Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

5 945 задач
Складністьолімпіадний, 12–16
Відбіркові тести на IMOTST-2014-008

Переставляння сусідніх фішок у ряді

Дано 2n2 n фішок, які лежать у ряд. За один хід можна поміняти місцями дві сусідні фішки. Скільки ходів треба зробити, щоб кожна фішка один раз побувала на початку ряду й один раз — у кінці ряду?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2014-017

Рівність відрізків при перетині описаних кіл

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, у якому ∣AB∣≠∣AC∣|AB| \neq |AC|. Нехай DD та EE — середини сторін AB‾\overline{AB} та AC‾\overline{AC} відповідно. Нехай описані кола трикутників BCDBCD і BCEBCE перетинають описане коло трикутника ADEADE у точках PP та QQ відповідно, причому P≠DP \neq D і Q≠EQ \neq E. Доведіть, що ∣AP∣=∣AQ∣|AP| = |AQ|.
10–11 класиІнверсія2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2014-018

Мощення багатокутника S- та Z-тетраміно

З двох доміно 2×12 \times 1 можна побудувати тетраміно, якщо розташувати обидва доміно вздовж їхніх довших сторін таким чином, щоб середина довшої сторони одного доміно була вершиною іншого доміно. При цьому виникають два типи тетраміно, що відрізняються своєю орієнтацією, які ми назвемо SS- та ZZ-тетраміно. SS-тетраміно: ZZ-тетраміно: Багатокутник на вузлах сітки PP — це просто зв'язна область, граничні лінії якої лежать лише на лініях цілочисельної координатної сітки площини. Замощення PP — це повне та без перекриттів покриття PP фігурами, які також не виходять частково за межі PP. Тепер припустимо, що багатокутник на вузлах сітки PP може бути замощений лише SS-тетраміно. Доведіть: якщо також можливе замощення PP за допомогою SS- та ZZ-тетраміно, то кількість використаних ZZ-тетраміно завжди парна.
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Відбіркові тести на IMOTST-2014-019

Коло через вершину, дотичне в інцентрі

У трикутнику ABCABC точка II — центр вписаного кола. Коло дотикається до прямої AIAI в точці II і проходить через точку BB. Це коло перетинає ABAB ще раз у точці PP, а BCBC — ще раз у точці QQ. Пряма QIQI перетинає ACAC у точці RR. Доведіть, що ∣AR∣⋅∣BQ∣=∣PI∣2|AR| \cdot |BQ| = |PI|^{2}.
10–11 класиДотична кола
Відбіркові тести на IMOTST-2014-015

Трикутники з рівними радіусами вписаних кіл

Дано 4 точки на площині такі, що 4 трикутники, які вони утворюють, мають однаковий радіус вписаного кола. Доведіть, що ці 4 трикутники конгруентні.
10–11 класиВписане коло
Відбіркові тести на IMOTST-2014-016

Дружні пари у щільному графі

Нехай nn — парне натуральне число, а GG — граф на nn вершинах з рівно n24\frac{n^2}{4} ребрами, без петель і кратних ребер (кожну невпорядковану пару різних вершин з'єднано 0 або 1 ребром). Невпорядковану пару різних вершин {x,y}\{x, y\} називають дружньою, якщо вони мають спільного сусіда (існує вершина zz, така, що xzxz і yzyz — обидва ребра). Доведіть, що GG має принаймні 2(n/22)2\binom{n/2}{2} невпорядкованих пар вершин, які є дружніми.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Відбіркові тести на IMOTST-2014-025

Бісектриса і проєкція центра описаного кола

Нехай △ABC\triangle ABC — трикутник, у якому ∣AC∣=2∣AB∣|AC| = 2|AB|, і нехай OO — центр описаного кола. Нехай DD — точка перетину бісектриси ∠A\angle A зі стороною BCBC. Нехай EE — перпендикулярна проєкція OO на пряму ADAD, а F≠DF \neq D — точка на прямій ADAD, для якої ∣CD∣=∣CF∣|CD| = |CF|. Доведіть, що ∠EBF=∠ECF\angle EBF = \angle ECF.
10–11 класиСиметрія
Відбіркові тести на IMOTST-2014-024

