Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

5 945 задач
Складністьолімпіадний, 12–16
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2012-003

Цілі числа зі зникаючою зваженою сумою

Визначте, які цілі числа n>1n > 1 мають властивість, що існує нескінченна послідовність a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \dots ненульових цілих чисел така, що рівність ak+2a2k+⋯+nank=0a_k + 2a_{2k} + \dots + n a_{nk} = 0 виконується для кожного натурального числа kk.
10–11 класиЛінійні діофантові рівняння2 розв’язки
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2012-004

Відбиття і колінеарність у трикутнику

Нехай PP — точка в площині трикутника ABCABC, а γ\gamma — пряма, що проходить через PP. Нехай A′A', B′B', C′C' — точки, в яких образи прямих PAPA, PBPB, PCPC при відбитті відносно прямої γ\gamma перетинають прямі BCBC, ACAC, ABAB відповідно. Доведіть, що точки A′A', B′B', C′C' лежать на одній прямій.
10–11 класиТеорема Менелая2 розв’язки
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2012-006

Суми по підмножинах, що перевищують поріг

Для цілого n≥2n \ge 2 нехай x1,x2,…,xnx_1, x_2, \dots, x_n — дійсні числа, що задовольняють x1+x2+⋯+xn=0,іx12+x22+⋯+xn2=1.x_1 + x_2 + \dots + x_n = 0, \quad \text{і} \quad x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2 = 1. Для кожної підмножини A⊆{1,2,…,n}A \subseteq \{1, 2, \dots, n\} означимо SA=∑i∈Axi.S_A = \sum_{i \in A} x_i. (Якщо AA — порожня множина, то SA=0S_A = 0.) Доведіть, що для будь-якого додатного числа λ\lambda кількість множин AA, для яких SA≥λS_A \ge \lambda, не перевищує 2n−3λ2\frac{2^{n-3}}{\lambda^2}. Для яких наборів x1,x2,…,xn,λx_1, x_2, \dots, x_n, \lambda досягається рівність?
10–11 класиПідрахунок двома способами
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2011-002

Паралелограм з бісектрис кутів у вписаному чотирикутнику

Нехай ABCDABCD — вписаний чотирикутник, протилежні сторони якого не паралельні, XX — точка перетину прямих ABAB і CDCD, а YY — точка перетину прямих ADAD і BCBC. Нехай бісектриса ∠AXD\angle AXD перетинає ADAD, BCBC у точках EE, FF відповідно, а бісектриса ∠AYB\angle AYB перетинає ABAB, CDCD у точках GG, HH відповідно. Доведіть, що EGFHEGFH — паралелограм.
10–11 класиОсновна властивість бісектриси
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2011-003

Прямокутники у квадраті із сумами відношень сторін

Емі поділила квадрат на скінченну кількість білих і червоних прямокутників, кожен зі сторонами, паралельними до сторін квадрата. У кожному білому прямокутнику вона записує його ширину, поділену на його висоту. У кожному червоному прямокутнику вона записує його висоту, поділену на його ширину. Нарешті, вона обчислює xx, суму цих чисел. Якщо сумарна площа білих прямокутників дорівнює сумарній площі червоних прямокутників, яке найменше можливе значення xx?
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2011-005

Знакові суми квадратів членів арифметичної прогресії

Нехай dd — натуральне число. Доведіть, що для кожного цілого числа SS існує ціле число n>0n > 0 і послідовність ϵ1,ϵ2,…,ϵn\epsilon_1, \epsilon_2, \dots, \epsilon_n, де для будь-якого kk, ϵk=1\epsilon_k = 1 або ϵk=−1\epsilon_k = -1, така, що S=ϵ1(1+d)2+ϵ2(1+2d)2+ϵ3(1+3d)2+⋯+ϵn(1+nd)2.S = \epsilon_1(1+d)^2 + \epsilon_2(1+2d)^2 + \epsilon_3(1+3d)^2 + \dots + \epsilon_n(1+nd)^2.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Французька математична олімпіадаFRMO-2011-002

