Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

5 945 задач
Складністьолімпіадний, 12–16
Відбіркові тести на IMOTST-2012-042

Симетричні різниці забарвлених множин

Нехай nn — натуральне число. Припустимо, що дано 2n+12^n + 1 різних множин, кожна з яких містить скінченну кількість об'єктів. Кожну множину віднесено до однієї з двох категорій — червоних множин і синіх множин — так, щоб у кожній категорії була принаймні одна множина. Визначимо симетричну різницю двох множин як множину об'єктів, що належать рівно одній з цих двох множин. Доведіть, що існує принаймні 2n2^n різних множин, які можна одержати як симетричну різницю червоної множини та синьої множини.
10–11 класиМетод математичної індукції
Відбіркові тести на IMOTST-2012-031

Циклічна нерівність з добутком не меншим за одиницю

Нехай aa, bb, cc — додатні дійсні числа, для яких abc≥1a b c \geq 1. Доведіть нерівність a4−1ab3+abc+ac3+b4−1bc3+abc+ba3+c4−1ca3+abc+cb3≥0\frac{a^{4}-1}{a b^{3}+a b c+a c^{3}}+\frac{b^{4}-1}{b c^{3}+a b c+b a^{3}}+\frac{c^{4}-1}{c a^{3}+a b c+c b^{3}} \geq 0
10–11 класиНерівність Коші
Відбіркові тести на IMOTST-2012-032

Центр вписаного кола і перпендикулярність до діаметра

Нехай II — центр вписаного кола, а ADAD — діаметр описаного кола трикутника ABCABC. Нехай EE і FF — точки на променях BABA і CACA такі, що BE=CF=AB+BC+CA2BE = CF = \frac{AB + BC + CA}{2} Доведіть, що прямі EFEF і DIDI перетинаються під прямим кутом.
10–11 класиВписане коло
Відбіркові тести на IMOTST-2012-033

Сума степенів m і просте число m+1

Знайдіть усі цілі числа m,n≥2m, n \geq 2, які задовольняють такі дві умови: (i) m+1m+1 — просте число виду 4k+34k+3 для деякого цілого числа kk. (ii) Існує просте число pp і невід'ємне ціле число aa такі, що m2n−1−1m−1=mn+pa\frac{m^{2^{n}-1}-1}{m-1}=m^{n}+p^{a}
10–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2012-004

Геометричне місце точок із сумою кутів у квадраті

Нехай ABCDABCD — квадрат. Опишіть геометричне місце точок PP площини, відмінних від A,B,C,DA, B, C, D, для яких APB^+CPD^=180∘.\widehat{APB} + \widehat{CPD} = 180^{\circ} \text{.}
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Італійська математична олімпіадаITAMO-2012-030

Розфарбування дошки літерами з умовою суміжності

Шахову дошку 88 на 88 заповнюють літерами AA, BB, CC, DD так, що дві клітинки зі спільною стороною або спільною вершиною містять різні літери, і так, що літери AA і літери BB мають таку властивість: щоразу, коли AA або BB має певну літеру XX, сусідню по горизонталі чи вертикалі (XX може бути AA, BB, CC або DD), то з протилежного боку є інша XX (хіба що там край дошки). Скількома способами можна розставити такі літери на дошці? (A) 136 (B) 144 (C) 168 (D) 328 (E) 360.
10–11 класиГеометричні розфарбування
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2012-011

П'ятикутник із квадратом та умовою вписаності

Нехай ABCDEABCDE — опуклий п'ятикутник, у якому чотирикутник ABCDABCD є квадратом. Якщо ∠AEC+∠BED=180∘\angle AEC + \angle BED = 180^\circ, доведіть, що п'ятикутник ABCDEABCDE вписаний у коло. Тут під опуклим п'ятикутником ми розуміємо п'ятикутник, у якого кожен із внутрішніх кутів менший від 180∘180^\circ.
7–9 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2012-014

Трикутник з кутом 30° і кут PMQ

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, у якому ∠BAC=30∘\angle BAC = 30^\circ. Виберемо точку XX всередині трикутника ABCABC так, щоб ∠XBC=∠XCB=30∘\angle XBC = \angle XCB = 30^\circ. Також візьмемо точки PP і QQ на прямих BXBX і CXCX відповідно так, щоб виконувалися рівності AP=BPAP = BP і AQ=CQAQ = CQ. Нехай MM — середина відрізка BCBC. Доведіть, що ∠PMQ=90∘\angle PMQ = 90^\circ.
7–9 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2012-015

Вибір карток із фіксованою сумою

Нехай nn — додатне ціле число. Припустимо, існує нескінченна кількість карток, і на кожній з цих карток написано ціле число, більше або рівне 00. Припустимо також, що для кожного цілого числа ll, більшого або рівного 00, існує рівно nn карток, на яких написано число ll. Розглянемо повторення процесу вибору 20122012 карток із заданої нескінченної колекції карток. Припустимо, що ми не повертаємо вибрані картки до початкової колекції. Знайдіть найменше можливе значення nn, для якого можливо продовжувати процедури, що задовольняють таку умову: Умова: Для кожного додатного цілого числа kk сума чисел, написаних на 20122012 картках, вибраних на kk-му етапі, дорівнює kk.
7–9 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2012-010

