Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

5 945 задач
Складністьолімпіадний, 12–16
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2011-009

Сума цифр при множенні на п'ять

Скільки існує натуральних чисел nn, не більших за 10001000, для яких сума цифр числа 5n5n дорівнює сумі цифр числа nn?
7–9 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2011-010

Симетричні розташування на сітці 8×8

64 квадрати зі стороною довжиною 1 розташовані у 8 рядків і 8 стовпців, щоб заповнити внутрішню частину квадрата ABCDABCD зі стороною довжиною 8. Ми вибираємо певну кількість малих квадратів і розфарбовуємо їх, дотримуючись 3 умов, зазначених нижче: Розташування розфарбованих малих квадратів у квадраті ABCDABCD симетричне відносно обох діагоналей ACAC і BDBD. Для кожного рядка кількість розфарбованих малих квадратів не більше 1. Для кожного стовпця кількість розфарбованих малих квадратів не більше 1. Скільки існує можливих розташувань розфарбованих малих квадратів, що задовольняють 3 вищезазначені умови? Розташування, де жоден з малих квадратів не розфарбований, вважається однією можливістю.
7–9 класиСиметрія та розбиття на пари
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2011-011

Інцентр і центр описаного кола під прямим кутом

Нехай II і OO — відповідно інцентр і центр описаного кола трикутника ABCABC. Якщо AB=2AB = 2, AC=3AC = 3 і ∠AIO=90∘\angle AIO = 90^\circ, чому дорівнює площа трикутника ABCABC? Тут для відрізка XYXY його довжину також позначено через XYXY.
7–9 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2011-013

Перпендикуляр з ортоцентра на медіану

Нехай HH — ортоцентр гострокутного трикутника ABCABC, а MM — середина сторони BCBC. Нехай PP — точка перетину прямої AMAM і прямої, що проходить через HH та перпендикулярна до прямої AMAM. Доведіть, що виконується рівність AM⋅PM=BM2AM \cdot PM = BM^2. Тут для відрізка XYXY його довжину також позначено через XYXY.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2011-014

Досягнення неспадної послідовності замінами

Нехай NN — натуральне число. NN клітинок розташовано підряд зліва направо. Учні A і B грають у гру за такими правилами: (1) Спочатку A записує по одному невід'ємному цілому числу в кожну з NN клітинок. (2) Гра закінчується, коли досягнуто такої умови: для кожного ii, що задовольняє 1≤i≤N−11 \le i \le N - 1, число в ii-й клітинці зліва менше або дорівнює числу в (i+1)(i+1)-й клітинці зліва. Доки цю умову не виконано, гра триває повторенням такої процедури: (a) A називає одне невід'ємне ціле число. (b) B вибирає одну з NN клітинок і замінює число в цій клітинці числом, названим A в пункті (a). Чи може B завершити гру незалежно від того, як грає A?
10–11 класиНапівінваріанти
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2011-015

Конгруентні трикутники з рівними вписаними колами

На площині лежать 4 точки так, що жодні 3 з них не лежать на одній прямій. Розглянемо 4 трикутники, утворені 3 із 4 заданих точок. Якщо радіуси 4 вписаних кіл цих 4 трикутників мають однакову довжину, доведіть, що всі ці трикутники рівні.
10–11 класиВписане коло
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2011-006

Прямокутний трикутник з відношеннями відрізків

Нехай ABCABC — прямокутний трикутник з ∠ABC=90∘\angle ABC = 90^\circ. Точки P,Q,RP, Q, R лежать на сторонах BC,CA,ABBC, CA, AB відповідно так, що виконуються умови AQ:QC=2:1,AR=AQ,QP=QR,∠PQR=90∘AQ : QC = 2 : 1, \quad AR = AQ, \quad QP = QR, \quad \angle PQR = 90^\circ Знайдіть значення ARAR, якщо CP=1CP = 1. Тут для відрізка XYXY його довжина також позначається через XYXY.
10–11 класиСума кутів чотирикутника. Зовнішн…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2011-011

