Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

5 945 задач
Складністьолімпіадний, 12–16
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2013-002

Прості дільники членів послідовності Пелля

Нехай aa, bb — взаємно прості натуральні числа, а послідовності цілих чисел ana_n і bnb_n задовольняють рівність (a+b2)2n=an+bn2(a + b\sqrt{2})^{2n} = a_n + b_n\sqrt{2}. Знайдіть усі прості числа pp такі, що існує натуральне число nn не більше за pp, для якого bn≡0(modp)b_n \equiv 0 \pmod{p}.
10–11 класиКвадратичні лишки і символ Лежанд…
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2013-003

Тотожність для множин інверсій перестановки

Нехай f:{1,2,…,n}→{1,2,…,n}f : \{1, 2, \dots, n\} \to \{1, 2, \dots, n\} — взаємно однозначна відповідність для деякого натурального числа nn. Визначимо чотири множини AA, BB, CC, DD так: A={i∣i>f(i)}A = \{i \mid i > f(i)\} B={(i,j)∣i<j≤f(j)<f(i) або f(j)<f(i)<i<j}B = \{(i, j) \mid i < j \le f(j) < f(i) \text{ або } f(j) < f(i) < i < j\} C={(i,j)∣i<j≤f(i)<f(j) або f(i)<f(j)<i<j}C = \{(i, j) \mid i < j \le f(i) < f(j) \text{ або } f(i) < f(j) < i < j\} D={(i,j)∣i<j і f(i)>f(j)}D = \{(i, j) \mid i < j \text{ і } f(i) > f(j)\} Доведіть, що ∣A∣+2∣B∣+∣C∣=∣D∣|A| + 2|B| + |C| = |D|, де ∣X∣|X| — кількість усіх елементів множини XX.
10–11 класиПерестановки
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-022

Непарні числа на діагоналях дошки 5×5

На дошці 5×55 \times 5 розставлено числа 1,2,3,…,251,2,3, \ldots, 25 так, що кожна клітинка зайнята одним числом і будь-які два послідовні числа завжди стоять у сусідніх клітинках. На рисунку нижче показано приклад такого розставлення. | 3 | 4 | 5 | 24 | 23 | |:---: |:---: |:---: |:---: |:---: | | 2 | 1 | 6 | 25 | 22 | | 9 | 8 | 7 | 20 | 21 | | 10 | 13 | 14 | 19 | 18 | | 11 | 12 | 15 | 16 | 17 | a) Доведіть, що за будь-якого розставлення, яке задовольняє цю умову, усі числа, поставлені в клітинках обох діагоналей, є непарними. Назвемо головною діагоналлю діагональ дошки, пофарбовану в білий колір на рисунку нижче. Зауважимо, що головна діагональ ділить дошку на дві зони, верхню та нижню. b) Нехай xx і yy — два числа з {1,2,…,25}\{1,2, \ldots, 25\} такі, що x<yx<y. Доведіть, що якщо xx і yy належать різним зонам, то існує число zz, розташоване на головній діагоналі, таке, що x≤z≤yx \leq z \leq y. c) Знайдіть найменше значення, якого може набувати сума чисел, поставлених на головній діагоналі, коли числа розставлено на дошці з дотриманням умови задачі.
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2013-001

Точки на сторонах трикутника і відношення відрізків на чевіані

У трикутнику ABCABC точки P,Q,RP, Q, R лежать на сторонах BC,CA,ABBC, CA, AB відповідно. Нехай ωA,ωB,ωC\omega_A, \omega_B, \omega_C позначають описані кола трикутників AQR,BRP,CPQAQR, BRP, CPQ відповідно. Відомо, що відрізок APAP вдруге перетинає ωA,ωB,ωC\omega_A, \omega_B, \omega_C у точках X,Y,ZX, Y, Z відповідно, доведіть, що YX/XZ=BP/PCYX/XZ = BP/PC. (Задачу запропонував Зумін Фен.)
10–11 класиКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…3 розв’язки
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2013-002

Обходи кола із забороненими ходами

Для натурального числа n≥3n \ge 3 позначимо nn рівновіддалених точок навколо кола. Позначимо одну з них AA і поставимо фішку в AA. Фішку можна рухати вперед за годинниковою стрілкою або до наступної точки, або через одну. Отже, загалом є 2n2n різних ходів; по два з кожної точки. Нехай ana_n позначає кількість способів пройти навколо кола рівно двічі, починаючи і закінчуючи в AA, не повторюючи жодного ходу. Доведіть, що an−1+an=2na_{n-1} + a_n = 2^n для всіх n≥4n \ge 4.
10–11 класиРекурентний підрахунок4 розв’язки
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2013-004

Кратні з однаковою кількістю кожної цифри

Дано натуральні числа mm і nn. Доведіть, що існує натуральне число cc таке, що числа cmcm і cncn містять однакову кількість входжень кожної ненульової цифри в десятковому записі.
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2013-005

Кратні cm і cn з однаковою кількістю ненульових цифр

Дано додатні цілі числа mm і nn. Доведіть, що існує додатне ціле число cc таке, що числа cmcm і cncn мають однакову кількість входжень кожної ненульової цифри при записі в десятковій системі числення.
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…2 розв’язки
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2012-003

