Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

5 945 задач
Складністьолімпіадний, 12–16
Відбіркові тести на IMOTST-2008-005

Найбільша сумарна площа прямокутників на решітці

Нехай m,nm, n — натуральні числа. Розглянемо квадратну точкову решітку з (2m+1)×(2n+1)(2m+1) \times (2n+1) точок на площині. Множина прямокутників називається доброю, якщо виконується таке: a. Для кожного з прямокутників його чотири вершини лежать у точках решітки, а сторони паралельні лініям решітки. b. Жодні два з прямокутників не мають спільної вершини. Знайдіть найбільше можливе значення суми площ усіх прямокутників у добрій множині.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Відбіркові тести на IMOTST-2008-004

Рівносторонній трикутник, вписаний у трикутник

Нехай PP, QQ і RR — точки на сторонах BCBC, CACA і ABAB гострокутного трикутника ABCABC такі, що трикутник PQRPQR рівносторонній і має найменшу площу серед усіх таких рівносторонніх трикутників. Доведіть, що перпендикуляри, опущені з AA на пряму QRQR, з BB на пряму RPRP і з CC на пряму PQPQ, перетинаються в одній точці.
10–11 класиКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Відбіркові тести на IMOTST-2008-010

Розбиття квадрата на прямокутники з внутрішнім прямокутником

Квадрат розбито на n>1n>1 прямокутників так, що сторони прямокутників паралельні сторонам даного квадрата. Кожна пряма, паралельна одній зі сторін квадрата, яка перетинає внутрішність квадрата, має при цьому проходити також у внутрішності принаймні одного з прямокутників. Доведіть, що тоді в цьому розбитті завжди є прямокутник, який не має жодної спільної точки з межею квадрата.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Відбіркові тести на IMOTST-2008-011

Кубічний многочлен, кратний великому степеню трійки

Доведіть, що існує ціле число aa, для якого a3−36a2+51a−97a^{3}-36 a^{2}+51 a-97 є кратним 320083^{2008}.
10–11 класиМіркування за модулем
Відбіркові тести на IMOTST-2008-009

Хорда вписаного кола і середина відрізка

Нехай ABCABC — трикутник, у якому ∠ABC≠∠BCA\angle ABC \neq \angle BCA. Вписане коло kk трикутника ABCABC дотикається до сторін BCBC, CACA та ABAB відповідно в точках DD, EE та FF. Відрізок ADAD перетинає kk ще раз у точці PP. Нехай QQ — точка перетину прямої EFEF з перпендикуляром до прямої ADAD через PP. Нехай XX та YY — точки перетину прямої AQAQ з прямими DEDE та DFDF відповідно. Доведіть, що AA — середина відрізка XYXY.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Відбіркові тести на IMOTST-2008-013

Дотичні та паралельні прямі у колах, що перетинаються

Два кола k1k_{1} і k2k_{2} перетинаються в точках AA і BB. Нехай rr — пряма через BB, яка перетинає k1k_{1} у точці CC, а k2k_{2} — у точці DD, так, що BB лежить між CC і DD. Нехай ss — пряма, паралельна до прямої ADA D, яка дотикається до кола k1k_{1} у точці EE і має найменшу можливу відстань до прямої ADA D. Пряма AEA E перетинає k2k_{2} у точці FF. Нехай tt — дотична до кола k2k_{2} через FF. Доведіть, що виконується: (a) Пряма tt паралельна до прямої ACA C. (b) Прямі r,sr, s і tt перетинаються в одній точці.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Відбіркові тести на IMOTST-2008-012

Сьомий степінь плюс 7 не є повним квадратом

Доведіть, що для жодного цілого числа nn число n7+7n^7 + 7 не є повним квадратом.
10–11 класиТеорема Ферма-Ейлера про суму дво…
Відбіркові тести на IMOTST-2008-015