Середини діагоналей описаного чотирикутника

Нехай 4 сторони ABAB, BCBC, CDCD, DADA чотирикутника ABCDABCD дотикаються до кола з центром OO, і виконуються умови OA=5, OB=6, OC=7, OD=8OA = 5,\ OB = 6,\ OC = 7,\ OD = 8 Нехай MM, NN — середини відрізків ACAC, BDBD відповідно. Знайдіть значення OM:ONOM : ON. Тут для відрізка XYXY його довжину також позначено через XYXY.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2011-012

Максимум зваженої суми з обмеженням

Нехай nn — натуральне число, не менше за 22. Знайдіть найбільше можливе значення величини (∑i=1niai)(∑i=1naii)2\left( \sum_{i=1}^{n} i a_i \right) \left( \sum_{i=1}^{n} \frac{a_i}{i} \right)^2 де a1,a2,…,ana_1, a_2, \dots, a_n — невід'ємні дійсні числа, які задовольняють a1+a2+⋯+an=1a_1 + a_2 + \dots + a_n = 1.
10–11 класиНерівність Коші
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2011-001

Рівні відрізки та середина сторони в гострокутному трикутнику

Нехай PP — точка на стороні BCBC гострокутного трикутника ABCABC. Нехай HH — ортоцентр △ABC\triangle ABC, а DD — основа перпендикуляра з HH на пряму APAP. Нехай Γ1,Γ2\Gamma_1, \Gamma_2 — описані кола △ABD,△ACD\triangle ABD, \triangle ACD відповідно. Нехай ll — пряма, паралельна стороні BCBC, що проходить через DD. Пряма ll перетинає Γ1\Gamma_1 і Γ2\Gamma_2 у точках XX і YY, відмінних від DD, відповідно. Пряма ll перетинає ABAB і ACAC у точках EE і FF відповідно. Дві прямі XBXB і YCYC перетинаються в точці ZZ. Доведіть, що BP=CPBP = CP тоді й лише тоді, коли ZE=ZFZE = ZF.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2011-006

Розбиття на групи без рукостискань

На вечірці було nn хлопців a1,a2,…,ana_1, a_2, \dots, a_n і nn дівчат b1,b2,…,bnb_1, b_2, \dots, b_n. Жодні два хлопці не потисли один одному руки, і жодні дві дівчини не потисли одна одній руки, а для кожного i∈{1,2,…,n}i \in \{1, 2, \dots, n\} хлопець aia_i не потиснув руку дівчині bib_i. Усіх 2n2n людей хочуть поділити на групи, які задовольняють такі дві умови. 1. У кожній групі кількість хлопців дорівнює кількості дівчат. 2. У кожній групі жодні двоє людей не потисли один одному руки. Нехай mm — кількість пар (ai,bj)(a_i, b_j), у яких aia_i потиснув руку bjb_j. Доведіть, що можна зробити кількість груп не більшою за 22 або за 2mn+1\frac{2m}{n} + 1.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2011-003

Трикутник з описаним колом та умовою на довжини

Нехай ABCABC — трикутник, у якому AC<AB<BCAC < AB < BC. Нехай DD — точка на стороні ABAB. Припустимо, що описане коло трикутника ABCABC перетинає внутрішню бісектрису кута ∠A\angle A і пряму CDCD у точках EE (≠A\neq A) і FF (≠C\neq C) відповідно. Нехай KK — точка перетину прямих BCBC і DEDE. Доведіть, що CK=ACCK = AC тоді й лише тоді, коли DK⋅EF=AC⋅DFDK \cdot EF = AC \cdot DF.
10–11 класиТеорема про тризуб
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2011-002