Роботи на прямокутній дошці з прохідними ребрами

На клітинках скінченної прямокутної дошки розміщено кілька роботів. В одній клітинці може перебувати будь-яка кількість роботів. Кожне ребро сітки класифіковано як прохідне або непрохідне. Усі ребра на межі дошки — непрохідні. Можна подавати будь-яку з команд вгору, вниз, вліво або вправо. Тоді всі роботи одночасно намагаються рухатися у вказаному напрямку. Якщо ребро, прилегле до робота в цьому напрямку, прохідне, робот переходить через нього в сусідню клітинку. Інакше робот залишається на своїй поточній клітинці. Після цього можна подати ще одну команду вгору, вниз, вліво або вправо, потім ще одну, і так далі, скільки завгодно. Припустимо, що для будь-якого окремого робота і будь-якої клітинки дошки існує скінченна послідовність команд, яка перемістить цього робота в цю клітинку. Доведіть, що можна також подати таку скінченну послідовність команд, щоб усі роботи одночасно опинилися в одній клітинці.
10–11 класиНапівінваріанти
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2012-001

Трикутник із вписаним колом і рівними кутами

Нехай II — центр вписаного кола трикутника ABCABC. Пряма через II перетинає внутрішність відрізка ABAB в точці MM та внутрішність відрізка BCBC в точці NN. Припустимо, що BMNBMN — гострокутний трикутник. Нехай тепер KK і LL — точки на відрізку ACAC такі, що ∠BMI=∠ILA\angle BMI = \angle ILA і ∠BNI=∠IKC\angle BNI = \angle IKC. Доведіть, що ∣AM∣+∣KL∣+∣CN∣=∣AC∣|AM| + |KL| + |CN| = |AC|.
10–11 класиВписане коло
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2012-004

Перестановки з умовою на суму індексів

Нехай nn — натуральне число, кратне 4. Розглянемо перестановки (a1,a2,…,an)(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}) чисел (1,2,…,n)(1,2, \ldots, n) з такою властивістю: для кожного jj виконується: якщо взяти i=aji=a_{j}, то ai+j=n+1a_{i}+j=n+1. Доведіть, що існує рівно (12n)!(14n)!\frac{\left(\frac{1}{2} n\right)!}{\left(\frac{1}{4} n\right)!} таких перестановок.
10–11 класиПерестановки
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2012-005

Колінеарність у трикутнику з бісектрисами

Нехай Γ\Gamma — описане коло гострокутного трикутника ABCA B C. Бісектриса кута ABCA B C перетинає ACA C в точці B1B_{1}, а коротку дугу ACA C кола Γ\Gamma в точці PP. Пряма, що проходить через B1B_{1} перпендикулярно до BCB C, перетинає коротку дугу BCB C кола Γ\Gamma в точці KK. Пряма, що проходить через BB перпендикулярно до AKA K, перетинає ACA C в точці LL. Доведіть, що K,LK, L і PP лежать на одній прямій.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на EGMOEGTST-2012-001

Множина з властивістю взаємної простоти

Нехай k⩾2k \geqslant 2 — ціле число. 1) Нехай n>kn > k — ціле число. Чи існує nn натуральних чисел таких, що будь-які kk з них ніколи не є взаємно простими в сукупності, але будь-які k+1k+1 завжди є взаємно простими в сукупності? 2) Чи існує нескінченна послідовність натуральних чисел, яка задовольняє обидві наведені вище умови?
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Відбіркові тести на EGMOEGTST-2012-002

Рівнобедрений трикутник із центрів вписаних кіл

Нехай ABCABC — трикутник, а ω\omega — коло, яке проходить через AA і BB та повторно перетинає сторони [BC][BC] і [AC][AC] відповідно в точках DD і EE. Точки KK і LL — відповідно центри вписаного кола трикутника DACDAC і вписаного кола трикутника BECBEC. Нехай NN — перетин прямих (EL)(EL) і (DK)(DK). Доведіть, що трикутник KNLKNL рівнобедрений.
10–11 класиВписане коло
Відбіркові тести на EGMOEGTST-2012-004

Кубічний многочлен і степінь простого числа

Знайдіть усі невід'ємні цілі числа m,nm, n і всі прості числа pp такі, що m(4m2+m+12)=3(pn−1)m\left(4 m^{2}+m+12\right)=3\left(p^{n}-1\right)
10–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2012-030

O на дузі B'C' та L на стороні BC

Сторони ABAB і ACAC трикутника ABCABC дотикаються до кола cc відповідно в точках B′B' і C′C'. Центр LL кола cc лежить на стороні BCBC. Центр описаного кола OO трикутника ABCABC лежить на меншій дузі B′C′B'C' кола cc. Доведіть, що описане коло трикутника ABCABC і коло cc перетинаються у двох точках.
11 класЦентральні і вписані кути
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2012-010

