обчисліть суму ∑n=1106nf(n)\sum_{n=1}^{10^{6}} n f(n) Запишіть свою відповідь у вигляді a⋅10ba \cdot 10^{b}, де bb — ціле число, а 1≤a<101 \leq a<10 — десяткове число. Якщо ваша відповідь записана в такому вигляді, то ваша оцінка становитиме max⁡{0,25−⌊100∣log⁡10(A/N)∣⌋}\left.\max \left\{0,25-\left\lfloor 100\left|\log _{10}(A / N)\right|\right\rfloor\right\}\right., де N=a⋅10bN=a \cdot 10^{b} — ваша відповідь до цієї задачі, а AA — справжня відповідь. Інакше ваша оцінка дорівнюватиме нулю.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-068

Підмножини, замкнені відносно симетричної різниці

Нехай PP позначає множину всіх підмножин {1,…,23}\{1, \ldots, 23\}. Підмножина S⊆PS \subseteq P називається хорошою, якщо для будь-яких множин A,BA, B з SS множина (A\B)∪(B\A)(A \backslash B) \cup (B \backslash A) також належить SS. (Тут A\BA \backslash B позначає множину всіх елементів з AA, які не належать BB, а B\AB \backslash A позначає множину всіх елементів з BB, які не належать AA.) Яку частку хороших підмножин PP становлять ті, що мають від 2015 до 3015 елементів включно? Якщо ваша відповідь — десяткове число або дріб (вигляду m/nm / n, де mm і nn — натуральні числа), то ваш результат за цю задачу дорівнюватиме max⁡{0,25−⌊1000∣A−N∣⌋}\max \{0,25-\lfloor 1000|A-N|\rfloor\}, де NN — ваша відповідь, а AA — правильна відповідь. Інакше ваш результат буде нульовим.
10–11 класиБієкції
Відбіркові тести на IMOTST-2015-002

Досяжні точки решітки при взаємно простих кроках

Нехай aa і bb — два натуральні числа, для яких НСД(a,b)=1\text{НСД}(a, b)=1. Розглянемо фішку, що стоїть на точці решітки (x,y)(x, y). Хід типу A полягає в переміщенні фішки в одну з таких точок: (x+a,y+a),(x+a,y−a),(x−a,y+a)(x+a, y+a), (x+a, y-a), (x-a, y+a) або (x−a,y−a)(x-a, y-a). Хід типу B полягає в переміщенні фішки в точку (x+b,y+b),(x+b,y−b),(x−b,y+b)(x+b, y+b), (x+b, y-b), (x-b, y+b) або (x−b,y−b)(x-b, y-b). Поставимо тепер фішку на (0,0)(0,0). Дозволено виконати (скінченну) кількість ходів, причому ходи типу A і типу B чергуються, починаючи з ходу типу A. Дозволено виконувати як парну, так і непарну кількість ходів, тобто останній хід може бути як типу A, так і типу B. Знайдіть множину всіх точок решітки (x,y)(x, y), які можна досягти такою серією ходів.
10–11 класиПарність і непарність
Відбіркові тести на IMOTST-2015-008

Рівні кути у трикутнику з прямою, паралельною до основи

Нехай ABCABC — трикутник, у якому AB>ACAB > AC, а MM — середина сторони ACAC. Далі нехай DD — точка на стороні ABAB така, що DB=DCDB = DC. Пряма, паралельна стороні BCBC, що проходить через DD, і пряма BMBM перетинаються в точці KK. Доведіть, що ∠KCD=∠DAC\angle KCD = \angle DAC.
10–11 класиГомотерія і подібність
Відбіркові тести на IMOTST-2015-013

Кола, що перетинаються, з паралельними прямими

Нехай кола Γ1\Gamma_{1} і Γ2\Gamma_{2} з центрами відповідно O1O_{1} і O2O_{2} перетинаються у двох різних точках AA і BB. Пряма O1AO_{1} A перетинає Γ2\Gamma_{2} ще раз у точці CC, а пряма O2AO_{2} A перетинає Γ1\Gamma_{1} ще раз у точці DD. Пряма через точку BB, паралельна до прямої ADA D, перетинає Γ1\Gamma_{1} ще раз у точці EE. Припустімо, що пряма O1AO_{1} A паралельна до прямої DED E. Доведіть, що пряма CDC D перпендикулярна до прямої O2CO_{2} C.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)3 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2015-012

Коло через вершину і середину дуги з рівними кутами

У трикутнику ABCABC точка DD — перетин внутрішньої бісектриси кута ∠BAC\angle BAC зі стороною BCBC. Нехай PP — друга точка перетину зовнішньої бісектриси кута ∠BAC\angle BAC з описаним колом трикутника △ABC\triangle ABC. Коло, що проходить через точки AA і PP, перетинає відрізок BPBP у внутрішній точці EE та відрізок CPCP у внутрішній точці FF. Доведіть, що ∠DEP=∠DFP\angle DEP = \angle DFP.
10–11 класиОзнаки подібності
Відбіркові тести на IMOTST-2015-014

Розфарбування чисел з максимальною кількістю різноколірних сум

Можна пофарбувати кожне з чисел від 1 до 2014 включно, причому рівно половина має стати червоною, а інша половина — синьою. Далі розглянемо кількість kk додатних цілих чисел, які можна записати у вигляді суми червоного та синього числа. Визначте найбільше значення kk, якого можна досягти.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.