Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

5 945 задач
Складністьолімпіадний, 12–16
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-100

Сума пар взаємно обернених остач за модулем

Нехай mm — непарне натуральне число, більше за 11. Нехай SmS_{m} — множина всіх невід'ємних цілих чисел, менших за mm, які мають вигляд x+yx+y, де xy−1x y-1 ділиться на mm. Нехай f(m)f(m) — кількість елементів множини SmS_{m}. a. Доведіть, що f(mn)=f(m)f(n)f(m n)=f(m) f(n), якщо m,nm, n — взаємно прості непарні цілі числа, більші за 11. b. Знайдіть явну формулу для f(pk)f\left(p^{k}\right), де k>0k>0 — ціле число, а pp — непарне просте число.
10–11 класиКитайська теорема про остачі
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-131

П'ятикутник з кутовими та метричними умовами

П'ятикутник ABCDEA B C D E задано за таких умов: (a) ∠CBD+∠DAE=∠BAD=45∘,∠BCD+∠DEA=300∘\angle C B D + \angle D A E = \angle B A D = 45^{\circ}, \angle B C D + \angle D E A = 300^{\circ} (b) BADA=223, CD=753\frac{B A}{D A} = \frac{2 \sqrt{2}}{3},\ C D = \frac{7 \sqrt{5}}{3}, і DE=1524D E = \frac{15 \sqrt{2}}{4} (c) AD2⋅BC=AB⋅AE⋅BDA D^{2} \cdot B C = A B \cdot A E \cdot B D Обчисліть довжину діагоналі BDB D.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-122

Підрядок у десятковому записі та відношення з НСД

Нехай NN — натуральне число, десятковий запис якого містить 1123511235 як неперервний підрядок, і нехай kk — натуральне число таке, що 10k>N10^{k} > N. Знайдіть найменше можливе значення 10k−1НСД(N,10k−1)\frac{10^{k}-1}{\text{НСД}\left(N, 10^{k}-1\right)}
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-113

Збіг записів числа за різних основ

Знайдіть суму всіх натуральних чисел nn таких, що існує ціле число bb, для якого ∣b∣≠4|b| \neq 4 і запис числа nn за основою −4-4 збігається із записом числа nn за основою bb.
10–11 класиСистеми числення
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-141

Очікуваний максимум симетричного випадкового блукання

Розенкранц і Гільденстерн починають кожен із \ 2013$ і підкидають чесну монету. Коли випадає аверс, Розенкранц платить Гільденстерну \ 1$, а коли випадає реверс, Гільденстерн платить Розенкранцу \ 1$. Нехай f(n)f(n) — кількість доларів, на яку Розенкранц випереджає свою початкову суму після nn підкидань. Обчисліть математичне сподівання величини max⁡{f(0),f(1),f(2),…,f(2013)}\max \{f(0), f(1), f(2), \ldots, f(2013)\}.
10–11 класиБієкції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-132

Відбиття і дотичні в колі

Трикутник ABCABC вписано в коло ω\omega. Нехай бісектриса кута AA перетинає ω\omega в точці DD, а BCBC — в точці EE. Нехай відображеннями точки AA відносно DD і CC є D′D' і C′C' відповідно. Припустимо, що ∠A=60∘\angle A = 60^\circ, AB=3AB = 3 і AE=4AE = 4. Якщо дотична до кола ω\omega в точці AA перетинає пряму BCBC в точці PP, а описане коло трикутника APD′APD' перетинає пряму BCBC в точці FF (відмінній від PP), обчисліть довжину відрізка FC′FC'.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-103

Зсування опуклих многокутників зі столу

У Чім Ту є великий прямокутний стіл. На ньому лежить скінченна кількість аркушів паперу з попарно неперетинними внутрішностями, кожен у формі опуклого многокутника. За один хід Чім Ту може зсунути один аркуш паперу по прямій так, щоб під час руху його внутрішність не торкалася жодного іншого аркуша паперу. Чи зможе Чім Ту завжди за скінченну кількість ходів зсунути всі аркуші паперу зі столу?
10–11 класиЕкстремальні геометричні конструк…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-036

Найкоротший шлях у кубі з діркою

Жук перебуває в одній зовнішній вершині тіла SS — куба 3×3×33 \times 3 \times 3, з якого вирізано центральний куб 1×1×11 \times 1 \times 1, — і хоче дістатися до протилежної зовнішньої вершини. Нехай OO позначає зовнішню поверхню тіла SS (утворену поверхнею куба 3×3×33 \times 3 \times 3). Нехай L(S)L(S) позначає довжину найкоротшого шляху через тіло SS. (Зауважимо, що такий шлях не може проходити через відсутній центральний куб, який є порожнім простором.) Нехай L(O)L(O) позначає довжину найкоротшого шляху по поверхні OO. Чому дорівнює відношення L(S)L(O)\frac{L(S)}{L(O)}?
10–11 класиЕкстремальні геометричні конструк…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-040