Сума a/√(3a+2b+c) для додатних a, b, c

Нехай aa, bb, cc — додатні дійсні числа. Доведіть таку нерівність: a3a+2b+c+b3b+2c+a+c3c+2a+b≤12a+b+c\frac{a}{\sqrt{3 a+2 b+c}}+\frac{b}{\sqrt{3 b+2 c+a}}+\frac{c}{\sqrt{3 c+2 a+b}} \leq \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{a+b+c}
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2008-014

Періодичні рекурентні послідовності цілих чисел

Дві послідовності цілих чисел, a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \dots і b1,b2,b3,…b_1, b_2, b_3, \dots, задовольняють рівняння (an−an−1)(an−an−2)+(bn−bn−1)(bn−bn−2)=0(a_n - a_{n-1})(a_n - a_{n-2}) + (b_n - b_{n-1})(b_n - b_{n-2}) = 0 для кожного цілого числа nn, більшого за 22. Доведіть, що існує натуральне число kk таке, що ak=ak+2008a_k = a_{k+2008}.
10–11 класиНапівінваріанти2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2008-021

Стабілізація перетворення цілочисельної послідовності

Нехай A=(a1,a2,…,an)A = (a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}) — послідовність цілих чисел. Наступником послідовності AA називається послідовність A′=(a1′,a2′,…,an′)A' = (a_{1}', a_{2}', \ldots, a_{n}'), де ak′=∣{i<k∣ai<ak}∣−∣{i>k∣ai>ak}∣a_{k}' = \left|\{i < k \mid a_{i} < a_{k}\}\right| - \left|\{i > k \mid a_{i} > a_{k}\}\right| Нехай A0A_{0} — скінченна послідовність цілих чисел, а для k≥0k \geq 0 нехай Ak+1=Ak′A_{k+1} = A_{k}' — наступник послідовності AkA_{k}. Доведіть, що існує натуральне число mm таке, що Am=Am+1A_{m} = A_{m+1}.
10–11 класиНапівінваріанти
Відбіркові тести на IMOTST-2008-022

Рівність x² + 5 = yⁿ та дільники n

Нехай xx, yy, nn — натуральні числа, для яких x≥3x \geq 3, n≥2n \geq 2 і x2+5=ynx^{2}+5=y^{n} Доведіть, що кожен простий дільник pp числа nn задовольняє конгруенцію p≡1( mod 4)p \equiv 1(\bmod 4).
10–11 класиТеорема Ферма-Ейлера про суму дво…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2008-003

Строго зростаючі функції з цілих чисел у дійсні

Знайти всі функції ff, визначені на множині Z\mathbb{Z} цілих чисел зі значеннями у множині R\mathbb{R} дійсних чисел, які одночасно задовольняють такі властивості: - для кожної пари цілих чисел (m,n)(m, n) з m<nm<n виконується f(m)<f(n)f(m)<f(n); - для кожної пари цілих чисел (m,n)(m, n) існує ціле число kk таке, що f(m)−f(n)=f(k)f(m)-f(n)=f(k).
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…2 розв’язки
Італійська математична олімпіадаITAMO-2008-004

Квадрати зі спільною вершиною всередині трикутника

Нехай ABCABC — трикутник, усі кути якого більші за 45∘45^{\circ} і менші за 90∘90^{\circ}. a. Доведіть, що всередині трикутника ABCABC можна розмістити три квадрати з такими властивостями: - усі три квадрати мають однакову сторону; - усі три квадрати мають спільну вершину KK, внутрішню для трикутника; - будь-які два квадрати не мають спільних точок, крім KK; - кожен із квадратів має дві протилежні вершини на периметрі трикутника ABCABC, а решта цілком лежить усередині трикутника ABCABC. b. Нехай PP — центр квадрата зі стороною ABAB і зовнішнього відносно ABCABC. Нехай rCr_{C} — пряма, симетрична до прямої, що проходить через CC і KK, відносно бісектриси кута AC^BA\widehat{C}B, що виходить із CC. Доведіть, що PP належить прямій rCr_{C}.
10–11 класиГомотерія і подібність
Італійська математична олімпіадаITAMO-2008-012