Найбільший дільник факторіала без дільників з проміжку

Нехай m≥3m \geq 3 та nn — натуральні числа такі, що n>m(m−2)n > m(m-2). Знайдіть найбільше натуральне число dd таке, що d∣n!d \mid n! і k∤dk \nmid d для всіх k∈{m,m+1,…,n}k \in \{m, m+1, \ldots, n\}.
10–11 класиОсновна теорема арифметики
Відбіркові тести на IMOTST-2014-030

Перемикання лампочок на великій дошці

На дошці 2014×20142014 \times 2014 на кожній з 201422014^{2} клітинок стоїть лампочка. Лампочки можуть бути ввімкнені або вимкнені. У початковій ситуації деяка кількість лампочок увімкнена. За один хід вибирають рядок або стовпець, у якому ввімкнено принаймні 1007 лампочок, і змінюють стан усіх 2014 лампочок у цьому рядку або стовпці (з увімкненої на вимкнену і з вимкненої на увімкнену). Знайдіть найменше невід'ємне ціле kk таке, що з кожної початкової ситуації можна за скінченну кількість ходів перейти до ситуації, у якій увімкнено не більше ніж kk лампочок.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2014-026

Цілочисловий многочлен зі сюр'єктивними значеннями

Нехай P(x)P(x) — многочлен із цілими коефіцієнтами степеня n≤10n \leq 10, для якого для кожного k∈{1,2,…,10}k \in \{1,2, \ldots, 10\} існує ціле mm таке, що P(m)=kP(m)=k. Крім того, відомо, що ∣P(10)−P(0)∣<1000|P(10)-P(0)|<1000. Доведіть, що для кожного цілого kk існує ціле mm таке, що P(m)=kP(m)=k.
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Відбіркові тести на IMOTST-2014-028

Рівність площ чотирикутника та чотирикутника ортоцентрів

Нехай ABCDABCD — вписаний чотирикутник, а точки E,F,GE, F, G і HH — середини сторін AB,BC,CDAB, BC, CD і DADA відповідно. Нехай W,X,YW, X, Y і ZZ — ортоцентри трикутників AHE,BEF,CFGAHE, BEF, CFG і DGHDGH відповідно. Доведіть, що чотирикутники ABCDABCD і WXYZWXYZ мають однакову площу.
10–11 класиГомотерія і подібність
Відбіркові тести на IMOTST-2014-033

Дотичні кола й прямокутний трикутник

Два кола ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} дотикаються в точці AA і містяться всередині кола Ω\Omega. При цьому ω1\omega_{1} дотикається до кола Ω\Omega в точці BB, а ω2\omega_{2} дотикається до кола Ω\Omega в точці CC. Пряма ACA C перетинає ω1\omega_{1} ще раз у точці DD. Доведіть, що DBCD B C — прямокутний трикутник, якщо A,BA, B і CC не лежать на одній прямій.
10–11 класиГомотерія і подібність2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2014-041

Остовні дерева з забороненими ребрами

Країна має nn міст, позначених 11, 22, 33, …\dots, nn. Вона хоче прокласти рівно n−1n-1 доріг між деякими парами міст так, щоб з кожного міста можна було потрапити до кожного іншого певною послідовністю доріг. Однак не дозволяється прокладати дороги між парами міст, номери яких відрізняються рівно на 11, і так само не дозволяється прокладати дорогу між містами 11 і nn. Нехай TnT_n — загальна кількість можливих способів прокласти ці дороги. a. Для всіх непарних nn доведіть, що TnT_n ділиться на nn. b. Для всіх парних nn доведіть, що TnT_n ділиться на n/2n/2.
10–11 класиДерева2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2014-042

Рекурентна послідовність із різними остачами

Нехай функція f:N→Nf : \mathbb{N} \to \mathbb{N} задана умовами f(1)=1f(1) = 1, f(n+1)=f(n)+2f(n)f(n + 1) = f(n) + 2^{f(n)} для кожного натурального числа nn. Доведіть, що числа f(1),f(2),…,f(32013)f(1), f(2), \dots, f(3^{2013}) дають попарно різні остачі при діленні на 320133^{2013}.
10–11 класиТеорема Ейлера
Відбіркові тести на IMOTST-2014-036