Перетин образів прямої AB та перпендикулярність до CD

Нехай ABCDABCD — чотирикутник, вписаний у коло з центром OO. Позначимо через Δ1\Delta_{1} і Δ2\Delta_{2} образи прямої (AB)(AB) при симетріях, осями яких є відповідно внутрішні бісектриси кутів CAD^\widehat{CAD} і CBD^\widehat{CBD}. Нехай PP — перетин прямих Δ1\Delta_{1} і Δ2\Delta_{2}. Доведіть, що прямі (OP)(OP) і (CD)(CD) перпендикулярні.
9–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-001

Оптимальна стратегія вибору цілого числа

Том, Дік і Гаррі грають у гру, в якій кожен з них вибирає ціле число між 11 і 20112011. Спочатку число вибирає Том і повідомляє свій вибір Діку та Гаррі. Потім Дік вибирає інше число і повідомляє свій вибір Гаррі. Нарешті Гаррі вибирає число, відмінне від чисел Тома й Діка. Після того як усі вибори зроблено, навмання вибирається ціле число між 11 і 20112011. Гравець, чиє число найближче, виграє 22 долари, хіба що є нічия, у якому разі кожен із гравців, що поділили першість, виграє 11 долар. Якщо Том знає, що Дік і Гаррі гратимуть оптимально й вибиратимуть навмання серед однаково оптимальних варіантів, то існують два числа, які Том може вибрати, щоб максимізувати своє математичне сподівання виграшу; які вони?
10–11 класиВиграшні та програшні позиції: ан…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-098

Максимум суми модулів на одиничному колі

Нехай xx і yy — комплексні числа, такі, що ∣x∣=∣y∣=1|x|=|y|=1. a. Знайдіть найбільше значення виразу ∣1+x∣+∣1+y∣−∣1+xy∣|1+x|+|1+y|-|1+xy|. b. Знайдіть найбільше значення виразу ∣1+x∣+∣1+xy∣+∣1+xy2∣+…+∣1+xy2011∣−1006∣1+y∣|1+x|+|1+xy|+|1+xy^{2}|+\ldots+|1+xy^{2011}|-1006|1+y|.
10–11 класиНерівність трикутника
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-099

Модуль суми одиничних комплексних чисел

Нехай aa, bb і cc — комплексні числа такі, що ∣a∣=∣b∣=∣c∣=1|a|=|b|=|c|=1. Якщо a2bc+b2ca+c2ab=1\frac{a^{2}}{b c}+\frac{b^{2}}{c a}+\frac{c^{2}}{a b}=1 також виконується, знайдіть добуток усіх можливих значень ∣a+b+c∣|a+b+c|.
10–11 класиКомплексні числа
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-100

Зростання модуля у степенях комплексних чисел

Нехай aa і bb — додатні дійсні числа. Визначимо дві послідовності дійсних чисел {an}\{a_{n}\} і {bn}\{b_{n}\} для всіх натуральних чисел nn рівністю (a+bi)n=an+bni(a+b i)^{n}=a_{n}+b_{n} i. Доведіть, що ∣an+1∣+∣bn+1∣∣an∣+∣bn∣≥a2+b2a+b\frac{\left|a_{n+1}\right|+\left|b_{n+1}\right|}{\left|a_{n}\right|+\left|b_{n}\right|} \geq \frac{a^{2}+b^{2}}{a+b} для всіх натуральних чисел nn.
10–11 класиКомплексні числа
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-090

Розфарбування пар літер з обмеженнями

Джулія вчиться писати літеру CC. У неї є 66 олівців різних кольорів, і вона хоче написати Cc Cc Cc Cc CcCc\ Cc\ Cc\ Cc\ Cc. Скількома способами вона може написати десять літер CC так, щоб кожна велика літера CC була іншого кольору, кожна мала літера CC була іншого кольору, і в кожній парі велика літера CC та мала літера CC були різних кольорів?
10–11 класиПерестановки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-022

