Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

5 945 задач
Складністьолімпіадний, 12–16
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-034

Кількість різних коренів циклотомічного добутку

Нехай NN — кількість різних коренів многочлена ∏k=12012(xk−1)\prod_{k=1}^{2012}\left(x^{k}-1\right). Наведіть нижню та верхню межі LL і UU для NN. Якщо 0<L≤N≤U0<L \leq N \leq U, то ваш бал становитиме ⌊23(U/L)1.7⌋\left\lfloor\frac{23}{(U / L)^{1.7}}\right\rfloor. Інакше ваш бал дорівнюватиме 0.
10–11 класиФункція Мебіуса μ(n)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-035

Спадні цілочисельні послідовності стрибків

Марія підстрибує вгору сходами зі 100 сходинок. У кожному стрибку вона долає цілу кількість сходинок. Кожен її наступний стрибок коротший за попередній. Проте додатна різниця між довжинами послідовних стрибків зменшується. Нехай PP — кількість різних способів, якими вона може вистрибати вгору сходами. Знайдіть нижню та верхню межі LL і UU для PP. Якщо 0<L≤P≤U0<L \leq P \leq U, ваш результат дорівнюватиме ⌊23U/L⌋\left\lfloor\frac{23}{\sqrt{U / L}}\right\rfloor. Інакше ваш результат дорівнюватиме 0.
10–11 класиЛінійні діофантові рівняння
Відбіркові тести на IMOTST-2012-001

Добутковий многочлен, подільний на велике просте число

Для дев'яти різних натуральних чисел d1,d2,…,d9d_{1}, d_{2}, \ldots, d_{9} розглянемо многочлен P(n)=(n+d1)(n+d2)⋅…⋅(n+d9)P(n)=\left(n+d_{1}\right)\left(n+d_{2}\right) \cdot \ldots \cdot\left(n+d_{9}\right). Доведіть, що існує ціле число NN з такою властивістю: для всіх цілих чисел n≥Nn \geq N число P(n)P(n) ділиться на просте число, більше за 20.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Відбіркові тести на IMOTST-2012-034

Функції двох змінних, що зберігають медіану

Знайдіть усі дійснозначні функції ff, визначені на парах дійсних чисел, які мають таку властивість: для всіх дійсних чисел a,b,ca, b, c медіана чисел f(a,b)f(a, b), f(b,c)f(b, c), f(c,a)f(c, a) дорівнює медіані чисел a,b,ca, b, c. (Медіана трьох дійсних чисел, не обов’язково різних, — це число, яке стоїть посередині, коли ці три числа впорядковано за неспаданням.)
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Відбіркові тести на IMOTST-2012-002

Нерухома точка на описаному колі

У гострокутному трикутнику ABCABC виконуються нерівності ∠A<∠B\angle A < \angle B і ∠A<∠C\angle A < \angle C. Нехай PP — змінна точка на стороні BCBC. Точки DD і EE лежать на сторонах ABAB і ACAC відповідно так, що BP=PDBP = PD і CP=PECP = PE. Доведіть, що коли PP рухається вздовж сторони BCBC, описане коло трикутника ADEADE проходить через нерухому точку, відмінну від AA.
10–11 класиОписане коло2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2012-009

Бісектриса кута в рівнобедреному трикутнику

Нехай Γ\Gamma — описане коло рівнобедреного при CC трикутника ABCA B C. У внутрішності сторони BC‾\overline{B C} лежить точка MM. Нехай NN — точка на промені AMA M, для якої MM лежить між AA і NN і яка задовольняє ∣AN∣=∣AC∣|A N|=|A C|. Описане коло трикутника CMNC M N перетинає Γ\Gamma у двох різних точках CC і PP. Прямі ABA B і CPC P перетинаються в точці QQ. Доведіть, що ∡BMQ=∡QMN\measuredangle B M Q=\measuredangle Q M N.
10–11 класиТочка перетину бісектрис
Відбіркові тести на IMOTST-2012-007

Коло з центром на BC через точку O

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з центром описаного кола OO. Нехай kk — коло з такими властивостями: (1) Центр KK кола kk лежить у внутрішності сторони BCBC. (2) Коло kk дотикається до сторони ABAB в точці B′B' і до сторони ACAC в точці C′C'. (3) OO лежить на меншій з двох дуг B′C′B'C' кола kk. Доведіть, що описане коло трикутника ABCABC і коло kk перетинаються у двох різних точках.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Відбіркові тести на IMOTST-2012-008