Радіуси дотичних кіл у чотирикутнику

Коло XX вписане в чотирикутник PQRSPQRS. Побудовано 4 кола A,B,C,DA, B, C, D, кожне з яких дотикається до 3 із 4 прямих, визначених сторонами чотирикутника, як показано на рисунку нижче. Припустимо, що радіуси кіл A,B,C,XA, B, C, X дорівнюють 22, 11, 44, 33 відповідно. Знайдіть радіус кола DD.
7–9 класиДотична кола
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2012-006

Зв'язне двокольорове розфарбування дошки 2 на 100

Дано клітинну дошку 2×1002 \times 100. Припустімо, що кожну з 200200 клітинок дошки фарбуємо або в червоний, або в синій колір. Скільки існує способів розфарбувати клітинки, які задовольняють такі умови? Вважатимемо два розфарбування різними, якщо одне з них можна отримати з іншого поворотом або перевертанням. Є принаймні одна клітинка, пофарбована в червоний колір, і принаймні одна клітинка, пофарбована в синій колір. Область, утворена всіма червоними клітинками, є зв'язною, і те саме стосується синіх клітинок. (При цьому вважаємо 22 клітинки зв'язаними, якщо вони мають спільну сторону).
10–11 класиЗв’язність
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2012-007

Центр описаного кола як середина відрізка

Нехай OO — центр описаного кола трикутника ABCABC. Точки DD і EE вибрано на відрізках ABAB і ACAC відповідно так, що середина відрізка DEDE збігається з точкою OO. Якщо AD=8AD = 8, BD=3BD = 3 і AO=7AO = 7, визначте значення CECE. Тут для відрізка XYXY через XYXY також позначаємо його довжину.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2012-009

Взаємні пари чисел з добутком і сумою

Гравці AA і BB записали на дошці по два натуральні числа. Добуток двох чисел, які записав AA, дорівнює подвоєній сумі двох чисел, які записав BB, а добуток двох чисел, які записав BB, дорівнює подвоєній сумі двох чисел, які записав AA, і, крім того, сума двох чисел, які записав AA, не менша за суму двох чисел, які записав BB. Знайдіть усі можливі значення суми двох чисел, які записав BB. Зауважимо, що чотири записані числа не обов’язково різні.
10–11 класиМетод затискання між сусідніми зн…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2012-011

Розфарбування сітки без діагональних сусідів

Нехай nn — натуральне число і задано квадратну сітку 2n×2n2n \times 2n. Припустімо, що зафарбовано рівно 2n22n^2 клітинок сітки так, щоб виконувалася така умова. Умова: якщо клітинка зафарбована, то жодна з клітинок, які мають з нею лише спільну вершину, не зафарбована. Скількома способами можна зафарбувати 2n22n^2 клітинок сітки так, щоб виконувалася зазначена вище умова? Дві конфігурації зафарбованих клітинок вважаємо різними, навіть якщо одна може бути отримана з іншої поворотом або перегортанням.
10–11 класиКомбінації
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2012-012

Переріз куба шестикутником і різниця площ

Нехай у просторі розміщено куб ABCDABCD-EFGHEFGH з довжиною ребра 20122012 і площину, причому перетин площини з кубом утворює шестикутник IJKLMNIJKLMN, де точки II, JJ, KK, LL, MM, NN лежать на ребрах AEAE, EFEF, FGFG, GCGC, CDCD, DADA відповідно, як показано на рисунку 3 нижче. Якщо AI−GL=8AI - GL = 8, CM−EJ=6CM - EJ = 6, FK−DN=4FK - DN = 4, визначте значення, яке одержимо, якщо від суми площ трикутників IKMIKM і JLNJLN відняти площу шестикутника IJKLMNIJKLMN. Тут для відрізка XYXY його довжину також позначено через XYXY.
10–11 класиРозбиття і перекидання площ
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2012-004

Циклічна нерівність з чисельниками 2x² + xy

Нехай xx, yy і zz — додатні дійсні числа. Доведіть, що 2x2+xy(y+zx+z)2+2y2+yz(z+xy+x)2+2z2+zx(x+yz+y)2≥1.\frac{2x^2 + xy}{(y + \sqrt{zx} + z)^2} + \frac{2y^2 + yz}{(z + \sqrt{xy} + x)^2} + \frac{2z^2 + zx}{(x + \sqrt{yz} + y)^2} \geq 1.
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2012-001

Підмножина заданого розміру і множина N(X)