Максимум суми площ трикутників на спільних відрізках

Відрізки AA′A A', BB′B B' і CC′C C', кожен завдовжки 22, перетинаються в одній точці OO. Якщо ∠AOC′=∠BOA′=∠COB′=60∘\angle A O C' = \angle B O A' = \angle C O B' = 60^{\circ}, знайдіть найбільше можливе значення суми площ трикутників AOC′A O C', BOA′B O A' і COB′C O B'.
10–11 класиЕкстремальні геометричні конструк…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-026

Ймовірність у грі з монетою з фібоначчієвими вагами

Розенкранц і Гільденстерн грають у гру, в якій вони неодноразово підкидають чесну монету. Нехай a1=4a_{1}=4, a2=3a_{2}=3, а an=an−1+an−2a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2} для всіх n≥3n \geq 3. На nn-му підкиданні, якщо випадає герб, Розенкранц платить Гільденстерну ana_{n} доларів, а якщо випадає решка, Гільденстерн платить Розенкранцу ana_{n} доларів. Якщо гра триває 2010 ходів, яка ймовірність того, що Розенкранц у підсумку матиме більше грошей, ніж на початку?
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-144

Перетин описаних кіл і рівність кутів

Нехай ABCABC — нерівнобедрений, непрямокутний трикутник, нехай ω\omega — його описане коло, а OO — центр його описаного кола. Нехай MM — середина відрізка BCBC. Нехай описане коло трикутника AOMAOM перетинає ω\omega вдруге в точці DD. Якщо HH — ортоцентр трикутника ABCABC, доведіть, що ∠DAH=∠MAO\angle DAH = \angle MAO.
10–11 класиДотична кола2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-148

Рівносторонній шестикутник з паралельними сторонами

Нехай ABCDEFA B C D E F — опуклий рівносторонній шестикутник, у якому прямі BCB C, ADA D і EFE F паралельні. Нехай HH — ортоцентр трикутника ABDA B D. Якщо найменший внутрішній кут шестикутника дорівнює 44 градусам, знайдіть найменший кут трикутника HADH A D у градусах.
10–11 класиТочка перетину висот
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-127

Виграшна стратегія на дошці з літерами

Майк і Гаррі грають у гру на дошці 8×88 \times 8. Для деякого натурального числа kk Майк вибирає kk клітинок і вписує в кожну з них MM. Гаррі потім вибирає k+1k+1 клітинок і вписує в кожну з них HH. Після того як Гаррі закінчить, Майк виграє, якщо є послідовність літер, що утворює «HMMH M M» або «MMHM M H» при читанні або по горизонталі, або по вертикалі, а інакше виграє Гаррі. Знайдіть найменше значення kk, для якого Майк має виграшну стратегію.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-149

Кількість різних кінцевих пар після зведень сусідніх пар

Впорядковані пари (2011,2),(2010,3),(2009,4),…,(1008,1005),(1007,1006)(2011,2),(2010,3),(2009,4), \ldots,(1008,1005),(1007,1006) записано зліва направо на дошці. Щохвилини Елізабет вибирає пару сусідніх пар (xi,yi)\left(x_{i}, y_{i}\right) і (xj,yj)\left(x_{j}, y_{j}\right), причому (xi,yi)\left(x_{i}, y_{i}\right) стоїть ліворуч від (xj,yj)\left(x_{j}, y_{j}\right), стирає їх і записує на їхнє місце (xiyixjyj,xiyiyjxj)\left(\frac{x_{i} y_{i} x_{j}}{y_{j}}, \frac{x_{i} y_{i} y_{j}}{x_{j}}\right). Елізабет продовжує цей процес, доки не залишиться лише одна впорядкована пара. Скільки різних впорядкованих пар (x,y)(x, y) може з'явитися на дошці після завершення процесу?
10–11 класиІнші інваріанти
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-161