Натуральні числа з вільними від квадратів остачами

Знайдіть усі натуральні числа nn з такою властивістю: для всіх простих чисел p<np < n число n−⌊np⌋pn - \left\lfloor \frac{n}{p} \right\rfloor p не ділиться на квадрат натурального числа, більшого за 11.
10–11 класиМіркування за модулем
Італійська математична олімпіадаITAMO-2014-002

НСД сум трьох послідовних степенів

Для кожного натурального числа nn нехай DnD_{n} — найбільший спільний дільник усіх чисел вигляду an+(a+1)n+(a+2)na^{n} + (a+1)^{n} + (a+2)^{n}, де aa пробігає всі натуральні числа. a. Доведіть, що для кожного nn число DnD_{n} має вигляд 3k3^{k} для деякого цілого k≥0k \geq 0. b. Доведіть, що для кожного k≥0k \geq 0 існує ціле число nn таке, що Dn=3kD_{n} = 3^{k}.
10–11 класиЛема про підняття показника (LTE-…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2014-003

Покриття кліками та незалежними множинами

Нехай nn — натуральне число. Для кожної пари учнів певної школи, в якій навчається nn учнів, або ця пара є взаємними друзями, або ні. Нехай NN — найменша можлива сума a+ba+b натуральних чисел aa і bb, що задовольняють такі 2 умови щодо учнів цієї школи: (1) Можна поділити учнів на aa команд так, щоб будь-яка пара учнів, які належать до однієї команди, були взаємними друзями. (2) Можна поділити учнів на bb команд так, щоб будь-яка пара учнів, які належать до однієї команди, не були взаємними друзями. Припускається, що кожен учень належатиме до однієї й лише однієї команди, коли учнів ділять на команди для виконання умов (1) і (2) вище, а команда може складатися лише з одного учня, і в цьому разі вважається, що ця команда задовольняє обидві умови: що будь-яка пара учнів у цій команді є взаємними друзями; не є взаємними друзями. Визначте через nn найбільше можливе значення, якого може набувати NN.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2014-006

Коло через точки перетину, дотичне до сторони

Нехай Γ\Gamma — описане коло трикутника ABCABC, а ℓ\ell — пряма, дотична до кола Γ\Gamma в точці AA. Нехай D,ED, E — внутрішні точки сторін AB,ACAB, AC відповідно, що задовольняють умову BD:DA=AE:ECBD : DA = AE : EC. Нехай F,GF, G — дві точки перетину прямої DEDE і кола Γ\Gamma, HH — точка перетину прямої ℓ\ell і прямої, паралельної до ACAC, що проходить через точку DD, а II — точка перетину прямої ℓ\ell і прямої, паралельної до ABAB, що проходить через точку EE. Доведіть, що чотири точки F,G,H,IF, G, H, I лежать на колі, яке дотикається до прямої BCBC. Тут для відрізка XYXY його довжину також позначаємо через XYXY.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2014-009

Розподіл підкомітетів за вподобаннями

У певній школі є комітет, що складається з 4 членів. Для цього комітету є 4 підкомітети, і кожному членові комітету буде запропоновано очолити окремий підкомітет. Припустімо, що кожен член комітету має 2 підкомітети, які він волів би очолювати. Відомо, що існує рівно 2 способи розподілити підкомітети між членами так, щоб задовольнити вподобання всіх членів. Скільки можливих комбінацій вподобань усіх чотирьох членів є в цій ситуації?
10–11 класиСтепені вершин
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2014-011

Колінеарність перетинів прямих із точками на діагоналях квадрата

Нехай OO — точка перетину двох діагоналей квадрата ABCDABCD. Точки P,Q,R,SP, Q, R, S лежать на відрізках OA,OB,OC,ODOA, OB, OC, OD відповідно та задовольняють OP=3OP = 3, OQ=5OQ = 5, OR=4OR = 4. Тут для відрізка XYXY його довжину також позначаємо через XYXY. Якщо точка перетину прямих ABAB і PQPQ, точка перетину прямих BCBC і QRQR та точка перетину прямих CDCD і RSRS лежать на одній прямій, чому дорівнює довжина відрізка OSOS?
10–11 класиТеорема Менелая
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2014-012