Острів брехунів, лицарів і пажів, що брешуть через день

На острові, якого немає, живуть 2008 мешканців, поділених на три клани: брехуни, які брешуть завжди, лицарі, які ніколи не брешуть, і пажі, які брешуть день через день. Лоренца, яка приїхала на два дні, зустрічає всіх їх першого дня. Перший каже: «на острові є рівно один брехун»; другий каже: «на острові є рівно два брехуни»... 2008-й каже: «на острові є рівно 2008 брехунів». Наступного дня Лоренца знову опитує всіх у тому самому порядку. Перший каже: «на острові є рівно один лицар»; другий каже: «на острові є рівно два лицарі»... останній каже: «на острові є рівно 2008 лицарів». Скільки пажів є на острові? (A) 0 (B) 1 (C) 1004 (D) 2006 (E) неможливо визначити за даними задачі.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2008-006

Посадка цибулин тюльпанів і розподіл учнів за класами

У деякій середній школі групі учнів запропонували посадити цибулини тюльпанів. Кожен учень-учасник має посадити принаймні одну цибулину. При цьому учні одного класу саджатимуть однакову кількість цибулин. Кількість цибулин, що мають бути посаджені, менша за 100 і має 6 можливих значень, причому найменше і наступне найменше з цих чисел — 52 і 64. Якими можуть бути кількості учнів 7-го, 8-го і 9-го класів серед учасників?
7–9 класиМетод оцінок, що веде до малого п…
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2008-008

Розфарбування сітки з умовами суміжності

Нехай m,nm, n — натуральні числа. m×nm \times n квадратів зі стороною 1 утворюють сітку для прямокутника (або квадрата, якщо m=nm=n) зі сторонами mm і nn. Ми хочемо пофарбувати кожну з m×nm \times n клітинок в один із кольорів — червоний, синій або чорний — так, щоб виконувалися всі такі умови: кожна червона клітинка межує рівно з 1 синьою клітинкою і рівно з 1 чорною клітинкою. кожна синя клітинка межує рівно з 1 чорною клітинкою і рівно з 1 червоною клітинкою. кожна чорна клітинка межує рівно з 1 червоною клітинкою і рівно з 1 синьою клітинкою. Тут дві різні клітинки називаємо сусідніми, якщо вони мають спільну сторону. Дайте відповідь на такі запитання в цьому контексті: (1) Наведіть приклад розфарбування, що задовольняє наведені вище умови, у випадку m=3,n=4m=3, n=4. (Наведіть лише приклад.) (2) Визначте всі пари (m,n)(m, n), для яких можливе розфарбування клітинок, що задовольняє наведені вище умови.
7–9 класиГеометричні розфарбування
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2008-011

Передавання карток у грі по колу

Є по 20082008 червоних і білих карток. Ці 40164016 карток перемішують і складають у стопку. Потім кожному з 20082008 гравців роздають по 22 картки зі стопки, після чого всіх гравців садять по колу обличчям до середини кола. У кожному ході гри кожен гравець одночасно виконує таку дію: якщо гравець має принаймні одну червону картку, він передає одну червону картку гравцеві, що сидить поруч зліва від нього. Якщо гравець не має жодної червоної картки, то він передає одну білу картку гравцеві зліва. Визначте найбільшу можливу кількість ходів, необхідну для того, щоб уперше досягти ситуації, коли кожен гравець матиме по одній червоній і одній білій картці.
10–11 класиНапівінваріанти
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2008-012

Коло через вершину і центр описаного кола

Нехай OO — центр описаного кола гострокутного трикутника ABCABC. Коло, що проходить через точки A,OA, O, перетинає прямі ABAB і ACAC у точках P,QP, Q, відмінних від AA, відповідно. Якщо довжини відрізків PQPQ і BCBC рівні, чому дорівнює величина кута, утвореного прямими PQPQ і BCBC і меншого за 90∘90^\circ?
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2008-004