Злиття впорядкованих пар за правилом заміни

Впорядковані пари (2011,2),(2010,3),(2009,4),…,(1008,1005),(1007,1006)(2011,2),(2010,3),(2009,4), \ldots,(1008,1005),(1007,1006) написано зліва направо на дошці. Щохвилини Елізабет вибирає пару сусідніх пар (xi,yi)\left(x_{i}, y_{i}\right) і (xj,yj)\left(x_{j}, y_{j}\right), причому (xi,yi)\left(x_{i}, y_{i}\right) стоїть лівіше від (xj,yj)\left(x_{j}, y_{j}\right), стирає їх і записує на їхнє місце (xiyixjyj,xiyiyjxj)\left(\frac{x_{i} y_{i} x_{j}}{y_{j}}, \frac{x_{i} y_{i} y_{j}}{x_{j}}\right). Елізабет продовжує цей процес, доки не залишиться лише одна впорядкована пара. Скільки можливих впорядкованих пар (x,y)(x, y) може з’явитися на дошці після завершення процесу?
10–11 класиІнші інваріанти
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-002

Максимальна кількість кроків алгоритму Евкліда

Нехай aa і bb — натуральні числа, такі, що a>ba > b. Визначимо послідовність впорядкованих пар (al,bl)(a_{l}, b_{l}) для невід'ємних цілих ll за правилами a0=aa_{0} = a, b0=bb_{0} = b і (al+1,bl+1)=(bl,al mod bl)(a_{l+1}, b_{l+1}) = (b_{l}, a_{l} \bmod b_{l}), де для будь-яких натуральних чисел xx і yy вираз x mod yx \bmod y означає остачу від ділення xx на yy. Визначимо f(a,b)f(a, b) як найменше натуральне число jj, таке, що bj=0b_{j} = 0. Для натурального числа nn визначимо g(n)g(n) як max⁡1≤k≤n−1f(n,k)\max_{1 \leq k \leq n-1} f(n, k). а. Для натурального числа mm: яке найменше натуральне число nmn_{m}, таке, що g(nm)=mg(n_{m}) = m? б. Яке друге найменше?
10–11 класиАлгоритм Евкліда
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-155

Мінімальна діагональ у вписаному чотирикутнику

Нехай ABCDABCD — вписаний чотирикутник, причому BC=CD=2BC = CD = 2. Нехай II — інцентр трикутника ABDABD. Якщо також AI=2AI = 2, знайдіть найменше можливе значення довжини діагоналі BDBD.
10–11 класиЗастосування тригонометрії
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-032

Розбиття пронумерованих кульок з обмеженням на суму

Денні має набір із 1515 більярдних кульок, пронумерованих 1,2,…,151,2, \ldots, 15. Скількома способами він може розкласти кульки в 88 нерозрізнюваних ящиків так, щоб сума чисел на кульках у кожному ящику дорівнювала 1414, 1515 або 1616?
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-118

Вписаний чотирикутник з відстанню до інцентра

Нехай ABCDABCD — вписаний чотирикутник, причому BC=CD=2BC = CD = 2. Нехай II — інцентр трикутника ABDABD. Якщо також AI=2AI = 2, знайдіть найменше значення довжини діагоналі BDBD.
10–11 класиЗастосування тригонометрії
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-150

Функції з обмеженими значеннями і 2010 різними значеннями

Нехай A={1,2,…,2011}A=\{1,2, \ldots, 2011\}. Знайдіть кількість функцій ff з AA в AA, таких, що f(n)≤nf(n) \leq n для всіх nn з AA і які набувають рівно 2010 різних значень.
10–11 класиРозбиття на випадки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-139

Інтеграл неперервної функції зі сталою другою ітерацією

Нехай f:[0,1]→[0,1]f:[0,1] \rightarrow [0,1] — неперервна функція така, що f(f(x))=1f(f(x)) = 1 для всіх x∈[0,1]x \in [0,1]. Знайдіть множину можливих значень ∫01f(x) dx\int_{0}^{1} f(x) \, dx.
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.