Центри зовнівписаних кіл на описаному колі

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, а DD — внутрішня точка його сторони ACAC. Назвемо сторону трикутника ABDABD дружньою, якщо зовнівписане коло трикутника ABDABD, дотичне до цієї сторони, має свій центр на описаному колі трикутника ABCABC. Доведіть, що трикутник ABDABD має рівно дві дружні сторони тоді й лише тоді, коли ∣BD∣=∣DC∣|BD| = |DC|.
10–11 класиЗовнівписане коло
Французька математична олімпіадаFRMO-2012-002

Сума однакових степенів дорівнює степеню простого числа

Нехай pp — просте число. Знайдіть усі натуральні числа a,b,c≥1a, b, c \geq 1 такі, що: ap+bp=pca^{p}+b^{p}=p^{c}
9–11 класиЛема про підняття показника (LTE-…
Французька математична олімпіадаFRMO-2012-003

Ітерації функції зі степеневою умовою

Нехай k>1k > 1 — ціле число. Функція f:N∗→N∗f: \mathbb{N}^* \rightarrow \mathbb{N}^* називається kk-катастрофічною, якщо для кожного цілого числа n>0n > 0 справджується fk(n)=nkf_k(n) = n^k, де fkf_k — kk-та ітерація функції ff: fk(n)=f∘f∘⋯∘f⏟k разів (n)f_k(n) = \underbrace{f \circ f \circ \cdots \circ f}_{k \text{ разів }}(n) Для яких kk існує kk-катастрофічна функція?
9–11 класиКонструктивна побудова функції
Французька математична олімпіадаFRMO-2012-004

Многочлени, чиї корені є коефіцієнтами

Знайти всі непостійні многочлени Xn+a1Xn−1+⋯+an−1X+anX^{n}+a_{1} X^{n-1}+\cdots+a_{n-1} X+a_{n} з цілими коефіцієнтами, коренями яких з урахуванням кратності є саме числа a1,…,an−1,ana_{1}, \ldots, a_{n-1}, a_{n}.
9–11 класиТеорема Вієта
Французька математична олімпіадаFRMO-2012-018

Рівні відстані від середини означають рівність кутів

Нехай ABCABC — трикутник, а OO — внутрішня точка цього трикутника. DD і EE — відповідно основи перпендикулярів, опущених з OO на прямі (BC)(BC) і (AC)(AC), а FF — середина відрізка ABAB. Доведіть, що якщо DF=EFDF = EF, то кути OBD^\widehat{OBD} і OAE^\widehat{OAE} рівні.
9–11 класиПаралельні прямі і теорема Фалеса
Французька математична олімпіадаFRMO-2012-013

Дотична до описаного кола з паралелі через інцентр

У трикутнику ABCABC бісектриси кутів при AA і CC перетинають описане коло трикутника ABCABC відповідно в точках A0A_{0} і C0C_{0}. Пряма, що проходить через II, центр вписаного в трикутник ABCABC кола, і паралельна прямій (AC)(AC), перетинає пряму (A0C0)(A_{0}C_{0}) в точці PP. Доведіть, що пряма (PB)(PB) дотикається до описаного кола трикутника ABCABC.
9–11 класиТеорема про тризуб
Французька математична олімпіадаFRMO-2012-015

Найменша кількість цифр для відкриття кодового замка

Кодовий замок відкривається, щойно набрано єдину правильну комбінацію з 4 цифр (яка може містити повторення). Наприклад, якщо набрати послідовність цифр 000125, замок відкриється, якщо код — це або 0001, або 0012, або 0125. Малий Петрик не знає коду. Скільки цифр як мінімум йому потрібно набрати, щоб напевно відкрити замок?
9–11 класиШляхи на графах
Французька математична олімпіадаFRMO-2012-016

Нерівність для додатних чисел з оберненими величинами

Нехай xx, yy і zz — додатні дійсні числа такі, що x+y+z⩾1x+1y+1zx + y + z \geqslant \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} Доведіть, що xy+yz+zx⩾1xy+1yz+1zx\frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} \geqslant \frac{1}{x y} + \frac{1}{y z} + \frac{1}{z x}
9–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Французька математична олімпіадаFRMO-2012-017

Перестановки з обмеженою спадною підпослідовністю

Є 500 комірок для кульок, пронумерованих від 1 до 500 зліва направо. Кульки з номерами від 1 до 500 розкладено в ці комірки безладно: їхні номери не обов’язково збігаються з номерами комірок. (У кожній комірці міститься рівно одна кулька.) Кажуть, що порядок кульок радше зростаючий, якщо найдовша спадна підпослідовність номерів кульок, яку можна виділити з цього порядку, містить не більше ніж 5 елементів. Доведіть, що існує не більше 510005^{1000} радше зростаючих порядків.
9–11 класиЖадібний алгоритм
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-068

Мінімальний час для наповнення бочок сидром

Мак намагається наповнити 2012 бочок яблучним сидром. На початку він має 0 енергії. Щохвилини він може відпочивати, отримуючи 1 енергію, або, якщо він має nn енергії, він може витратити kk енергії (0≤k≤n)(0 \leq k \leq n), щоб наповнити до n(k+1)n(k+1) бочок сидром. Яка найменша кількість хвилин йому потрібна, щоб наповнити всі бочки?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.