Сума остач дільників при діленні на 4 дорівнює 1000

Знайдіть усі натуральні числа, у яких сума всіх додатних дільників, що дають при діленні на 44 остачу, відмінну від 22, дорівнює 10001000.
10–11 класиСума дільників σ(n)
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2008-013

Єгипетське зображення раціональних чисел

Чи існує натуральне число nn, яке задовольняє таку умову? Умова: Для довільного раціонального числа rr існують ціле число bb і ненульові цілі числа a1,a2,…,ana_1, a_2, \dots, a_n такі, що r=b+1a1+⋯+1anr = b + \frac{1}{a_1} + \dots + \frac{1}{a_n}
10–11 класиМетод оцінок, що веде до малого п…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2008-006

Видалення цифри 6 з кратних чисел

Позначимо через n(10)n_{(10)} десятковий запис натурального числа nn. Нехай три різні натуральні числа a,b,ca, b, c задовольняють усі такі умови: c(10)c_{(10)} збігається з числом, одержаним викресленням однієї цифри 6 із a(10)a_{(10)}. c(10)c_{(10)} збігається з числом, одержаним викресленням однієї цифри 6 із b(10)b_{(10)}. Кількість цифр у aa збігається з кількістю цифр у bb, причому aa кратне bb. Знайдіть найменше можливе значення, яке може мати cc за цих умов.
10–11 класиСистеми числення
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2008-008

Математичне сподівання кількості гербів

8 монет викладено в ряд зліва направо. Далі ми раз за разом повторюємо таку дію: Навмання вибираємо монету, що лежить гербом догори і задовольняє таку умову: Умова: або справа від неї немає жодної монети, що лежить решкою догори, або зліва від неї немає жодної монети, що лежить решкою догори. Припустимо, що ми повторюємо цю дію, доки не залишиться жодної монети, що лежить гербом догори і задовольняє наведену вище умову. Знайдіть математичне сподівання кількості монет, що лежать гербом догори, коли дії завершаться.
10–11 класиПерестановки
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2008-009

Круговий обмін подарунками

2008 хлопців і 2008 дівчат вирішили зібратися разом і пограти в гру з обміну подарунками. Кожного хлопця-учасника попросили принести на зустріч букет квітів, а кожну дівчину-учасницю попросили принести плитку шоколаду. Коли всі учасники зібралися, їх вишикували певним чином і посадили по колу обличчям до середини кола. Потім їм наказали одночасно передавати принесені подарунки особі, що сидить праворуч від них по колу. Після того як ці дії повторили певну кількість разів, настала ситуація, коли кожен хлопець-учасник мав у себе плитку шоколаду, а кожна дівчина-учасниця мала букет квітів. Скільки можливих розміщень хлопців на стільцях існує?
10–11 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2008-010

Максимум суми часткових добутків

Нехай комбінація (n;a1,a2,…,an)(n; a_1, a_2, \dots, a_n) натуральних чисел задовольняє умову a1+a2+⋯+an=2008a_1 + a_2 + \dots + a_n = 2008. Для кожного kk з 1≤k≤n1 \le k \le n нехай Ak=a1a2⋯akA_k = a_1a_2\cdots a_k. Визначте найбільше можливе значення, якого може набувати величина A1+A2+⋯+AnA_1 + A_2 + \dots + A_n.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2008-001

Вписаний шестикутник з рівністю відрізків

Дано вписаний шестикутник ABCDEFABCDEF, нехай прямі BDBD і CFCF перетинаються в точці GG, прямі ACAC і BEBE перетинаються в точці HH, а прямі ADAD і CECE перетинаються в точці II. Припустімо, що пряма BDBD перпендикулярна до прямої CFCF і AI=CIAI = CI. Доведіть, що CH=AH+DECH = AH + DE тоді й лише тоді, коли GH⋅BD=BC⋅DEGH \cdot BD = BC \cdot DE.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.