Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

5 945 задач
Складністьолімпіадний, 12–16
Відбіркові тести на IMOTST-2011-040

Подільність цілої частини виразу з кубічним коренем

Нехай nn — натуральне число, а bb — найбільше ціле число, менше від (283−3)−n(\sqrt[3]{28}-3)^{-n}. Доведіть, що bb не може ділитися на 6.
10–11 класиМногочлени ділення кола
Відбіркові тести на IMOTST-2011-042

П'ятикутник з паралельними сторонами і умовою на кути

Нехай дано опуклий п'ятикутник ABCDEA B C D E з властивостями BC∥AEB C \| A E і AB‾=AE‾\overline{A B}=\overline{A E}. Нехай далі FF — точка на відрізку AEA E, така, що виконуються AB‾=BC‾+AF‾\overline{A B}=\overline{B C}+\overline{A F} та ∡CBA=∡FDC\Varangle C B A=\Varangle F D C. Нарешті, нехай MM — середина відрізка CFC F, а OO — центр описаного кола трикутника BCDB C D. Доведіть: якщо DM⊥MOD M \perp M O, то ∡FDC=2⋅∡ADB\Varangle F D C=2 \cdot \Varangle A D B.
10–11 класиСиметрія
Відбіркові тести на IMOTST-2011-008

Бісектриса кута в трикутнику з діаметром

У гострокутному трикутнику ABCA B C кут ∠C\angle C більший за ∠A\angle A. Нехай EE — така точка, що AEA E — діаметр описаного кола Γ\Gamma трикутника △ABC\triangle A B C. Нехай KK — точка перетину прямої ACA C і дотичної в точці BB до кола Γ\Gamma. Нехай LL — основа перпендикуляра, проведеного з точки KK на пряму AEA E, а DD — точка перетину прямих KLK L і ABA B. Доведіть, що пряма CEC E — бісектриса кута ∠BCD\angle B C D.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2011-009

Роздільність замощення прямокутника доміно

Розглянемо замощення прямокутної дошки m×nm \times n плитками 1×21 \times 2. Плитки можуть лежати як горизонтально, так і вертикально, але вони не можуть перекриватися і виступати за межі дошки. Усі клітинки дошки мають бути покриті плиткою. a) Доведіть, що за будь-якого замощення дошки 4×20104 \times 2010 плитками 1×21 \times 2 існує пряма лінія, яка ділить дошку на дві частини так, що кожна плитка цілком лежить усередині однієї з частин. b) Доведіть, що існує замощення дошки 5×20105 \times 2010 плитками 1×21 \times 2 таке, що немає прямої лінії, яка ділить дошку на дві частини так, що кожна плитка цілком лежить усередині однієї з частин.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Відбіркові тести на IMOTST-2011-007

Перпендикулярність із колом і паралельними прямими

Пряма gg перетинає коло kk у точках AA і BB. Серединний перпендикуляр до відрізка ABA B перетинає kk ще раз у точках CC і DD. Нехай тепер PP — ще одна точка на прямій gg, що лежить поза колом kk. Прямі, паралельні до CAC A і CBC B, проведені через PP, перетинають прямі CBC B і CAC A у точках XX і YY. Доведіть, що пряма XYX Y перпендикулярна до прямої PDP D.
10–11 класиРадикальна вісь2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2011-015

Асоціативна операція з інволютивною властивістю

Чи існує операція ∗* на множині всіх цілих чисел така, що одночасно виконуються такі умови: (1) для будь-яких цілих чисел xx, yy, zz, (x∗y)∗z=x∗(y∗z)(x * y) * z = x * (y * z); (2) для будь-яких цілих чисел xx і yy, x∗x∗y=y∗x∗x=yx * x * y = y * x * x = y?
10–11 класиСистеми числення
Відбіркові тести на IMOTST-2011-039

Еластичні функції на додатних раціональних числах

Позначимо через Q+\mathbb{Q}^{+} множину додатних раціональних чисел. Функція f:Q+→Q+f: \mathbb{Q}^{+} \rightarrow \mathbb{Q}^{+} називається еластичною, якщо для всіх x,y∈Q+x, y \in \mathbb{Q}^{+} виконується нерівність f(x)+f(y)≥4f(x+y)f(x)+f(y) \geq 4 f(x+y) a. Доведіть: якщо f:Q+→Q+f: \mathbb{Q}^{+} \rightarrow \mathbb{Q}^{+} еластична і x,y,zx, y, z — додатні раціональні числа, то f(x)+f(y)+f(z)≥8f(x+y+z)f(x)+f(y)+f(z) \geq 8 f(x+y+z). b. Чи існує еластична функція f:Q+→Q+f: \mathbb{Q}^{+} \rightarrow \mathbb{Q}^{+} разом із додатними раціональними числами x,y,zx, y, z, для яких виконується f(x)+f(y)+f(z)<9f(x+y+z)f(x)+f(y)+f(z)<9 f(x+y+z)?
10–11 класиКонструктивна побудова функції
Відбіркові тести на IMOTST-2011-014

