Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

5 945 задач
Складністьолімпіадний, 12–16
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2008-005

Подільність суми значень многочлена на суму аргументів

Знайдіть многочлен f(x)f(x) з цілими коефіцієнтами, який має таку властивість: існує нескінченно багато взаємно простих натуральних чисел a,ba, b таких, що a+ba + b ділить f(a)+f(b)f(a) + f(b).
10–11 класиВластивості коефіцієнтів многочле…
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2008-006

Рівняння f(x+y+1/x+1/y) з умовою f(1)=2008

Знайдіть усі функції f:R+→Rf: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}, які задовольняють умови (i) f(1)=2008f(1) = 2008, (ii) ∣f(x)∣≤x2+10042|f(x)| \le x^2 + 1004^2, і (iii)f(x+y+1x+1y)=f(x+1y)+f(y+1x)(iii) \quad f\left(x + y + \frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) = f\left(x + \frac{1}{y}\right) + f\left(y + \frac{1}{x}\right) для всіх x,y>0x, y > 0, де R\mathbb{R} — множина всіх дійсних чисел, а R+\mathbb{R}^+ — множина всіх додатних дійсних чисел.
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2008-004

Степені двійки в арифметичній множині

Для натурального числа m≥2m \ge 2 визначимо Am:={m+1,3m+2,5m+3,7m+4,9m+5,… }.A_m := \{ m+1, 3m+2, 5m+3, 7m+4, 9m+5, \dots \}. (1) Доведіть, що для довільного заданого m≥2m \ge 2 існує натуральне число aa, 1≤a<m1 \le a < m, таке, що або 2a∈Am2^a \in A_m, або 2a+1∈Am2^a + 1 \in A_m. (2) Припустімо, що для деякого m≥2m \ge 2 існують натуральні числа aa і bb, для яких 2a∈Am2^a \in A_m і 2b+1∈Am2^b + 1 \in A_m. Нехай a0a_0 і b0b_0 — найменші такі aa і bb відповідно. Знайдіть співвідношення між a0a_0 і b0b_0.
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2008-002

Колінеарність у конструкції з вписаним чотирикутником

Нехай чотирикутник ABCDABCD вписано в коло OO, причому кути ∠B\angle B і ∠C\angle C тупі. Нехай EE — точка перетину прямих ABAB і CDCD. Нехай PP і RR — основи перпендикулярів, проведених з точки EE до прямих BCBC і ADAD відповідно. Нехай QQ — точка перетину прямих EPEP і ADAD, а SS — точка перетину прямих ERER і BCBC. Нехай KK — середина відрізка QSQS. Доведіть, що три точки E,K,OE, K, O лежать на одній прямій.
10–11 класиГомотерія і подібність
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2008-003

Збільшення чисел за модулем на шаховій дошці

Є шахова дошка n×nn \times n. Кожна з n2n^2 маленьких клітинок може містити число від 00 до kk, де kk — деяке натуральне число. У кожному рядку та стовпці є кнопка, і якщо натиснути кнопку в рядку (або стовпці), то число в кожній з nn маленьких клітинок цього рядка (або стовпця відповідно) збільшується на 11, а число kk замінюється на 00. Це називаємо «процесом». Спочатку в кожній з n2n^2 маленьких клітинок було число 00. Але потім було виконано кілька процесів, і числа змінилися. Доведіть, що всі числа у n2n^2 маленьких клітинках можна перетворити на 00, виконавши не більше ніж knkn процесів.
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2008-009

Замощення трьох граней куба смужками 3 на 1

Розглянемо три квадратні грані куба n×n×nn \times n \times n, що сходяться в одній вершині куба. Для яких nn їх можна повністю і без перекриттів покрити паперовими смужками розміру 3×13 \times 1? Паперові смужки при цьому можна наклеювати через ребра куба.
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2008-010

Геометричне місце із сумою добутків відстаней

Нехай ABCDABCD — квадрат зі стороною 11 на площині. Знайдіть геометричне місце всіх точок PP з властивістю AP⋅CP+BP⋅DP=1AP \cdot CP + BP \cdot DP = 1
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2008-012

Хороші точки на семи прямих

Розгляньмо сім різних прямих на площині. Точку назвемо хорошою, якщо вона лежить принаймні на трьох із цих прямих. Знайдіть найбільшу можливу кількість хороших точок.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2008-002

Вписаний чотирикутник із середин сторін трикутника

Нехай ABCABC — гострокутний різносторонній трикутник, а MM, NN і PP — середини сторін BC‾\overline{BC}, CA‾\overline{CA} і AB‾\overline{AB} відповідно. Нехай серединні перпендикуляри до сторін AB‾\overline{AB} і AC‾\overline{AC} перетинають промінь AMAM у точках DD і EE відповідно, а прямі BDBD і CECE перетинаються в точці FF всередині трикутника ABCABC. Доведіть, що точки AA, NN, FF і PP лежать на одному колі.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2008-003