Розфарбування сітки з обмеженнями на сусідство

Для сітки з 55×5555 \times 55 клітинок розглянемо таку операцію: Операція: вибрати прямокутну область, що складається з кількох клітинок сітки, і пофарбувати цю область або в білий, або в чорний колір. Визначте найменшу можливу кількість операцій, необхідну, щоб з початкової конфігурації, в якій усі клітинки пофарбовані в білий колір, отримати конфігурацію, що задовольняє такі умови: клітинка у верхньому лівому куті пофарбована в чорний колір. кожна клітинка, що має спільну сторону з клітинкою, пофарбованою в чорний колір, пофарбована в білий колір. кожна клітинка, що має спільну сторону з клітинкою, пофарбованою в білий колір, пофарбована в чорний колір.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2014-013

Таблиця бінарної операції з ідемпотентною діагоналлю

Розглянемо операцію вписування в кожну клітинку клітинної дошки 6×66 \times 6 цілого числа, більшого або рівного 11 і меншого або рівного 66. Для пари цілих чисел (i,j)(i, j) з 1≤i,j≤61 \le i, j \le 6 позначимо через i⋄ji \diamond j ціле число, вписане в клітинку, розташовану в ii-му рядку та jj-му стовпці після операції. Скільки існує різних операцій, які задовольняють такі 2 умови? Для кожного ii (1≤i≤61 \le i \le 6) виконується i⋄i=ii \diamond i = i. Для будь-якого вибору i,j,k,ℓi, j, k, \ell з 1≤i,j,k,ℓ≤61 \le i, j, k, \ell \le 6 виконується (i⋄j)⋄(k⋄ℓ)=i⋄ℓ(i \diamond j) \diamond (k \diamond \ell) = i \diamond \ell.
10–11 класиПерестановки
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2014-001

Нерівність із симетричними сумами та кубами

Нехай xx, yy, zz — додатні дійсні числа, які задовольняють x+y+z=1x + y + z = 1. Доведіть, що (1+xy+yz+zx)(1+3x3+3y3+3z3)9(x+y)(y+z)(z+x)≥(x1+x3+9x24+y1+y3+9y24+z1+z3+9z24)2\frac{(1 + xy + yz + zx)(1 + 3x^3 + 3y^3 + 3z^3)}{9(x + y)(y + z)(z + x)} \ge \left( \frac{x\sqrt{1+x}}{\sqrt[4]{3+9x^2}} + \frac{y\sqrt{1+y}}{\sqrt[4]{3+9y^2}} + \frac{z\sqrt{1+z}}{\sqrt[4]{3+9z^2}} \right)^2
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2014-004

Дотик і перпендикулярність у рівнобедреній конфігурації

Нехай ABCABC — рівнобедрений трикутник з AC=BCAC = BC. Нехай DD — точка на прямій BABA така, що AA лежить між BB і DD. Нехай O1O_1 — описане коло трикутника DACDAC. Коло O1O_1 перетинає BCBC у точці EE. Нехай FF — точка на прямій BCBC така, що пряма FDFD дотикається до кола O1O_1, а O2O_2 — описане коло трикутника DBFDBF. Два кола O1,O2O_1, O_2 перетинаються в точці GG (G≠DG \neq D). Нехай OO — центр описаного кола трикутника BEGBEG. Доведіть, що пряма FGFG дотикається до кола OO тоді й лише тоді, коли пряма DGDG перпендикулярна до прямої FOFO.
10–11 класиДотична кола
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2014-002

Колінеарні точки з умовою на суму індексів

Доведіть, що існує нескінченна множина точок …,P−3,P−2,P−1,P0,P1,P2,P3,…\dots, P_{-3}, P_{-2}, P_{-1}, P_0, P_1, P_2, P_3, \dots на площині з такою властивістю: для будь-яких трьох різних цілих чисел a,ba, b і cc точки Pa,PbP_a, P_b і PcP_c лежать на одній прямій тоді і лише тоді, коли a+b+c=2014a + b + c = 2014.
10–11 класиМетод координат2 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.