Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

5 945 задач
Складністьолімпіадний, 12–16
Відбіркові тести на IMOTST-2013-038

Лінія центрів, паралельна прямій через середини дуг

Нехай ABCDABCD — чотирикутник, у якому AC=BDAC = BD. Діагоналі ACAC і BDBD перетинаються в точці PP. Нехай ω1\omega_1 і O1O_1 — відповідно описане коло й центр описаного кола трикутника ABPABP. Нехай ω2\omega_2 і O2O_2 — відповідно описане коло й центр описаного кола трикутника CDPCDP. Відрізок BCBC перетинає ω1\omega_1 і ω2\omega_2 знову в точках SS і TT (відмінних від BB і CC) відповідно. Нехай MM і NN — середини менших дуг SP^\widehat{SP} (що не містить BB) і TP^\widehat{TP} (що не містить CC). Доведіть, що MN∥O1O2MN \parallel O_1O_2.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Відбіркові тести на IMOTST-2013-014

Коло через симетричні образи точок на описаному колі

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з описаним колом ω\omega. Доведіть, що існує точка JJ з такою властивістю: якщо XX — внутрішня точка трикутника ABCABC, промені AXAX, BXBX і CXCX перетинають коло ω\omega повторно в точках A1A_{1}, B1B_{1} і C1C_{1}, а точки A2A_{2}, B2B_{2} і C2C_{2} симетричні точкам A1A_{1}, B1B_{1} і C1C_{1} відносно середин відрізків BC‾\overline{BC}, CA‾\overline{CA} і AB‾\overline{AB} відповідно, то чотири точки A2A_{2}, B2B_{2}, C2C_{2} і JJ лежать на спільному колі.
10–11 класиСиметрія
Відбіркові тести на IMOTST-2013-030

Оцінка кута вписаного ромба

У гострокутному трикутнику ABCABC внутрішні кути α,β,γ\alpha, \beta, \gamma позначено, як зазвичай. Далі через DD позначено перетин бісектриси кута α\alpha зі стороною BCBC, а через EE — перетин бісектриси кута β\beta зі стороною ACAC. У чотирикутник ABDEABDE вписано ромб так, що всі вершини цього ромба лежать на різних сторонах чотирикутника. Нетупі внутрішні кути цього ромба позначено через φ\varphi. Доведіть, що φ≤max⁡(α,β)\varphi \leq \max (\alpha, \beta).
10–11 класиЗастосування тригонометрії
Відбіркові тести на IMOTST-2013-015

Неперетинні пари з різними обмеженими сумами

Нехай nn — натуральне число. Далі розглядаємо пари елементів множини {1,2,…,n}\{1,2, \ldots, n\}, які між собою не мають спільних елементів. Знайдіть із доведенням найбільшу можливу кількість таких пар, для яких суми їхніх елементів попарно різні й не більші за nn. (Наприклад, (1;9),(2;7)(1 ; 9),(2 ; 7) і (3;5)(3 ; 5) для n=10n=10 — три можливі пари.)
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2013-031

Рівні відрізки від середини сторони гострокутного трикутника

У гострокутному трикутнику основи висот, проведених з вершин AA і BB, — це DD і EE відповідно. Нехай MM — середина сторони ABAB. Пряма CMCM перетинає описане коло трикутника CDECDE вдруге в точці PP, а описане коло трикутника CABCAB вдруге — у точці QQ. Доведіть, що ∣MP∣=∣MQ∣.|MP| = |MQ|.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2013-032

Чи є вписаний чотирикутник ACPQ квадратом

Нехай DD — відмінна від BB точка на гіпотенузі ABAB прямокутного трикутника ABCABC така, що ∣CB∣=∣CD∣|CB| = |CD|. Нехай OO — центр описаного кола трикутника ACDACD. Промені ODOD і CBCB перетинаються в точці PP, а пряма, що проходить через точку OO перпендикулярно до сторони ABAB, і промінь CDCD перетинаються в точці QQ. Точки AA, CC, PP, QQ лежать на одному колі. Чи випливає з цього, що ACPQACPQ — квадрат?
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2013-016