Розбиття решіткової області на шляхи

Нехай nn — натуральне число. Позначимо через SnS_n множину точок (x,y)(x, y) з цілими координатами, таких, що ∣x∣+⌊y+12⌋<n.|x| + \left\lfloor y + \frac{1}{2} \right\rfloor < n. Шлях — це послідовність попарно різних точок (x1,y1),(x2,y2),…,(xℓ,yℓ)(x_1, y_1), (x_2, y_2), \dots, (x_\ell, y_\ell) з множини SnS_n, така, що для i=2,…,ℓi = 2, \dots, \ell відстань між (xi,yi)(x_i, y_i) та (xi−1,yi−1)(x_{i-1}, y_{i-1}) дорівнює 1 (іншими словами, точки (xi,yi)(x_i, y_i) та (xi−1,yi−1)(x_{i-1}, y_{i-1}) є сусідніми в решітці точок з цілими координатами). Доведіть, що точки множини SnS_n не можна розбити менш ніж на nn шляхів (розбиття множини SnS_n на mm шляхів — це множина P\mathcal{P} з mm непорожніх шляхів, така, що кожна точка множини SnS_n входить рівно до одного з mm шляхів множини P\mathcal{P}).
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2008-004

Триангуляція правильного многокутника на рівнобедрені трикутники

Нехай P\mathcal{P} — опуклий многокутник із nn сторонами, n≥3n \ge 3. Будь-який набір n−3n-3 діагоналей многокутника P\mathcal{P}, що не перетинаються у внутрішній області многокутника, визначає триангуляцію P\mathcal{P} на n−2n-2 трикутники. Якщо P\mathcal{P} — правильний многокутник і існує триангуляція P\mathcal{P}, що складається лише з рівнобедрених трикутників, знайдіть усі можливі значення nn.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2008-005

Лінійна залежність і процес віднімання

На дошці записано три невід'ємні дійсні числа r1r_1, r2r_2, r3r_3. Ці числа мають таку властивість: існують цілі числа a1a_1, a2a_2, a3a_3, не всі рівні нулю, такі, що a1r1+a2r2+a3r3=0a_1 r_1 + a_2 r_2 + a_3 r_3 = 0. Дозволено виконувати таку операцію: знайти на дошці два числа xx, yy, для яких x≤yx \le y, після чого стерти yy і записати замість нього y−xy-x. Доведіть, що після скінченної кількості таких операцій на дошці можна отримати принаймні один 00.
10–11 класиНапівінваріанти
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2007-088

Розбиття ребер октаедра на гамільтонові цикли

Множину з шести ребер правильного октаедра називають гамільтоновим циклом, якщо ці ребра в деякому порядку утворюють єдиний неперервний контур, який відвідує кожну вершину рівно один раз. Скількома способами можна розбити дванадцять ребер на два гамільтонові цикли?
10–11 класиШляхи на графах
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2007-056

Рівняння з добутком суми дільників і функції Ейлера

Знайдіть усі пари (n,k)(n, k) натуральних чисел таких, що σ(n)ϕ(n)=n2k\sigma(n) \phi(n) = \frac{n^{2}}{k}
10–11 класиСума дільників σ(n)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2007-002

Умова біцентричності педального чотирикутника

Нехай ABCDABCD — вписаний чотирикутник, а PP — точка перетину його діагоналей. Точки RR, SS, TT і UU — основи перпендикулярів, опущених із PP на сторони ABAB, BCBC, CDCD і ADAD відповідно. Доведіть, що чотирикутник RSTURSTU є біцентричним тоді й лише тоді, коли AC⊥BDAC \perp BD. (Зауважимо, що чотирикутник називається описаним, якщо він має вписане коло; чотирикутник називається біцентричним, якщо він одночасно є вписаним і описаним.)
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2007-003

Многочлен з дійсними нулями і функціональне рівняння

Знайдіть усі несталі многочлени P(x)P(x) з дійсними коефіцієнтами, усі нулі яких дійсні, такі, що P(x+1)P(x2−x+1)=P(x3+1)P(x+1) P\left(x^{2}-x+1\right)=P\left(x^{3}+1\right) для всіх дійсних чисел xx.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2007-016