Суми підмножин, що уникають досконалих степенів

Ціле число mm є точним степенем, якщо існують додатні цілі числа aa та nn такі, що n>1n>1 і m=anm=a^{n}. a. Покажіть, що існує 2012 різних додатних цілих чисел, жодна непорожня підмножина яких не має суми, що є точним степенем. b. Покажіть, що існує 2012 різних додатних цілих чисел, кожна непорожня підмножина яких має суму, що є точним степенем.
10–11 класиКитайська теорема про остачі
Відбіркові тести на IMOTST-2012-015

Нерівність із симетричними раціональними доданками

Нехай aa, bb і cc — три додатні дійсні числа, для яких a2+b2+c2≥3a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq 3. Доведіть, що (a+1)(b+2)(b+1)(b+5)+(b+1)(c+2)(c+1)(c+5)+(c+1)(a+2)(a+1)(a+5)≥32\frac{(a+1)(b+2)}{(b+1)(b+5)}+\frac{(b+1)(c+2)}{(c+1)(c+5)}+\frac{(c+1)(a+2)}{(a+1)(a+5)} \geq \frac{3}{2}
10–11 класиІнші класичні нерівності
Відбіркові тести на IMOTST-2012-012

Функціональне рівняння для дійсних функцій

Нехай ff і gg — дві дійсні функції, визначені для кожного дійсного числа. Крім того, нехай для всіх дійсних чисел xx і yy виконується рівність: g(f(x+y))=f(x)+(2x+y)g(y)g(f(x+y))=f(x)+(2 x+y) g(y) Знайдіть усі можливі пари (f,g)(f, g).
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Відбіркові тести на IMOTST-2012-013

Вписаний чотирикутник і середина діагоналі

Нехай ABCDABCD — вписаний чотирикутник з описаним колом kk. Нехай SS — точка перетину прямих ABAB і CDCD, а TT — точка перетину дотичних до кола kk в точках AA і CC. Доведіть, що ADTSADTS є вписаним чотирикутником тоді й лише тоді, коли BDBD ділить відрізок ACAC навпіл.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Відбіркові тести на IMOTST-2012-020

Чевіани через одну точку і прямий кут

Дано трикутник ABCA B C. Бісектриса кута ∠CAB\angle C A B перетинає BCB C в точці LL. На сторонах ACA C і ABA B лежать відповідно внутрішні точки MM і NN такі, що ALA L, BMB M і CNC N проходять через одну точку і ∠AMN=∠ALB\angle A M N=\angle A L B. Доведіть, що ∠NML=90∘\angle N M L=90^{\circ}.
10–11 класиТеорема Чеви
Відбіркові тести на IMOTST-2012-018

Точка перетину кола з відрізком на бісектрисі

У трикутнику ABCABC нехай ∠BAC=60∘\angle BAC = 60^{\circ}. Нехай EE — точка на прямій ABAB, така, що BB лежить між AA і EE і виконується BE=BCBE = BC. Аналогічно нехай FF — точка на прямій ACAC, така, що CC лежить між AA і FF і виконується CF=BCCF = BC. Описане коло трикутника ACEACE перетинає EFEF у точці KK. Доведіть, що KK лежить на бісектрисі кута ∠BAC\angle BAC.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2012-037

Перпендикулярність через середини сторін і ортоцентр

Гострокутний трикутник ABCABC вписано в коло ω\omega. Нехай HH і OO — його ортоцентр і центр описаного кола відповідно. Нехай MM і NN — середини сторін ABAB і ACAC відповідно. Промені MHMH і NHNH перетинають ω\omega у точках PP і QQ відповідно. Прямі MNMN і PQPQ перетинаються в точці RR. Доведіть, що OA⊥RAOA \perp RA.
10–11 класиРадикальна вісь
Відбіркові тести на IMOTST-2012-023

Множина з вибором одного з трьох чисел

Нехай AA — множина натуральних чисел з такою властивістю: для кожного натурального числа nn рівно одне з трьох чисел n,2nn, 2 n і 3n3 n належить AA. Крім того, відомо, що 2∈A2 \in A. Доведіть, що 13824∉A13824 \notin A.
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Відбіркові тести на IMOTST-2012-022

Середні пар у множині дійсних чисел

Нехай n≥6n \geq 6 — натуральне число. Розглянемо множину SS з nn різних дійсних чисел. Доведіть, що існує принаймні n−1n-1 різних двоелементних підмножин множини SS таких, що середнє арифметичне обох елементів у кожній із цих підмножин принаймні дорівнює середньому арифметичному всіх елементів множини SS.
10–11 класиМетод математичної індукції
Відбіркові тести на IMOTST-2012-038

Призначення батьків у графі друзів і ворогів

У певному дитячому будинку будь-які двоє сиріт або дружать, або ворогують між собою. Для будь-яких трьох друзів будь-якого сироти парна кількість пар із них ворогують між собою. Доведіть, що можна призначити кожному сироті двох батьків так, щоб кожна пара друзів мала рівно одного спільного батька, а жодна пара ворогів — жодного, і щоб жодні троє батьків не утворювали любовного трикутника (тобто щоб не було трьох батьків, кожна пара з яких має спільну дитину).
10–11 класиКласичні теореми теорії графів
Відбіркові тести на IMOTST-2012-021