Мінімальне покриття збалансованими прямокутниками

Нехай n≥3n \geq 3 — ціле число, і розглянемо дошку n×nn \times n, поділену на n2n^{2} одиничних квадратиків. Для кожного m≥1m \geq 1 маємо в необмеженій кількості прямокутники 1×m1 \times m (тип I) та прямокутники m×1m \times 1 (тип II). Ми покриваємо дошку NN такими прямокутниками, які не перекриваються і не виходять за межі дошки. При цьому загальна кількість прямокутників типу I на дошці має дорівнювати загальній кількості прямокутників типу II на дошці. (Зауважимо, що прямокутник 1×11 \times 1 є одночасно типу I і типу II.) Яке найменше значення NN, для якого це можливо?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2013-040

Конкурентність через середини сторін і основи висот

У різносторонньому трикутнику ABCABC нехай A1A_1, B1B_1, C1C_1 — основи перпендикулярів, опущених з AA на BCBC, з BB на CACA і з CC на ABAB відповідно. Позначимо через A2A_2 точку перетину прямих BCBC і B1C1B_1C_1. Аналогічно визначимо B2B_2 і C2C_2. Нехай DD, EE, FF — середини сторін BCBC, CACA, ABAB відповідно. Доведіть, що перпендикуляри, опущені з DD на пряму AA2AA_2, з EE на пряму BB2BB_2 і з FF на пряму CC2CC_2, перетинаються в одній точці.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Відбіркові тести на IMOTST-2013-033

Граф зі щільними з'єднаннями четвірок

У Дивокраї є принаймні 5 міст. Деякі міста з'єднані безпосередньо дорогами або залізницями. Кожне місто з'єднане принаймні з одним іншим містом, і для будь-яких чотирьох міст існує безпосереднє сполучення принаймні між трьома парами міст серед цих чотирьох. Коли мандрівник входить до мережі громадського транспорту цієї країни, він повинен вкинути одну золоту монету в автомат, який дозволяє йому скористатися безпосереднім сполученням, щоб дістатися до наступного міста. Але якщо мандрівник продовжує рух з деякого міста тим самим видом транспорту, яким він туди прибув, і він заплатив золоту монету, щоб дістатися до цього міста, то переїзд до наступного міста нічого не коштує, а натомість мандрівник отримує назад монету, яку він використав останньою. В інших випадках він повинен платити так само, як на початку подорожі. Доведіть, що можна дістатися з будь-якого міста до будь-якого іншого міста, використавши не більше 2 золотих монет.
10–11 класиШляхи на графах2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2013-020

Центри вписаних кіл і перпендикулярність

В уписаному шестикутнику ABCDEFA B C D E F виконується AB⊥BDA B \perp B D та ∣BC∣=∣EF∣|B C|=|E F|. Позначимо через PP точку перетину прямих BCB C і ADA D, а через QQ — точку перетину прямих EFE F і ADA D. Припустимо, що PP і QQ лежать з того боку від DD, де не лежить AA. Нехай SS — середина відрізка ADA D. Нехай KK і LL — центри вписаних кіл відповідно трикутників △BPS\triangle B P S і EQSE Q S. Доведіть, що ∠KDL=90∘\angle K D L=90^{\circ}.
10–11 класиТочка перетину бісектрис
Відбіркові тести на IMOTST-2013-041

Раціональна послідовність, що досягає цілого числа

Дано раціональне число xx. Доведіть, що існує послідовність x0,x1,x2,…x_0, x_1, x_2, \dots раціональних чисел з такими властивостями: a. x0=xx_0 = x; b. для кожного n≥1n \ge 1 або xn=2xn−1x_n = 2x_{n-1}, або xn=2xn−1+1nx_n = 2x_{n-1} + \frac{1}{n}; c. xnx_n є цілим числом при деякому nn.
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2013-035

Діофантове рівняння із симетричними змінними

Знайдіть усі натуральні числа nn такі, що рівняння x2+y2+z2=nxyzx^2 + y^2 + z^2 = nxyz має розв'язки в додатних цілих числах.
10–11 класиСтрибки Вієта
Відбіркові тести на IMOTST-2013-036