Розподіл наліпок із відсутньою наліпкою

33 друзі збирають наліпки для альбому з 2011 наліпок. Розподіл наліпок між 33 друзями є неповним, коли існує наліпка, якої не має жоден із друзів. Знайдіть найменше mm з такою властивістю: кожен розподіл наліпок між 33 друзями, за якого для будь-яких двох друзів є принаймні mm наліпок, яких не має жоден із них, є неповним.
10–11 класиПідрахунок двома способами2 розв’язки
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2011-012

Добуток через запити НСД і НСК

Емеральд і Джейд грають у таку гру: Емеральд записує список із 2011 натуральних чисел, але не показує його Джейд. Мета Джейд — знайти добуток 2011 чисел зі списку Емеральд. Для цього вона може запитувати в Емеральд НСД або НСК будь-якої підмножини з принаймні двох із 2011 чисел (наприклад, «чому дорівнює НСД першого, другого, 10-го і 2000-го чисел з вашого списку?» або «чому дорівнює НСК усіх чисел з вашого списку?»). Джейд може поставити скільки завгодно запитань, але отримати свої (правильні) відповіді від Емеральд може лише після того, як поставить усі запитання (Емеральд щедра і до того ж каже, якому запитанню відповідає кожна відповідь). Потім Джейд може застосовувати до відповідей Емеральд будь-які з чотирьох арифметичних дій (додавання, віднімання, множення, ділення). Чи може Джейд скласти такий список запитань, який гарантує, що вона зможе знайти добуток 2011 чисел?
8–9 класиНСД та НСК
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2011-003

Площі трикутників в опуклому п’ятикутнику

Доведіть, що для кожного опуклого п’ятикутника P1P2P3P4P5P_1P_2P_3P_4P_5 з площею 11 існують індекси ii і jj (вважаємо P6=P1P_6 = P_1 і P7=P2P_7 = P_2) такі, що: площа △PiPi+1Pi+2≤5−510≤площа △PjPj+1Pj+2\text{площа } \triangle P_i P_{i+1} P_{i+2} \le \frac{5 - \sqrt{5}}{10} \le \text{площа } \triangle P_j P_{j+1} P_{j+2}
10–11 класиВідношення площ трикутників
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2011-004

Послідовність з НСД, що дорівнює різниці

Чи існують 20112011 натуральних чисел a1<a2<⋯<a2011a_1 < a_2 < \dots < a_{2011} таких, що НСД(ai,aj)=aj−ai\text{НСД}(a_i, a_j) = a_j - a_i для будь-яких i,ji, j таких, що 1≤i<j≤20111 \le i < j \le 2011?
10–11 класиНСД та НСК
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2011-001

Солітерне перетворення на вершинах п'ятикутника

Кожній вершині правильного п'ятикутника приписано ціле число так, що сума п'яти чисел дорівнює 20112011. Хід пасьянсу полягає у відніманні цілого числа mm від чисел у двох сусідніх вершинах і додаванні 2m2m до протилежної вершини, яка не є сусідньою з жодною з перших двох вершин. (Величина mm і вибрані вершини можуть змінюватися від ходу до ходу.) Кажуть, що гру виграно у певній вершині, якщо після деякої кількості ходів ця вершина має число 20112011, а інші чотири вершини мають число 00. Доведіть, що для будь-якого вибору початкових цілих чисел існує рівно одна вершина, в якій гру можна виграти.
10–11 класиОстача від ділення
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2011-003

Остача від ділення 2^{2n} на 2^n - 1

Розглянемо твердження про те, що для кожного натурального числа n≥2n \ge 2 остача від ділення 22n2^{2n} на 2n−12^n - 1 є степенем числа 4. Або доведіть твердження, або знайдіть (з доведенням) контрприклад.
10–11 класиОстачі від великих степенів
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2011-004