Послідовність зі зміною основи і додаванням двійки

Визначимо послідовність натуральних чисел {an}\{a_n\} так. Нехай a1=1a_1=1, a2=3a_2=3, а для кожного n>2n>2 нехай ana_n — результат такої процедури: запишемо an−1a_{n-1} у системі числення з основою n−1n-1, потім прочитаємо одержаний запис як число в системі числення з основою nn, потім додамо 22 (у системі з основою nn). Наприклад, a2=310=112a_2=3_{10}=11_2, тому a3=113+23=610a_3=11_3+2_3=6_{10}. Запишіть a2013a_{2013} у десятковій системі числення.
10–11 класиСистеми числення
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-045

Цілі числа як знакозмінні суми степенів трійки

Знайдіть кількість натуральних чисел j≤32013j \leq 3^{2013} таких, що j=∑k=0m((−1)k⋅3ak)j=\sum_{k=0}^{m}\left((-1)^{k} \cdot 3^{a_{k}}\right) для деякої строго зростаючої послідовності невід'ємних цілих чисел {ak}\left\{a_{k}\right\}. Наприклад, можна записати 3=313=3^{1} і 55=30−33+3455=3^{0}-3^{3}+3^{4}, а число 4 у такому вигляді записати не можна.
10–11 класиГеометрична прогресія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-047

Оптимальне вгадування із заданою кількістю

Шеррі та Вел грають у гру. У Шеррі є колода, що містить 20112011 червоних карток і 20122012 чорних карток, перетасованих випадковим чином. Шеррі відкриває ці картки по одній, і перед тим, як вона відкриє кожну картку, Вел вгадує, червона вона чи чорна. Якщо Вел вгадує правильно, вона виграє 11 долар; інакше вона втрачає 11 долар. Крім того, Вел має назвати червоний колір рівно 20112011 разів. Якщо Вел грає оптимально, чому дорівнює її очікуваний виграш у цій грі?
10–11 класиВиграшні та програшні позиції: ан…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-056

Трикутник, висоти якого утворюють трикутник

Трикутник ABCABC має периметр 11. Його три висоти є довжинами сторін деякого трикутника. Знайдіть множину всіх можливих значень min⁡(AB,BC,CA)\min(AB, BC, CA).
10–11 класиНерівність трикутника
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-061

Пари неперетинних множин з єдиним перетином

Нехай A1,A2,…,AmA_{1}, A_{2}, \ldots, A_{m} — скінченні множини розміру 20122012, а B1,B2,…,BmB_{1}, B_{2}, \ldots, B_{m} — скінченні множини розміру 20132013 такі, що Ai∩Bj=∅A_{i} \cap B_{j} = \emptyset тоді й лише тоді, коли i=ji = j. Знайдіть найбільше можливе значення mm.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-063

Рівняння з НСК із параметром

Скільки існує натуральних чисел kk таких, що k2013(a+b)=НСК(a,b)\frac{k}{2013}(a+b)=\text{НСК}(a, b) має розв'язок у натуральних числах (a,b)(a, b)?
10–11 класиНСД та НСК
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-064

Ортоцентри у вписаному чотирикутнику

Нехай ABCDABCD — чотирикутник, вписаний в одиничне коло з центром OO. Припустимо, що ∠AOB=∠COD=135∘\angle AOB = \angle COD = 135^{\circ}, BC=1BC = 1. Нехай B′B' і C′C' — образи точки AA при симетрії відносно прямих BOBO і COCO відповідно. Нехай H1H_1 і H2H_2 — ортоцентри трикутників AB′C′AB'C' і BCDBCD відповідно. Якщо MM — середина відрізка OH1OH_1, а O′O' — образ точки OO при симетрії відносно середини відрізка MH2MH_2, обчисліть довжину відрізка OO′OO'.
10–11 класиКомплексні числа
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-065

Прямокутник у колі з перпендикулярними хордами

Хорди AB‾\overline{AB} і CD‾\overline{CD} кола ω\omega перетинаються в точці EE так, що AE=8AE=8, BE=2BE=2, CD=10CD=10 і ∠AEC=90∘\angle AEC=90^{\circ}. Нехай RR — прямокутник усередині кола ω\omega зі сторонами, паралельними AB‾\overline{AB} і CD‾\overline{CD}, такий, що жодна внутрішня точка RR не лежить на AB‾\overline{AB}, CD‾\overline{CD} чи на межі кола ω\omega. Знайдіть найбільшу можливу площу прямокутника RR.
10–11 класиМетод координат
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-069

Площа потрійного перетину трикутників

На кожній стороні прямокутника 66 на 88 побудовано рівносторонній трикутник, для якого ця сторона є однією зі сторін, так, що внутрішність трикутника перетинається з внутрішністю прямокутника. Яка сумарна площа всіх областей, що містяться рівно в 33 із 44 рівносторонніх трикутників?
10–11 класиРозбиття і перекидання площ
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-070