Два хлопці і дві дівчини з першим спілкуванням в один місяць

Клас складається із 77 хлопців і 1313 дівчат. Протягом перших трьох місяців навчального року кожен хлопець поспілкувався з кожною дівчиною принаймні один раз. Доведіть, що існують двоє хлопців і двоє дівчат такі, що обидва хлопці вперше поспілкувалися з обома дівчатами в одному й тому самому місяці.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…3 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2013-021

Конкурентність прямих у трикутнику з колами на діаметрах

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник. Коло ω1\omega_1 з діаметром ACAC перетинає сторону BCBC у точці FF (відмінній від CC). Коло ω2\omega_2 з діаметром BCBC перетинає сторону ACAC у точці EE (відмінній від CC). Промінь AFAF перетинає ω2\omega_2 у точках KK і MM, причому AK<AMAK < AM. Промінь BEBE перетинає ω1\omega_1 у точках LL і NN, причому BL<BNBL < BN. Доведіть, що прямі ABAB, MLML, NKNK перетинаються в одній точці.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Відбіркові тести на IMOTST-2013-042

Нерівність із симетричним кубічним обмеженням

Додатні дійсні числа xx, yy, zz задовольняють рівність xyz+xy+yz+zx=x+y+z+1xyz + xy + yz + zx = x + y + z + 1. Доведіть, що 13(1+x21+x+1+y21+y+1+z21+z)≤(x+y+z3)5/8.\frac{1}{3} \left( \sqrt{\frac{1+x^2}{1+x}} + \sqrt{\frac{1+y^2}{1+y}} + \sqrt{\frac{1+z^2}{1+z}} \right) \le \left( \frac{x+y+z}{3} \right)^{5/8}.
10–11 класиНерівність Коші
Відбіркові тести на IMOTST-2013-043

Непарність частки суми степенів

Доведіть, що частка 11+33+55+⋯+(22012−1)(22012−1)22012\frac{1^1 + 3^3 + 5^5 + \dots + (2^{2012} - 1)^{(2^{2012} - 1)}}{2^{2012}} є непарним цілим числом.
10–11 класиМетод математичної індукції
Відбіркові тести на IMOTST-2013-023

Цілочисельний многочлен зі значеннями неквадратами

Визначте, чи існує многочлен (від трьох змінних) P(x,y,z)P(x, y, z) з цілими коефіцієнтами, що задовольняє таку властивість: натуральне число nn не є повним квадратом тоді й лише тоді, коли існує трійка (x,y,z)(x, y, z) натуральних чисел, для якої P(x,y,z)=nP(x, y, z) = n.
10–11 класиМетод затискання між сусідніми зн…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2013-003

Збалансоване розфарбування послідовних цілих чисел

Кожне ціле число пофарбовано в один із двох кольорів — червоний або синій. Відомо, що для кожної скінченної множини AA послідовних цілих чисел абсолютне значення різниці між кількістю червоних цілих чисел і кількістю синіх цілих чисел у множині AA не перевищує 1000. Доведіть, що існує множина з 2000 послідовних цілих чисел, серед яких рівно 1000 червоних чисел і 1000 синіх чисел.
10–11 класиПарність та непарність
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2013-004

Зростаюча послідовність із квадратними середніми

Нехай nn — ціле число, не менше за 22. Знайдіть найменше натуральне число mm, для якого існує послідовність a1,a2,…,ana_1, a_2, \dots, a_n натуральних чисел, що задовольняє такі дві умови: a1<a2<⋯<an=ma_1 < a_2 < \dots < a_n = m. Усі n−1n-1 чисел a12+a222,…,an−12+an22\frac{a_1^2 + a_2^2}{2}, \dots, \frac{a_{n-1}^2 + a_n^2}{2} є повними квадратами.
10–11 класиМетод затискання між сусідніми зн…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2013-016

Рівні кути від основи до спільної хорди кіл

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник і нехай HH — його ортоцентр. Припустімо, що коло, яке проходить через точки BB, CC, і коло, що має відрізок AHAH своїм діаметром, перетинаються у двох різних точках XX і YY. Нехай DD — основа перпендикуляра, проведеного з AA до прямої BCBC, а KK — основа перпендикуляра, проведеного з DD до прямої XYXY. Доведіть, що виконується рівність ∠BKD=∠CKD\angle BKD = \angle CKD.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2013-012