Максимум суми площ із паралельними прямими в трикутнику

Нехай ABCABC — трикутник зі сторонами AB=7AB = 7, BC=9BC = 9 і CA=4CA = 4. Нехай DD — така точка, що AB∥CDAB \parallel CD і CA∥BDCA \parallel BD. Нехай RR — точка всередині трикутника BCDBCD. Прямі ℓ\ell і mm, що проходять через RR, паралельні прямим CACA і ABAB відповідно. Пряма ℓ\ell перетинає ABAB і BCBC у точках PP і P′P' відповідно, а mm перетинає CACA і BCBC у точках QQ і Q′Q' відповідно. Якщо SS позначає найбільше можливе значення суми площ трикутників BPP′BPP', RP′Q′RP'Q' і CQQ′CQQ', знайдіть значення S2S^2.
10–11 класиРозбиття і перекидання площ
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2007-022

Різниця степенів, що дорівнює 2 у сотому степені

Нехай xx, yy, nn — натуральні числа, причому n>1n > 1. Скільки існує впорядкованих трійок (x,y,n)(x, y, n) — розв’язків рівняння xn−yn=2100x^{n} - y^{n} = 2^{100}?
10–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2007-024

Коло, дотичне до діагоналі вписаного чотирикутника

ABCDABCD — вписаний чотирикутник, у якому AB=4AB = 4, BC=3BC = 3, CD=2CD = 2 і AD=5AD = 5. Діагоналі ACAC і BDBD перетинаються в точці XX. Коло ω\omega проходить через AA і дотикається до діагоналі BDBD у точці XX. Коло ω\omega перетинає сторони ABAB і ADAD у точках YY і ZZ відповідно. Обчисліть відношення YZ/BDYZ / BD.
10–11 класиКоло і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2007-026

Радіус кола вписаного шестикутника зі сторонами 2, 9, 12

Обчисліть радіус описаного кола вписаного шестикутника ABCDEFA B C D E F зі сторонами AB=BC=2A B = B C = 2, CD=DE=9C D = D E = 9 і EF=FA=12E F = F A = 12.
10–11 класиМетричні співвідношення в колі
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2007-027

Вкладені радикали з рекурентної послідовності

Послідовність {an}n≥1\{a_{n}\}_{n \geq 1} додатних дійсних чисел визначено правилом an+1an−15=an4an−22a_{n+1} a_{n-1}^{5} = a_{n}^{4} a_{n-2}^{2} для цілих чисел n>2n > 2 разом з початковими значеннями a1=8a_{1} = 8, a2=64a_{2} = 64 і a3=1024a_{3} = 1024. Обчисліть a1+a2+a3+⋯\sqrt{a_{1} + \sqrt{a_{2} + \sqrt{a_{3} + \cdots}}}
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2007-028

Відношення відрізків основ перпендикулярів у вписаному чотирикутнику

ABCDABCD — вписаний чотирикутник, у якому AB=3AB = 3, BC=5BC = 5, CD=6CD = 6 і AD=10AD = 10. MM, II і TT — основи перпендикулярів, опущених із точки DD на прямі ABAB, ACAC і BCBC відповідно. Знайдіть значення MI/ITMI / IT.
10–11 класиТеорема Менелая
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2007-029

Періодичні точки кубічної рекурентної послідовності

Послідовність {an}n≥0\{a_{n}\}_{n \geq 0} дійсних чисел задовольняє рекурентне співвідношення an+1=an3−3an2+3a_{n+1} = a_{n}^{3} - 3 a_{n}^{2} + 3 для всіх натуральних чисел nn. Для скількох значень a0a_{0} виконується a2007=a0a_{2007} = a_{0}?
10–11 класиТригонометричні заміни
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2007-030

Коло, дотичне до трьох описаних кіл трикутника

Трикутник ABCA B C має AB=4A B=4, BC=6B C=6 і AC=5A C=5. Нехай OO — центр описаного кола трикутника ABCA B C. Коло Γ\Gamma дотикається до описаних кіл трикутників AOBA O B, BOCB O C і AOCA O C та охоплює їх. Знайдіть діаметр кола Γ\Gamma.
10–11 класиІнверсія
Відбіркові тести на IMOTST-2007-001

Вписаний чотирикутник у трапеції

Нехай ABCDABCD — трапеція, у якої AB∥CDAB \parallel CD та AB>CDAB > CD. Точки KK і LL лежать на сторонах ABAB та CDCD відповідно, причому AKKB=DLLC\dfrac{AK}{KB} = \dfrac{DL}{LC}. Точки PP і QQ лежать на відрізку KLKL так, що ∠APB=∠BCDі∠CQD=∠ABC\angle APB = \angle BCD \quad \text{і} \quad \angle CQD = \angle ABC Доведіть, що точки PP, QQ, BB і CC лежать на одному колі.
10–11 класиГомотерія і подібність2 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.