Дотична з центра до описаного кола

Нехай Γ1\Gamma_{1} і Γ2\Gamma_{2} — два кола, що перетинаються, з центрами відповідно O1O_{1} і O2O_{2}, такі, що Γ2\Gamma_{2} перетинає відрізок O1O2O_{1} O_{2} в точці AA. Точки перетину кіл Γ1\Gamma_{1} і Γ2\Gamma_{2} — це CC і DD. Пряма ADA D перетинає Γ1\Gamma_{1} вдруге в точці SS. Пряма CSC S перетинає O1O2O_{1} O_{2} в точці FF. Нехай Γ3\Gamma_{3} — описане коло трикутника ADFA D F. Позначимо через EE другу точку перетину кіл Γ1\Gamma_{1} і Γ3\Gamma_{3}. Доведіть, що пряма O1EO_{1} E дотикається до кола Γ3\Gamma_{3}.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Відбіркові тести на IMOTST-2011-010

Добуток p-pod послідовностей

Нехай pp — просте число. Скажемо, що послідовність цілих чисел {zn}n=0∞\{z_n\}_{n=0}^{\infty} є pp-pod, якщо для кожного e≥0e \ge 0 існує таке N≥0N \ge 0, що щоразу, коли m≥Nm \ge N, число pep^e ділить суму ∑k=0m(−1)k(mk)zk.\sum_{k=0}^{m} (-1)^k \binom{m}{k} z_k. Доведіть, що якщо обидві послідовності {xn}n=0∞\{x_n\}_{n=0}^{\infty} і {yn}n=0∞\{y_n\}_{n=0}^{\infty} є pp-pods, то послідовність {xnyn}n=0∞\{x_n y_n\}_{n=0}^{\infty} є pp-pod.
10–11 класиФормула включення-виключення
Відбіркові тести на IMOTST-2011-020

Послідовність простих чисел із подвоєнням на кожному кроці

Доведіть, що не існує нескінченної послідовності простих чисел p0,p1,p2,…p_{0}, p_{1}, p_{2}, \ldots з властивістю, що для всіх натуральних kk виконується: pk=2pk−1+1абоpk=2pk−1−1p_{k}=2 p_{k-1}+1 \quad \text{або} \quad p_{k}=2 p_{k-1}-1
10–11 класиМала теорема Ферма
Відбіркові тести на IMOTST-2011-016

Сума відстаней на межі квадрата

Знайдіть дійсне число tt таке, що для будь-якої множини зі 120 точок P1,…,P120P_1, \dots, P_{120} на межі одиничного квадрата існує точка QQ на цій межі, для якої ∣P1Q∣+⋯+∣P120Q∣=t|P_1Q| + \dots + |P_{120}Q| = t.
10–11 класиЕкстремальні геометричні конструк…
Відбіркові тести на IMOTST-2011-027

Прості дільники біноміальних коефіцієнтів

Доведіть, що якщо nn і kk — натуральні числа такі, що 1<k<n−11 < k < n-1, то біноміальний коефіцієнт (nk)\binom{n}{k} ділиться принаймні на два різні прості числа.
10–11 класиФакторизація біноміальних коефіці…2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2011-026

Кольорові точки із заданими сумами відстаней

Знайдіть усі трійки (a,b,c)(a, b, c) натуральних чисел, для яких a+b+c=10a+b+c=10 і існує aa червоних, bb синіх і cc зелених точок (усі різні) на площині з такими властивостями: - для кожної червоної точки і кожної синьої точки розглянемо відстань між цими двома точками; сума всіх цих відстаней дорівнює 3737; - для кожної зеленої точки і кожної червоної точки розглянемо відстань між цими двома точками; сума всіх цих відстаней дорівнює 3030; - для кожної синьої точки і кожної зеленої точки розглянемо відстань між цими двома точками; сума всіх цих відстаней дорівнює 11;
10–11 класиНерівність трикутника
Відбіркові тести на IMOTST-2011-024

Трапеція з перетином бісектрис

Дано трапецію ABCDA B C D, у якій BC∥ADB C \| A D. Припустімо, що бісектриси кутів BADB A D і CDAC D A перетинаються на серединному перпендикулярі до відрізка BCB C. Доведіть, що ∣AB∣=∣CD∣|A B|=|C D| або ∣AB∣+∣CD∣=∣AD∣|A B|+|C D|=|A D|.
10–11 класиСиметрія
Відбіркові тести на IMOTST-2011-025

Бісектриса трикутника і середина відрізка

Нехай ABCABC — трикутник, у якому ∣AB∣>∣BC∣|AB| > |BC|. Нехай DD — середина сторони ACAC. Нехай EE — точка перетину бісектриси ∠ABC\angle ABC із прямою ACAC. Нехай FF — точка на прямій BEBE така, що пряма CFCF перпендикулярна до BEBE. Нехай далі GG — точка перетину прямих CFCF і BDBD. Доведіть, що пряма DFDF ділить відрізок EGEG навпіл.
10–11 класиПаралельні прямі і теорема Фалеса3 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2011-023