Дотичні в точках перетину кіл і відношення радіусів

Два кола O1O_1 і O2O_2 перетинаються у двох різних точках PP і QQ. Дотична до кола O1O_1 в точці PP перетинає коло O2O_2 в точці RR, відмінній від PP, а дотична до кола O2O_2 в точці QQ перетинає коло O1O_1 в точці SS, відмінній від QQ. Нехай XX — точка перетину двох прямих PRPR і QSQS. Якщо XR=9XR = 9 і XS=2XS = 2, чому дорівнює відношення r1r2\frac{r_1}{r_2}, де r1r_1 і r2r_2 — радіуси кіл O1,O2O_1, O_2 відповідно? Тут через YZYZ позначено довжину відрізка YZYZ.
10–11 класиЛанцюжок подібних трикутників
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2013-009

Перевертання карток з цілою частиною

Є 2013 карток з номерами 00, 11, 22, …\ldots, 20122012. Спочатку всі картки лежать числом, що на них написане, донизу. Далі для кожного i=1,2,…,2013i = 1, 2, \dots, 2013 виконуємо таку операцію ii, починаючи з i=1i = 1 у порядку зростання і закінчуючи i=2013i = 2013: Операція ii: перевернути кожну з ii карток з номером ⌊2013ji⌋\left\lfloor \frac{2013j}{i} \right\rfloor для j=0,1,…,i−1j = 0, 1, \dots, i - 1. Скільки карток наприкінці всіх операцій лежатимуть числами догори (показуючи свої номери)? Тут через ⌊r⌋\lfloor r \rfloor для кожного дійсного числа rr позначаємо найбільше ціле число, що не перевищує rr.
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2013-001

Функціональне рівняння з квадратичною умовою

Знайдіть усі функції f:R→[0,∞)f : \mathbb{R} \to [0, \infty) такі, що для всіх дійсних чисел a,b,c,da, b, c, d, які задовольняють умову ab+bc+cd=0ab + bc + cd = 0, виконується рівність: f(a−b)+f(c−d)=f(a)+f(b+c)+f(d)f(a - b) + f(c - d) = f(a) + f(b + c) + f(d) (Тут R\mathbb{R} — множина дійсних чисел, а [0,∞)[0, \infty) — множина невід'ємних дійсних чисел.)
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2013-006

Максимум суми попарних добутків

Нехай n≥2n \ge 2 — натуральне число. Визначимо множину TT так: T={(i,j):1≤i<j≤n і i∣j}.T = \{ (i, j) : 1 \le i < j \le n \text{ і } i \mid j \}. Для невід’ємних дійсних чисел x1,x2,…,xnx_1, x_2, \dots, x_n, які задовольняють умову x1+x2+⋯+xn=1x_1 + x_2 + \dots + x_n = 1, знайдіть найбільше значення (як функцію від nn) виразу ∑(i,j)∈Txixj.\sum_{(i,j) \in T} x_i x_j.
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2013-004

Хорда через центри зовнівписаних кіл і дотик до описаного кола

Для трикутника ABCABC нехай B1B_1, C1C_1 — центри зовнівписаних кіл, що відповідають BB, CC відповідно. Пряма B1C1B_1C_1 перетинає описане коло трикутника ABCABC у точці DD (≠A\neq A). Нехай EE — точка перетину перпендикуляра, проведеного через B1B_1 до прямої CACA, і перпендикуляра, проведеного через C1C_1 до прямої ABAB. Нехай ω\omega — описане коло трикутника ADEADE. Дотична до кола ω\omega в точці DD перетинає пряму AEAE в точці FF. Перпендикуляр з DD до прямої AEAE перетинає AEAE в точці GG, а ця пряма перетинає ω\omega в точці HH (≠D\neq D). Описане коло трикутника HGFHGF перетинає ω\omega в точці II (≠H\neq H). Нехай JJ — основа перпендикуляра з DD до прямої AHAH. Доведіть, що пряма AIAI проходить через середину відрізка DJDJ.
10–11 класиЗовнівписане коло

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.