Паралельність відрізка Q1Q2 у чотирикутнику з кутовими умовами

Нехай PP — задана точка всередині чотирикутника ABCDABCD. Точки Q1Q_1 і Q2Q_2 розташовані всередині ABCDABCD так, що ∠Q1BC=∠ABP,∠Q1CB=∠DCP,∠Q2AD=∠BAP,∠Q2DA=∠CDP.\angle Q_1 BC = \angle ABP, \quad \angle Q_1 CB = \angle DCP, \quad \angle Q_2 AD = \angle BAP, \quad \angle Q_2 DA = \angle CDP. Доведіть, що Q1Q2‾∥AB‾\overline{Q_1Q_2} \parallel \overline{AB} тоді й лише тоді, коли Q1Q2‾∥CD‾\overline{Q_1Q_2} \parallel \overline{CD}.
10–11 класиСиметрія2 розв’язки
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2010-003

Перемикання кольорів вершин графа

Кожну вершину скінченного графа можна пофарбувати або в чорний, або в білий колір. Спочатку всі вершини чорні. Дозволено вибрати вершину PP і змінити колір вершини PP та всіх її сусідів. Чи можна послідовністю операцій такого типу змінити колір кожної вершини з чорного на білий?
10–11 класиМетод математичної індукції
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2010-004

Цілі значення многочленів на факторіальній послідовності

Нехай P(x)P(x) і Q(x)Q(x) — многочлени з цілими коефіцієнтами. Нехай an=n!+na_n = n! + n. Доведіть, що якщо P(an)/Q(an)P(a_n)/Q(a_n) є цілим числом для кожного nn, то P(n)/Q(n)P(n)/Q(n) є цілим числом для кожного цілого nn, такого, що Q(n)≠0Q(n) \neq 0.
10–11 класиДілення многочленів з остачею
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2010-003

Дотична з вершини квадрата до кола

Дано квадрат ABCDABCD з описаним колом Γ1\Gamma_{1}. Нехай PP — точка на дузі ACAC, на якій також лежить BB. Коло Γ2\Gamma_{2} дотикається внутрішньо до кола Γ1\Gamma_{1} в точці PP і, крім того, дотикається до діагоналі ACAC в точці QQ. Нехай RR — точка на колі Γ2\Gamma_{2} така, що пряма DRDR дотикається до кола Γ2\Gamma_{2}. Доведіть, що ∣DR∣=∣DA∣|DR| = |DA|.
10–11 класиГомотерія і подібність
Естонська математична олімпіадаESTMO-2010-028

Гра із циклічною заміною імен

Три гравці AA, BB і CC грають у таку гру. На початку гри кожен гравець має аркуш паперу, на якому написано ім'я цього гравця. Гравець AA вибирає одного з інших гравців і замінює ім'я на аркуші цього гравця ім'ям зі свого власного аркуша. Потім подібний хід робить гравець BB, потім гравець CC, після чого черга ходу знову переходить до гравця AA. Гра закінчується, коли на всіх аркушах написано те саме ім'я, а переможцем стає гравець із цим ім'ям. Чи має хтось із гравців виграшну стратегію (тобто стратегію, яка дозволяє гравцеві перемогти незалежно від того, як грають його суперники)? (10 клас.)
10 класІнші інваріанти2 розв’язки
Естонська математична олімпіадаESTMO-2010-016

Триангуляція з розкидом сум не більше одиниці

У правильному nn-кутнику в кожній вершині написано або 00, або 11. За допомогою діагоналей, що не перетинаються, Юку розбиває цей многокутник на трикутники. Потім у кожний трикутник він вписує суму чисел, які стоять у його вершинах. Доведіть, що Юку може вибрати діагоналі так, щоб найбільше та найменше з чисел, вписаних у трикутники, відрізнялися не більше ніж на 11. (Старша ліга.)
10–11 класиКонструкція за індукцією
Естонська математична олімпіадаESTMO-2010-026

Розрізання збільшеної L-фігури на одиничні L-фігури

Одинична L-фігура складається з трьох одиничних квадратів, як показано на малюнку. Доведіть, що для будь-якого натурального числа kk подібну L-фігуру, довжини сторін якої у kk разів більші, можна розрізати на одиничні L-фігури.
11 класРозрізання, покриття та замощення

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.