Суми цифр попарних сум і загальної суми

Знайдіть натуральні числа a,b,ca, b, c такі, що сума цифр кожного з чисел a+b,b+ca+b, b+c і c+ac+a менша за 5, а сума цифр числа a+b+ca+b+c більша за 50.
10–11 класиСистеми числення
Відбіркові тести на IMOTST-2011-029

Різні рядки та червоні стовпці на дошці

На клітчастій дошці з mm рядками та nn стовпцями, де m≤nm \le n, деякі клітинки пофарбовано в чорний колір так, що жодні два рядки не збігаються. Знайдіть найбільше ціле число kk таке, що для будь-якого початкового розфарбування завжди можна пофарбувати kk стовпців повністю в червоний колір так, щоб жодні два рядки й надалі не збігалися. Відповідь: n−m+1n-m+1.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…3 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2011-028

Гарні многочлени при підстановці змінної

Многочлен P(x)P(x) називають гарним, якщо P(0)=1P(0) = 1 і ненульові коефіцієнти P(x)P(x) у записі за порядком чергуються між 11 і −1-1. Нехай P(x)P(x) — гарний, а mm і nn — два взаємно прості натуральні числа. Доведіть, що Q(x)=P(xn)⋅(xmn−1)(x−1)(xm−1)(xn−1)Q(x) = P(x^n) \cdot \frac{(x^{mn} - 1)(x - 1)}{(x^m - 1)(x^n - 1)} також є гарним.
10–11 класиВластивості коефіцієнтів многочле…
Відбіркові тести на IMOTST-2011-033

Королі без нападів на великій шаховій дошці

Доведіть, що існує понад 101310^{13} способів розмістити 81 короля на дошці 18×1818 \times 18 так, щоб жодні два королі не били один одного.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Відбіркові тести на IMOTST-2011-032

Щільна множина пар із потрійним перекриттям

Нехай n≥1n \ge 1 — ціле число, а SS — множина пар цілих чисел (a,b)(a, b), для яких 1≤a<b≤2n1 \le a < b \le 2^n. Припустимо, що ∣S∣>n⋅2n+1|S| > n \cdot 2^{n+1}. Доведіть, що існують чотири цілі числа a<b<c<da < b < c < d такі, що SS містить усі три пари (a,c)(a, c), (b,d)(b, d) і (a,d)(a, d).
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Відбіркові тести на IMOTST-2011-035

Дотична до описаного кола в трикутнику

У трикутнику ABCA B C, у якому AB≠ACA B \neq A C, нехай DD — проєкція точки AA на пряму BCB C. Крім того, нехай E,FE, F — середини відрізків ADA D та BCB C відповідно, а GG — проєкція точки BB на пряму AFA F. Доведіть, що пряма EFE F є дотичною в точці FF до описаного кола трикутника GFCG F C.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2011-037

Циклічна сума з локальними обмеженнями

Нехай x1,…,x8≥0x_{1}, \ldots, x_{8} \geq 0 — дійсні числа, такі, що для i=1,…,8i=1, \ldots, 8 виконується xi+xi+1+xi+2≤1x_{i}+x_{i+1}+x_{i+2} \leq 1, де x9=x1x_{9}=x_{1} і x10=x2x_{10}=x_{2}. Доведіть нерівність ∑i=18xixi+2≤1\sum_{i=1}^{8} x_{i} x_{i+2} \leq 1 і знайдіть усі випадки, в яких досягається рівність.
10–11 класиНерівність Коші
Італійська математична олімпіадаITAMO-2011-004

Чотирикутник із зовнішніми бісектрисами

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник. Нехай PP — перетин зовнішніх бісектрис кутів DA^CD\widehat{A}C і DB^CD\widehat{B}C. Доведіть, що AP^D=BP^CA\widehat{P}D = B\widehat{P}C тоді і лише тоді, коли AD+AC=BC+BDAD + AC = BC + BD. [Примітка: Нагадаємо, що зовнішня бісектриса кута — це пряма, яка проходить через вершину кута і перпендикулярна до внутрішньої бісектриси (тобто звичайної бісектриси) того самого кута.]
10–11 класиСиметрія
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2011-013

Добутки чисел, не менших за дане

Нехай натуральне число nn є повним квадратом. Розглянемо множину чисел, які можна подати у вигляді добутку 2 чисел, кожне з яких не менше за nn (ці 2 числа можуть збігатися). Виразіть через nn число, яке є nn-м найменшим у цій множині.
7–9 класиЧислові нерівності
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2011-016

Перестановка чисел з умовою на остачі сум

Нехай nn — ціле число, не менше за 22. Розглянемо способи вишикувати зліва направо n2n^2 чисел, які складаються з nn чисел кожного виду з {1,2,…,n}\{1, 2, \dots, n\}. Чи можна вишикувати їх так, щоб виконувалася така умова? Умова: Для будь-якого цілого kk з 1≤k≤n2−11 \le k \le n^2 - 1 остача від ділення суми перших kk чисел зліва на nn відрізняється від остачі від ділення kk на nn.
7–9 класиЖадібний алгоритм

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.