Числа, що діляться на точні куби

Знайдіть кількість натуральних чисел, менших за 10000001000000, які діляться на деякий точний куб, більший за 11. Ваш результат становитиме max⁡{0,⌊20−200∣1−kS∣⌋}\max \left\{0,\left\lfloor 20-200\left|1-\frac{k}{S}\right|\right\rfloor\right\}, де kk — ваша відповідь, а SS — правильна відповідь.
10–11 класиФормула включення-виключення
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-071

Сума цілих чисел зі знаками дорівнює 168

Скільки існує невпорядкованих множин {a,b,c,d}\{a, b, c, d\} з натуральних чисел, жодне з яких не перевищує 168168, для яких існують цілі числа w,x,y,zw, x, y, z такі, що (−1)wa+(−1)xb+(−1)yc+(−1)zd=168(-1)^{w} a + (-1)^{x} b + (-1)^{y} c + (-1)^{z} d = 168? Якщо ваша відповідь дорівнює AA, а правильна відповідь дорівнює CC, то ваш результат за цю задачу становитиме ⌊25e−3∣C−A∣C⌋\left\lfloor 25 e^{-3 \frac{|C-A|}{C}}\right\rfloor.
10–11 класиКомбінації
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-072

Впорядковані розбиття числа 2013 на прості числа

Нехай PP — кількість способів розбити 20132013 на впорядкований кортеж простих чисел. Чому дорівнює log⁡2(P)\log_{2}(P)? Якщо ваша відповідь дорівнює AA, а правильна відповідь дорівнює CC, то ваша оцінка за цю задачу становитиме ⌊1252(min⁡(CA,AC)−35)⌋\left\lfloor\frac{125}{2}\left(\min \left(\frac{C}{A}, \frac{A}{C}\right)-\frac{3}{5}\right)\right\rfloor або нуль, залежно від того, яке з цих значень більше.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Відбіркові тести на IMOTST-2013-002

Раціональні розв'язки симетричного рівняння непарного степеня

Нехай nn — непарне натуральне число, а xx і yy — два раціональні числа такі, що xn+2y=yn+2xx^{n}+2 y=y^{n}+2 x Доведіть, що x=yx=y.
10–11 класиМетод нескінченного спуску
Відбіркові тести на IMOTST-2013-037

Строго зростаючі послідовності, вільні від сум

Знайдіть усі нескінченні послідовності a1,a2,…a_1, a_2, \dots натуральних чисел, які задовольняють такі умови: a. a1<a2<a3<…a_1 < a_2 < a_3 < \dots, b. не існує натуральних чисел i,j,ki, j, k, не обов'язково різних, для яких ai+aj=aka_i + a_j = a_k, c. існує нескінченно багато натуральних чисел kk, для яких ak=2k−1a_k = 2k - 1.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Відбіркові тести на IMOTST-2013-027

Вписаний чотирикутник з інцентром

Нехай ABCDABCD — опуклий вписаний чотирикутник, у якому ∣AD∣=∣BD∣|AD| = |BD|. Його діагоналі AC‾\overline{AC} і BD‾\overline{BD} перетинаються в точці EE. Центр вписаного кола трикутника BCEBCE позначимо через II. Описане коло трикутника BIEBIE перетинає внутрішність відрізка AE‾\overline{AE} в точці NN. Доведіть, що ∣AN∣⋅∣NC∣=∣CD∣⋅∣BN∣|AN| \cdot |NC| = |CD| \cdot |BN|
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Відбіркові тести на IMOTST-2013-011

Чотирикутник із дотичними хордами

Нехай PP — точка перетину діагоналей опуклого чотирикутника ABCDABCD. Нехай XX, YY і ZZ — внутрішні точки відповідно сторін ABAB, BCBC і CDCD такі, що ∣AX∣∣XB∣=∣BY∣∣YC∣=∣CZ∣∣ZD∣=2\frac{|AX|}{|XB|} = \frac{|BY|}{|YC|} = \frac{|CZ|}{|ZD|} = 2 Припустімо додатково, що XYXY дотикається до описаного кола △CYZ\triangle CYZ і що YZYZ дотикається до описаного кола △BXY\triangle BXY. Доведіть, що ∠APD=∠XYZ\angle APD = \angle XYZ.
10–11 класиДотична кола
Відбіркові тести на IMOTST-2013-007

Кубічне діофантове рівняння із симетрією

Знайдіть усі трійки (x,y,z)(x, y, z) натуральних чисел таких, що x≤y≤zx \le y \le z і x3(y3+z3)=2012(xyz+2).x^3(y^3 + z^3) = 2012(xyz + 2).
10–11 класиМала теорема Ферма

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.