Подільність симетричних многочленів

Знайдіть усі натуральні числа nn такі, що многочлен від трьох змінних Pn(x,y,z)=(x−y)2n(y−z)2n+(y−z)2n(z−x)2n+(z−x)2n(x−y)2nP_n(x, y, z) = (x - y)^{2n}(y - z)^{2n} + (y - z)^{2n}(z - x)^{2n} + (z - x)^{2n}(x - y)^{2n} ділить многочлен від трьох змінних Qn(x,y,z)=[(x−y)2n+(y−z)2n+(z−x)2n]2n.Q_n(x, y, z) = [(x - y)^{2n} + (y - z)^{2n} + (z - x)^{2n}]^{2n}.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2012-026

Сюр'єктивне функціональне рівняння на дійсних числах

Знайдіть усі сюр'єктивні функції f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, такі, що для всіх x,y∈Rx, y \in \mathbb{R} виконується: f(x+f(x)+2f(y))=f(2x)+f(2y)f(x+f(x)+2 f(y))=f(2 x)+f(2 y)
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…
Відбіркові тести на IMOTST-2012-039

Нерівність для змінних з одиничного відрізка

Нехай aa, bb, cc — дійсні числа з відрізка [0,1][0, 1], причому a+ba + b, b+cb + c, c+a≥1c + a \ge 1. Доведіть, що 1≤(1−a)2+(1−b)2+(1−c)2+22abca2+b2+c2.1 \le (1-a)^2 + (1-b)^2 + (1-c)^2 + \frac{2\sqrt{2abc}}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.
10–11 класиНерівність Коші
Відбіркові тести на IMOTST-2012-025

Перпендикулярність у вписаному чотирикутнику

У вписаному чотирикутнику ABCDABCD діагоналі ACAC і BDBD перетинаються в точці PP. Нехай EE і FF — основи перпендикулярів, опущених з точки PP на прямі ABAB і CDCD відповідно. Відрізки BFBF і CECE перетинаються в точці QQ. Доведіть, що прямі PQPQ і EFEF перпендикулярні.
10–11 класиРадикальна вісь3 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2012-027

Середні арифметичні послідовних блоків у послідовності цілих чисел

Знайдіть усі натуральні числа nn, n≥2n \ge 2, для яких істинне таке твердження: Якщо (a1,a2,…,an)(a_1, a_2, \ldots, a_n) — послідовність натуральних чисел, причому a1+a2+⋯+an=2n−1a_1 + a_2 + \cdots + a_n = 2n - 1, то в цій послідовності існує блок (принаймні двох) послідовних членів, середнє арифметичне яких є цілим числом.
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Відбіркові тести на IMOTST-2012-040

Оцінка периметра трикутника точок дотику зовнівписаних кіл

Нехай △ABC\triangle ABC — трикутник. Його зовнівписані кола дотикаються до сторін BCBC, CACA, ABAB у точках DD, EE, FF відповідно. Доведіть, що периметр трикутника △ABC\triangle ABC не перевищує подвоєного периметра трикутника DEFDEF.
10–11 класиНерівність трикутника3 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2012-041

Рекурентна послідовність із цілою частиною середнього та взаємно простими зсувами

Нехай x0,x1,…,xn0−1x_0, x_1, \dots, x_{n_0-1} — цілі числа, а d1,d2,…,dkd_1, d_2, \dots, d_k — натуральні числа, причому n0=d1>d2>⋯>dkn_0 = d_1 > d_2 > \dots > d_k і НСД(d1,d2,…,dk)=1\text{НСД}(d_1, d_2, \dots, d_k) = 1. Для кожного цілого n≥n0n \ge n_0 визначимо xn=⌊xn−d1+xn−d2+⋯+xn−dkk⌋.x_n = \left\lfloor \frac{x_{n-d_1} + x_{n-d_2} + \dots + x_{n-d_k}}{k} \right\rfloor. Доведіть, що послідовність {xn}\{x_n\} зрештою стає сталою.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Відбіркові тести на IMOTST-2012-030

Розбиття натуральних чисел із сумовою властивістю

Знайдіть найбільше натуральне число kk з такою властивістю: множину натуральних чисел можна розбити на kk попарно неперетинних підмножин A1,…,AkA_{1}, \ldots, A_{k} так, щоб кожне натуральне число n≥15n \geq 15 для кожного i∈{1,…,k}i \in\{1, \ldots, k\} записувалося як сума двох різних елементів із AiA_{i}.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.