Нехай A1,A2,…,AnA_1, A_2, \dots, A_n — множини. Для підмножини XX множини {1,2,…,n}\{1, 2, \dots, n\} покладемо N(X)={i∈{1,2,…,n}−X:Ai∩Aj≠∅ для всіх j∈X}.N(X) = \{i \in \{1, 2, \dots, n\} - X : A_i \cap A_j \neq \emptyset \text{ для всіх } j \in X\}. Доведіть, що для кожного цілого 3≤m≤n−23 \le m \le n - 2 існує підмножина XX множини {1,2,…,n}\{1, 2, \dots, n\} така, що ∣X∣=m|X| = m і ∣N(X)∣≠1|N(X)| \neq 1.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2012-002

Нескінченно багато взаємно простих розв’язків рівняння

Нехай nn — натуральне число. Доведіть, що існує нескінченно багато трійок цілих чисел (x,y,z)(x, y, z), кожна з яких задовольняє nx2+y3=z4nx^2 + y^3 = z^4, (x,y)=(y,z)=(z,x)=1(x, y) = (y, z) = (z, x) = 1.
10–11 класиРівняння Пелля
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2012-003

Підмножини чисел виду 2^x3^y з властивістю дільника

Нехай MM — множина натуральних чисел, які не діляться на жодне просте число, більше за 33. Для довільно вибраних підмножин A1,A2,A3,…A_1, A_2, A_3, \dots множини MM доведіть, що існують два різні натуральні числа ii і jj такі, що для кожного xx з множини AiA_i у множині AjA_j знайдеться дільник числа xx.
10–11 класиПринцип Діріхле (інші випадки)
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2012-002

Точки дотику вписаного кола та середини відрізків між центрами зовнівписаних кіл

Дано трикутник ABC; центр його зовнівписаного кола, протилежного до вершини A, — це точка, де перетинаються зовнішні бісектриси кутів ∠B\angle B і ∠C\angle C. Нехай IAI_A, IBI_B і ICI_C — центри зовнівписаних кіл різностороннього трикутника ABC, протилежних до вершин A, B, C відповідно, а X, Y і Z — середини відрізків IBICI_B I_C, ICIAI_C I_A і IAIBI_A I_B відповідно. Вписане коло трикутника ABC дотикається до сторін BC, CA і AB у точках D, E і F відповідно. Доведіть, що прямі DX, EY і FZ перетинаються в одній точці на прямій IO, яка сполучає інцентр I та центр описаного кола O трикутника ABC.
10–11 класиГомотерія і подібність
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2012-013

Симетричні чевіани та спільна точка

Нехай ABCABC — трикутник, MM — середина сторони ACAC, а NN — середина сторони ABAB. Нехай rr і ss — образи прямих BMBM і CNCN при симетрії відносно прямої BCBC відповідно. Прямі rr і ss перетинають пряму MNMN у точках DD і EE відповідно. Описані кола трикутників BDMBDM і CENCEN перетинаються в точках XX і YY, прямі BEBE і CDCD перетинаються в точці ZZ, а прямі rr і ss перетинаються в точці WW. Доведіть, що прямі XYXY, WZWZ і BCBC перетинаються в одній точці.
8–9 класиРадикальна вісь
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2012-005

Розфарбування таблиці з локальними обмеженнями

Скількома способами можна розфарбувати клітинки таблиці n×nn \times n, кожну в один із чотирьох кольорів, так, щоб жодні дві клітинки зі спільною стороною не мали однакового кольору й у кожному квадраті 2×22 \times 2, утвореному сусідніми клітинками, траплялися всі чотири кольори?
10–11 класиГеометричні розфарбування
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2012-006

Сюр'єктивне функціональне рівняння на додатних числах

Знайдіть усі сюр'єктивні функції f:(0,+∞)→(0,+∞)f: (0, +\infty) \to (0, +\infty) такі, що 2x⋅f(f(x))=(f(f(x))+x)⋅f(x)2x \cdot f(f(x)) = (f(f(x)) + x) \cdot f(x) для всіх x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty). Функція f:A→Bf: A \to B називається сюр'єктивною тоді й лише тоді, коли область значень функції ff дорівнює BB, тобто для всіх y∈By \in B існує x∈Ax \in A таке, що f(x)=yf(x) = y.
10–11 класиЦиклічні підстановки (метод орбіт)
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2012-001

Гострокутний трикутник серед обмежених відношень

Знайдіть усі цілі числа n≥3n \ge 3, для яких серед будь-яких nn додатних дійсних чисел a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n, що задовольняють умову max⁡(a1,a2,…,an)≤n⋅min⁡(a1,a2,…,an),\max(a_1, a_2, \ldots, a_n) \le n \cdot \min(a_1, a_2, \ldots, a_n), знайдуться три, які є довжинами сторін гострокутного трикутника.
10–11 класиЧисла Фібоначі
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2012-002

Конгруентні трикутники на розфарбованому колі

Коло поділено на 432432 рівні дуги 432432 точками. Точки пофарбовано у чотири кольори так, що 108108 точок пофарбовано в червоний колір, 108108 точок — у зелений, 108108 точок — у синій, а решта 108108 точок — у жовтий. Доведіть, що можна вибрати по три точки кожного кольору так, щоб чотири трикутники, утворені вибраними точками одного кольору, були конгруентними.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.